2023年自考類-公共課-高等數(shù)學(xué)(工本)歷年高頻考題帶答案難題附詳解

2023年自考類-公共課-高等數(shù)學(xué)(工本)歷年高頻考題帶答案難題附詳解（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.綜合考點(diǎn)(共50題)1.設(shè)f(x)是周期為2π的函數(shù)，f(x)在[-π，π)上的表達(dá)式為S(x)是f(x)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)，則S(0)=______．2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2，-1，-9)在______A.第一卦限B.第四卦限C.第五卦限D(zhuǎn).第八卦限3.計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分∫Cxydx+(x+y)dy，其中C為曲線y=x2從點(diǎn)(0，0)到(1，1)的一段弧．4.求二階微分方程y″+y′-ex=0的通解．5.計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分∫C(x-y)dx+xydy，其中C為直線y=x從點(diǎn)O(0，0)到點(diǎn)A(1，1)的線段．6.求函數(shù)f(x，y)=x3+y3-3xy的極值．7.計(jì)算二重積分，其中D：x2+y2≤x+y+1．8.已知函數(shù)z=x2y，則9.某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x，y，生產(chǎn)總成本C=800+34x+70y．銷售總收入為R=134x+150y-2x2-2xy-y2．現(xiàn)以兩種產(chǎn)品總數(shù)為30件計(jì)算，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時(shí)，才能取得最大利潤?10.=______．11.微分方程e-xdy+e-ydx=0的通解為______．12.設(shè)積分區(qū)域Ω由上半球面z=及平面z=0所圍成，求三重積分zdxdydz．13.將積分區(qū)域D對應(yīng)的二重積分I=f(x，y)dxdy按兩種次序化為二次積分：D是由拋物線y=x2及y=4-x2所圍的區(qū)域．14.求函數(shù)f(x，y)=4(x-y)-x2-2y2的極值．15.求曲線在對應(yīng)于t-1的點(diǎn)處的法平面方程．16.設(shè)z=(1+xy)x，則=______．17.求微分方程滿足條件y|x=1=1的特解．18.設(shè)，則dz=______．19.設(shè)z=uv+sinω，u=et，v=cost，ω=t，則=______．20.求曲面x2+y2+2z2=23在點(diǎn)(1，2，3)處的切平面方程．21.計(jì)算22.設(shè)f(x)=xln(1+x)展成x冪級數(shù)為，則系數(shù)a2=______.23.設(shè)L為橢圓爭，其周長為l，計(jì)算曲線積分．24.直線x=1+2t，y=-1-t，z=2t的方向向量是______A.{2，-1，2}B.{2，1，2}C.{-1，1，0}D.{1，-1，0}25.求微分方程y"+3y'+2y=e-x．26.設(shè)B是圓形區(qū)域x2+y2≤4，則二重積分dxdy=______

A．

B．

C．4πD．π27.設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且恒大于零．試?yán)枚胤e分證明

28.設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是______

A．若級數(shù)收斂，則有=0

B．若級數(shù)發(fā)散，則=+∞

C．若級數(shù)收斂，則=0

D．若級數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)λ，使得=λ29.設(shè)二元函數(shù)則fxy(0，0)=______．30.計(jì)算二次積分I=．31.求微分方程y"-4y=2e2x的通解．32.I=(x2+y2)dv，Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2圍成的區(qū)域．33.設(shè)L為圓周x2+y2=1，=

A.8πB.10πC.12πD.14π34.將f(x)=ex2在x=0處展開為冪級數(shù)，并求級數(shù)35.應(yīng)用通項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列冪級數(shù)的和函數(shù)．

(1)；

(2)x2+2x3+3x4+…+nxn+1+…．36.將函數(shù)展開為(x-3)的冪級數(shù)．37.設(shè)函數(shù)f(x，y)=(4x-x2)(6y-y2)，則f(x，y)的一個(gè)駐點(diǎn)是______

A．(2，6)

B．(4，3)

C．(0，6)D．(0，3)38.將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求收斂區(qū)間．39.求一曲線，使得該曲線上任意點(diǎn)(x，y)處的切線平行于x+3y=1，且點(diǎn)(1，2)在該曲線上．40.設(shè)∑為半球面x2+y2+z2=1，z＜0，則對面積的曲面積分______A.4πB.2πC.3πD.π41.兩直線L：的夾角為

