北師大版（2019）數(shù)學(xué)必修第一冊：5.2.2《用函數(shù)模型解決實(shí)際問題》教案

本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享用函數(shù)模型解決實(shí)際問題【教學(xué)目標(biāo)】1．通過利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。2．通過建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】1．會利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題。(重點(diǎn))2．能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題。(重、難點(diǎn))【教學(xué)過程】一、基礎(chǔ)鋪墊常用的函數(shù)模型：二、新知探究1．表格信息類建模問題【例1】某國2015年至2018年國內(nèi)生產(chǎn)總值(單位：萬億元)如下表所示：年份2015201620172018x(年)0123生產(chǎn)總值(萬億元)8.20678.94429.593310.2398(1)畫出函數(shù)圖形，猜想它們之間的函數(shù)關(guān)系，近似地寫出一個函數(shù)關(guān)系式；(2)利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值，與表中實(shí)際生產(chǎn)總值比較；(3)利用關(guān)系式預(yù)測2019年該國的國內(nèi)生產(chǎn)總值。[解](1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出函數(shù)圖形，如圖所示。從函數(shù)的圖形可以看出，畫出的點(diǎn)近似地落在一條直線上，設(shè)所求的函數(shù)為y＝kx＋B．把直線通過的兩點(diǎn)(0，8.2067)和(3，10.2398)代入上式，解方程組，可得k＝0.6777，b＝8.2067．所以它的一個函數(shù)關(guān)系式為y＝0.6777x＋8.2067．(2)由(1)中得到的關(guān)系式為f(x)＝0.6777x＋8.2067，計算出2016年和2017年的國內(nèi)生產(chǎn)總值分別為f(1)＝0.6777×1＋8.2067＝8.8844，f(2)＝0.6777×2＋8.2067＝9.5621．與實(shí)際的生產(chǎn)總值相比，誤差不超過0.1萬億元。(3)2019年，即x＝4，由上述關(guān)系式，得y＝f(4)＝0.6777×4＋8.2067＝10.9175，即預(yù)測2019年該國的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為10.9175萬億元。【教師小結(jié)】(1)根據(jù)表格信息，畫出圖像；(2)根據(jù)圖像特征，選定函數(shù)模型；(3)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(4)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?．圖像信息解讀問題【例2】如圖1是某公共汽車線路收支差額y元與乘客量x的圖像。圖1圖2圖3(1)試說明圖1上點(diǎn)A、點(diǎn)B以及射線AB上的點(diǎn)的實(shí)際意義；(2)由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為盈的建議，如圖2、3所示。你能根據(jù)圖像，說明這兩種建議的意義嗎？(3)此問題中直線斜率的實(shí)際意義是什么？(4)圖1、圖2、圖3中的票價分別是多少元？[解](1)點(diǎn)A表示無人乘車時收支差額為－20元，點(diǎn)B表示有10人乘車時收支差額為0元，線段AB上的點(diǎn)表示虧損，AB延長線上的點(diǎn)表示盈利。(2)圖2的建議是降低成本，票價不變，圖3的建議是提高票價。(3)斜率表示票價。(4)圖1、2中的票價是2元，圖3中的票價是4元?！窘處熜〗Y(jié)】（1）這類問題應(yīng)結(jié)合圖像的特征，觀察坐標(biāo)軸所代表的含義，緊扣題目的語言描述，并把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)特征(單調(diào)性、最值、解析式等)即可解決。（2）挖掘圖像中的信息是關(guān)鍵。三、課堂總結(jié)1．函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例主要包括2個方面：(1)利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題；(2)建立確定性的函數(shù)模型解決實(shí)際問題；2．在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗(yàn)所得結(jié)果，必要時運(yùn)用估算和近似計算，以使結(jié)果符合實(shí)際問題的要求。3．在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，要充分使用數(shù)學(xué)語言，如引入字母、列表、畫圖等使實(shí)際問題數(shù)學(xué)符號化。四、課堂檢測1．思考辨析(1)在建立實(shí)際問題的函數(shù)模型時，除了要考慮變量的數(shù)學(xué)意義，還要考慮變量的實(shí)際意義。()(2)由函數(shù)模型得到的解就是實(shí)際問題的解。()[答案](1)√(2)×2．某同學(xué)家門前有一筆直公路直通長城，星期天，他騎自行車勻速前往，他先前進(jìn)了akm，覺得有點(diǎn)累，就休息了一段時間，想想路途遙遠(yuǎn)，有些泄氣，就沿原路返回騎了bkm(b＜a)，當(dāng)他想起詩句“不到長城非好漢”時，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn)，則該同學(xué)離起點(diǎn)的距離與時間的函數(shù)關(guān)系圖像大致為()ABCDC[由題意可知，s是關(guān)于時間t的一次函數(shù)，所以其圖像特征是直線上升。由于中間休息了一段時間，該段時間的圖像應(yīng)是平行于橫軸的一條線段。然后原路返回，圖像下降，再調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn)，則直線一致上升。故選C．]3．國內(nèi)快遞1000g以內(nèi)的包裹的郵資標(biāo)準(zhǔn)如下表：運(yùn)送距離x(km)0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤1500…郵資y(元)5.006.007.00…如果某人在西安要快遞800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他應(yīng)付的郵資是()A．5.00元 B．6.00元C．7.00元 D．8.00元C[由題意可知，當(dāng)x＝1200時，y＝7.00元，故選C．]4．要在墻上開一個上部為半圓，下部為矩形的窗戶，如圖所示，窗框?yàn)槎ㄩLl的條件下，要使窗戶透光面積S最大，窗戶應(yīng)具有怎樣的尺寸？[解]由題意得窗框總長l＝eq\f(π,2)x＋x＋2y，∴y＝eq\f(2l－π＋2x,4)，∴S＝eq\f(π,8)x2＋xy＝eq\f(π,8)x2＋x·eq\f(2l－π＋2x,4)＝－eq\f(π＋4,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2l,π＋4)))2＋eq\f(l2,2π＋4)。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＝\f(2l－π＋2x,4)＞0，))得x∈eq\b\lc\(\r