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文檔簡介
第二章微積分的直接基礎——極限第一節(jié)數(shù)列極限主要內(nèi)容:數(shù)列及數(shù)列極限的概念
早在兩千多年前,人們從生活、生產(chǎn)實際中產(chǎn)生了樸素的極限思想,公元前3世紀,我國的莊子就有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的名言.17世紀上半葉法國數(shù)學家笛卡兒(Descartes)創(chuàng)建解析幾何之后,變量就進入了數(shù)學.隨之牛頓(Newton、英國)和萊布尼茨(Leibniz、德國)集眾多數(shù)學家之大成,各自獨立地發(fā)明了微積分,被譽為數(shù)學史上劃時代的里程碑.微積分誕生不久,便在許多學科中得到廣泛應用,大大推動那個時代科學技術的發(fā)展和社會進步.經(jīng)過長達兩個世紀的自身理論不斷完善的過程,才建立了極限理論.可見“極限”是微積分的基礎.阿基里斯追龜
一位古希臘學者芝諾(Zenon,約公元前496—約前429)曾提出一個著名的“追龜”詭辯題。大家知道,烏龜素以動作遲緩著稱,阿基里斯則是古希臘傳說中的英雄和擅長跑步的神仙.芝諾斷言:阿基里斯與龜賽跑,將永遠追不上烏龜!ABBB1
假定阿基里斯現(xiàn)在A處,烏龜現(xiàn)在B處.為了趕上烏龜,阿基里斯先跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點B,當他到達B點時,烏龜已前進到B1點;當他到達B1點時,烏龜又已前進到B2點,如此等等。當阿基里斯到達烏龜前次到達過的地方,烏龜已又向前爬動了一段距離.因此,阿基里斯是永遠追不上烏龜?shù)模1B2
讓我們再看一看烏龜所走過的路程:設阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?,龜在前?0米.當阿基里斯跑了10米時,龜已前進了1米;當阿基里斯再追1米時,龜又前進了0.1米,阿再追0.1米,龜又進了0.01米…..把阿基里斯追趕烏龜?shù)木嚯x列出,便得到一列數(shù):
10,1,0.1,0.01,…,102-n,…
這稱為數(shù)列,an
=102-n
為通項,數(shù)列常簡記為{an
}.
所以阿基里斯追上烏龜所必須跑過的路程為所以,阿基里斯只要堅持跑到11.2米的路程就可以追上烏龜!第一天剩的長度為:截丈問題:一尺之棰,日取其半,萬世不竭.第二天剩的長度為:截丈問題:一尺之棰,日取其半,萬世不竭.第三天剩的長度為:截丈問題:一尺之棰,日取其半,萬世不竭.第四天剩的長度為:截丈問題:一尺之棰,日取其半,萬世不竭.這樣可以看出第n天剩的長度為:一尺之棰,日取其半,萬世不竭.于是得到了數(shù)列:當n越來越大時,棰越來越短,逐漸趨于0.再看一下整個過程.舉例:①這個數(shù)列的通項是:01–1x…xnx2x1x0x3…??????????②這個數(shù)列的通項是:數(shù)列極限的定義(定性描述):
若該數(shù)列不以任何常數(shù)為極限,則稱這個數(shù)列發(fā)散.也稱該數(shù)列收斂.
這個定義是在運動觀點的基礎上憑借幾何圖像,直覺用自然語言作出的定性描述.因為當n∞
時,趨近于常數(shù)0.因為當n∞
時,反復地取1和-1,沒有明顯的變化趨勢,是發(fā)散的.01–1x…ana2a1x0a3…??????????注:
④中各項均為相同的數(shù)(常數(shù))1,我們把這樣的數(shù)列稱作常數(shù)列.因為不論n取何值,每項都是1,因此該數(shù)列的極限是
1.③
2,4,6,…,2n,…④
1,1,…,1,…,1,…這個數(shù)列的通項是:這個數(shù)列的通項是:數(shù)列有以下幾種變化趨勢:數(shù)列的變化趨勢下面我們直觀地看一下極限的定義
在數(shù)學中一定要力避幾何直觀可能帶來的錯誤,因此作為微積分邏輯演繹基礎的極限概念,必須將憑借直觀產(chǎn)生的定性描述轉化為用形式化的數(shù)學語言表達的,超現(xiàn)實原型的理想化的定量描述.
當n無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻畫它.如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.定義如果對于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小),總存在著相應正整數(shù)N,使得滿足n>N的一切n,End注:該數(shù)列有一定的發(fā)展趨勢——趨向于無窮大,并不收斂,所以{2n}無極限.為敘述方便,可以說{2n
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