42.下列微分方程中為線性微分方程的是______

A．

B．

C．

D．43.求函數(shù)f(x，y，z)=x-y+x2yz+2z在點(diǎn)P0(-1，1，2)處的梯度gradf(-1，1，2)．44.計(jì)算二重積分，其中積分區(qū)域D是由直線y=x，x=1及x軸所圍成的區(qū)域．45.求微分方程滿足條件的特解．46.設(shè)L是圓x2+y2=1，取逆時(shí)針方向，則______．47.平面x-2y+3z+4=0的法向量為______A.{1，-2，-3}B.{-1，2，-3}C.{-1，-2，3}D.{1，-2，3}48.求過點(diǎn)P(1，0，7)且與平面x-z=10和y+2z=3都平行的直線方程．49.與向量{-1，1，-1}垂直的單位向量是______

A．{0，0，0}

B．

C．

D．50.設(shè)p為正常數(shù)，就p的值討論冪級數(shù)的收斂域．第1卷參考答案一.綜合考點(diǎn)1.參考答案：0[解析]由狄里克雷收斂準(zhǔn)則得，.2.參考答案：D3.參考答案：本題主要考查的知識點(diǎn)為對坐標(biāo)的曲線積分.

曲線C如下圖所示.y=x2，則dy=2xdx,故有

4.參考答案：此微分方程屬于y″=f(x，y′)型，令p=y′，代入原方程得p′+p-ex=0，即p′+p=ex，

該方程對應(yīng)的齊次微分方程為p′+p=0，

分離變量并積分

p=C1e-x，

利用常數(shù)變易法，令p=u(x)e-x，

則p′=u′(x)e-x-u(x)e-x，

將p′及p代入微分方程p′+p=ex得u′(x)e-x=ex，即u′(x)=e2x，

積分得

則

即

則原微分方程的通

本題考查的知識點(diǎn)是y″=f(x，y′)型微分方程，大綱要求領(lǐng)會，且近年來未在真題上出現(xiàn)，y″=f(x)型，y″=f(x，y′)型，y″=f(y，y′)型齊次方程，考生可根據(jù)自己的情況進(jìn)行學(xué)習(xí)和掌握.5.參考答案：解：C的方程

y=x，x從0變到1，所以

6.參考答案：∵

∴得駐點(diǎn)為(0，0)，(1，1)

而fxx=6x，fxy=-3，fyy=6y，

對于(0，0)點(diǎn)，B2-AC-9＞0，所以(0，0)不是極值點(diǎn)。

對于(1，1)點(diǎn)，B2-AC=-27＜0，A=6＞0，

所以f(x，y)在(1，1)點(diǎn)處取得極小值為f(1，1)=-1．7.參考答案：積分域D如圖所示令8.參考答案：2y9.參考答案：總利潤為f(x，y)=R-C=100x+80y-2x2-2xy-y2-800本題所求的是f(x，y)在條件x+y=30下的最大值建立拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=100x+80y-2x2-2xy-y2-800+λ(z+y-30)

∴當(dāng)x=10，y=20時(shí)總利潤最大10.參考答案：11.參考答案：ex+ey=C[解析]由e-xdy+e-ydx=0分離變量得eydy=-exdx．兩端積分得ey=-ex+C，即ex+ey=C．12.參考答案：13.參考答案：本題考查二次積分的運(yùn)算．畫出積分區(qū)域D，如下圖所示

14.參考答案：∵，

∴得駐點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-1)

∵=-2，=0，=-4

而Δ=B2-AC=-8＜0且A=-2＜0

∴f(x，y)在點(diǎn)(2，-1)處取得極大值為f(2，-1)=6．15.參考答案：解：因?yàn)?/p>

所以在t=1對應(yīng)點(diǎn)處法平面的法向量為{-1，-2，-3}．

又t=1對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1，1)，所以所求法平面方程為

-(x-1)-2(y-1)-3(z-1)=0，

即x+2y+3z-6=0．16.參考答案：1+2ln2[解析]令1+xy=u，x=v，則，，=y，=1∴

∴17.參考答案：解：將方程變形為

方程的通解為，將條件y|x=1=1代入，得

所以所求特解為18.參考答案：19.參考答案：et(coxt-sint)+cost=v·et+u(-sint)+cosω·1=cost·et(-sint)+cost20.參考答案：解：設(shè)F(x，y，z)=x2+y2+2z2-23，設(shè)P0(1，2，3)

∵Fx(1，2，3)=2x|P0=2，F(xiàn)y(1，2，3)=2y|P0=4，F(xiàn)z(1，2，3)=4z|P0=12

∴所求平面方程為2(x-1)+4(y-2)+12(z-3)=0

即x+2y+6z=23．21.參考答案：[考點(diǎn)點(diǎn)擊]本題考查直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算．[要點(diǎn)透析]

