大學(xué)文科數(shù)學(xué)-第二章-第一節(jié)-微積分直接基礎(chǔ)-極限

第二章微積分的直接基礎(chǔ)——極限第一節(jié)數(shù)列極限主要內(nèi)容：數(shù)列及數(shù)列極限的概念

早在兩千多年前，人們從生活、生產(chǎn)實(shí)際中產(chǎn)生了樸素的極限思想，公元前3世紀(jì)，我國(guó)的莊子就有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”的名言.17世紀(jì)上半葉法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes）創(chuàng)建解析幾何之后，變量就進(jìn)入了數(shù)學(xué).隨之牛頓（Newton、英國(guó)）和萊布尼茨（Leibniz、德國(guó)）集眾多數(shù)學(xué)家之大成，各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的里程碑.微積分誕生不久，便在許多學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用，大大推動(dòng)那個(gè)時(shí)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的自身理論不斷完善的過(guò)程，才建立了極限理論.可見“極限”是微積分的基礎(chǔ).阿基里斯追龜

一位古希臘學(xué)者芝諾（Zenon，約公元前496—約前429）曾提出一個(gè)著名的“追龜”詭辯題。大家知道，烏龜素以動(dòng)作遲緩著稱，阿基里斯則是古希臘傳說(shuō)中的英雄和擅長(zhǎng)跑步的神仙.芝諾斷言：阿基里斯與龜賽跑，將永遠(yuǎn)追不上烏龜！ABBB1

假定阿基里斯現(xiàn)在A處，烏龜現(xiàn)在B處.為了趕上烏龜，阿基里斯先跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)B，當(dāng)他到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，烏龜已前進(jìn)到B1點(diǎn)；當(dāng)他到達(dá)B1點(diǎn)時(shí)，烏龜又已前進(jìn)到B2點(diǎn)，如此等等。當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜前次到達(dá)過(guò)的地方，烏龜已又向前爬動(dòng)了一段距離.因此，阿基里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)?！B1B2

讓我們?cè)倏匆豢礊觚斔哌^(guò)的路程:設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，龜在前?0米.當(dāng)阿基里斯跑了10米時(shí)，龜已前進(jìn)了1米；當(dāng)阿基里斯再追1米時(shí)，龜又前進(jìn)了0.1米，阿再追0.1米，龜又進(jìn)了0.01米…..把阿基里斯追趕烏龜?shù)木嚯x列出，便得到一列數(shù)：

10，1，0.1，0.01，…，102－n，…

這稱為數(shù)列，an

＝102－n

為通項(xiàng)，數(shù)列常簡(jiǎn)記為｛an

｝.

所以阿基里斯追上烏龜所必須跑過(guò)的路程為所以，阿基里斯只要堅(jiān)持跑到11.2米的路程就可以追上烏龜！第一天剩的長(zhǎng)度為：截丈問(wèn)題：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.第二天剩的長(zhǎng)度為：截丈問(wèn)題：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.第三天剩的長(zhǎng)度為：截丈問(wèn)題：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.第四天剩的長(zhǎng)度為：截丈問(wèn)題：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.這樣可以看出第n天剩的長(zhǎng)度為：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.于是得到了數(shù)列:當(dāng)n越來(lái)越大時(shí),棰越來(lái)越短,逐漸趨于0.再看一下整個(gè)過(guò)程.舉例:①這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是:01–1x…xnx2x1x0x3…??????????②這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是:數(shù)列極限的定義(定性描述):

若該數(shù)列不以任何常數(shù)為極限，則稱這個(gè)數(shù)列發(fā)散.也稱該數(shù)列收斂.

這個(gè)定義是在運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上憑借幾何圖像,直覺用自然語(yǔ)言作出的定性描述.因?yàn)楫?dāng)n∞

時(shí)，趨近于常數(shù)0.因?yàn)楫?dāng)n∞

時(shí)，反復(fù)地取1和－1，沒有明顯的變化趨勢(shì),是發(fā)散的.01–1x…ana2a1x0a3…??????????注：

④中各項(xiàng)均為相同的數(shù)（常數(shù))1,我們把這樣的數(shù)列稱作常數(shù)列.因?yàn)椴徽搉取何值，每項(xiàng)都是1，因此該數(shù)列的極限是

1.③

2,4,6,…,2n,…④

1,1,…,1,…,1,…這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是:這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是:數(shù)列有以下幾種變化趨勢(shì):數(shù)列的變化趨勢(shì)下面我們直觀地看一下極限的定義

在數(shù)學(xué)中一定要力避幾何直觀可能帶來(lái)的錯(cuò)誤，因此作為微積分邏輯演繹基礎(chǔ)的極限概念，必須將憑借直觀產(chǎn)生的定性描述轉(zhuǎn)化為用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的，超現(xiàn)實(shí)原型的理想化的定量描述.

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫它.如果數(shù)列沒有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.定義如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在著相應(yīng)正整數(shù)N，使得滿足n>N的一切n，End注：該數(shù)列有一定的發(fā)展趨勢(shì)——趨向于無(wú)窮大，并不收斂，所以{2n}無(wú)極限.為敘述方便，可以說(shuō){2n