22.參考答案：[解析]本題主要考查的知識點(diǎn)為冪級數(shù)的展開式．

由得，則

考生應(yīng)熟練掌握特殊函數(shù)的冪級數(shù)展開式．23.參考答案：由于積分路線L關(guān)于x=0對稱，函數(shù)xy2關(guān)于x為奇函數(shù)，故又沿曲線于是所求曲線積分24.參考答案：A[解析]直線x=1+2t，y=-1-t，z=2t可以轉(zhuǎn)化為對稱式方程故直線的方向向量為{2，-1，2}．25.參考答案：對應(yīng)齊次方程的特征方程為r2+3r+2=0∴r1=-2，r2=-1∴齊次方程的通解為y=C1e-2x+C2e-x∵r2=-1是特征方程的單根∴應(yīng)設(shè)特解為y*=Axe-x則y*'=Ae-x-Axe-x，y*"=-Ae-x-Ae-x+Axe-x=-2Ae-x+Axe-x，將它們代入原方程得

(-2Ae-x+Axe-x)+3(Ae-x-Axe-x)+2Axe-x=e-x∴Ae-x=e-x

∴A=1所以原方程的一個(gè)特解y*=xe-x于是原方程的通解為y=c1e-2x+c2e-x+xe-x26.參考答案：B[解析]令x=rcosθ，y=rsinθ，則0≤θ≤2π，0≤r≤2∴=．答案為B．27.參考答案：其中D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}于是28.參考答案：B[解析]本題考查正項(xiàng)級數(shù)斂散性的性質(zhì)．由級數(shù)收斂的充要條件知，其部分和數(shù)列{Sn}有上界，也即收斂，必有{Sn}有上界，若發(fā)散，必有=+∞．令an=，則n2·=1，故只有B選項(xiàng)說法正確．答案為B．29.參考答案：-1當(dāng)，并且30.參考答案：I=中，面積分區(qū)域如圖示陰影：

31.參考答案：特征方程為r2-4=0∴r1=2，r2=-2故齊次方程的通解為又λ=2是特征方程的單根，故設(shè)原方程的一個(gè)特解為32.參考答案：，積分區(qū)域如下圖．

33.參考答案：C由于被積幽數(shù)定義在積分曲線上，因此積分變量x，y滿足枳分路線L的方程，利用這一性質(zhì)化簡積分34.參考答案：[考點(diǎn)點(diǎn)擊]本題考查冪級數(shù)的展開式.[要點(diǎn)透析]由∞)，可知.級數(shù)就是將上式取x=±1可得到，故35.參考答案：[考點(diǎn)點(diǎn)擊]本題考查冪級數(shù)的和函數(shù)．[要點(diǎn)透析](1)設(shè)，故x2。則當(dāng)|x2|＜1時(shí)原級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂半徑為R=1，當(dāng)x=±1時(shí)，則原級數(shù)可化為，故其發(fā)散·故原級數(shù)的收斂域?yàn)?-1，1)

設(shè)，在x∈(-1，1)內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)得

故x2)，x∈(-1，1)．

(2)設(shè)an=n，，當(dāng)x=±1時(shí)

原級數(shù)均發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域?yàn)?-1，1)

設(shè)，設(shè)f(x)=I，逐項(xiàng)積分得

故

故和函數(shù)36.參考答案：∵∴0＜x＜637.參考答案：C[解析]f(x，y)=(4x-x2)(6y-y2)，則

，則選項(xiàng)A、B、C、D依次代入只有選項(xiàng)C使得fx(0，6)=fy(0，6)=0．答案為C．38.參考答案：解：

由于有

因此，可得

39.參考答案：本題主要考查的知識點(diǎn)為微分方程的應(yīng)用．

由題意知

所以

又因?yàn)辄c(diǎn)(1，2)在該曲線上，故有

因此所求方程為即3y+x=7.40.參考答案：B[解析]本題主要考查的知識點(diǎn)為面積的曲面積分.

，則，曲面∑在Oxy面上的投影為x2+y2≤1，所以41.參考答案：CL1的方向向量v1=|1，-2，1|，L2的方向向量量v2=n1-×n2=42.參考答案：B[解析]根據(jù)線性微分方程定義：線性是指方程關(guān)于未知函數(shù)y及其導(dǎo)數(shù)dy/dx都是一次的，故只有B項(xiàng)滿足條件．答案為B．43.參考答案：解：

gradf(x，y，z)={1+2xyz，-1+x2z，x2y+2}，

則gradf(-1，1，2)={-3，1，3}．44.參考答案：解：

.45.參考答案：將方程變形為46.參考答案：0[解析]本題考查格林公式．[要點(diǎn)透析]令P(x，y)=(x+y)2，Q(x，y)=-(x2+y2)，則

將L所圍成的閉區(qū)域記為D，根據(jù)格林公式有

47.參考答案：D[解析]本題主要考查的知識點(diǎn)為平面方程的法向量．48.參考答案：[考點(diǎn)點(diǎn)擊]本題考查直線與平面間的關(guān)系．[要點(diǎn)透析]兩