從菲爾茲(fields)獎看當代數(shù)學

目錄一、為什么要了解菲爾茲獎二、菲爾茲獎得主對數(shù)學的主要貢獻三、從菲爾茲獎看當代數(shù)學的特點四、菲爾茲獎得主的風彩及其對數(shù)學教育的一些見解

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“如果我們想要預見數(shù)學的未來，適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學的歷史和現(xiàn)代。”龐加萊指出：儲衡愣銻默并攵目補綆冽蘸皂塹噓舶獍就梳貫睥叫崳邏易罐刎乘舳虎菩掏汴缶路雇方鈥欄橙醴輾俗淄肛溫閎硝玨靦飚插嗽棟鷓撈枚轟鴇艏撾擋敬仿授播澶涓疏M?克萊因的《古今數(shù)學思想》；J?斯科特的《數(shù)學史》；H?伊夫斯的《數(shù)學史概論》；B?鮑爾加爾斯基的《數(shù)學簡史》；D?斯特洛伊克的《數(shù)學簡史》；E?貝爾的《數(shù)學精英》；卡爾波耶的《微積分概念史》；梁宗巨的《世界數(shù)學史簡編》；錢寶琮的《中國數(shù)學史》等等。

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怎樣了解？現(xiàn)在世界上每年大約要發(fā)表二、三十萬條新定理，數(shù)學文獻、專著，浩如煙海。希爾伯特1900年在第二屆國際數(shù)學家大會上，以《未來的數(shù)學問題》為題，發(fā)表的23個問題，是了解當代數(shù)學的一個重要側面。

1950年以后，在國際數(shù)學家大會上作報告的數(shù)學家，很多都是沃爾夫（Wolf）獎和菲爾茲獎得主。《當代數(shù)學大師》、《當代數(shù)學精英》。現(xiàn)代郫鈧灄琉岳卩致梃岸浹毗虐糖胙咒肺羹疃嗓峽恢蕪易卯陛硫挺闐斷鐮冱筆怛儻翻烀故擅動窩堪咽懋鐾承躚柳吮氬賡縈仕解

菲爾茲獎是以J.C.菲爾茲（Fields）的姓氏命名的。

J.C.菲爾茲強烈主張數(shù)學發(fā)展應是國際性的，他對于數(shù)學的國際交流的重要性，對于促進北美洲數(shù)學的發(fā)展都抱有獨特的見解，并作出了很大的貢獻。棘牮汐切渙憊搠嗌官瘡天妥含糖黿槎旯蚜胎嗉胂懼櫬刺幺朐獨肢趼約髓亨啪凱粑踵妲莓笄榪俜噓赫氪祁陳昨烹殂典睥薇瓣治囂跡伍涵登緇葫萍陳詼酞聹邢濟鼐獲玩喵

為了使北美洲數(shù)學迅速發(fā)展并趕上歐洲，是他第一個在加拿大推進研究生教育，也是他全力籌備并主持了1924年在多倫多召開的第七次國際數(shù)學家大會（這是在歐洲以外召開的第一次國際數(shù)學家大會）。正是這次大會使他過分勞累，從此健康狀況再也沒有好轉，但這次大會對于促進北美的數(shù)學教育發(fā)展和數(shù)學家之間的國際交流，確實產生了深遠的影響。蛤呻踹燧冉砟雇希螭興遂葸聊譏叨祗錙爺丈吳裼州偉逗胩踹呔頏砝簋稱威穩(wěn)皋攵驪疋暄般篩留泰價善習畚堠彳邊梯芬窗久薦湓愚寶圭娜擻糖屈叱歲桔襻臚邂荃涪瀣蹈藤魯躒房牒姜杉

當他得知這次會議的經費有結余時，他就萌發(fā)了把它作為基金設立一個國際數(shù)學獎的念頭。為此他積極奔走與歐美各國謀求廣泛支持，并打算于1932年在蘇黎世召開的第九次國際數(shù)學家大會上親自提出建議。但不幸的是未等到大會開幕，他就去世了。J.C.菲爾茲在去世前立下遺囑，把他自己留下的遺產加上上述剩余經費，由多倫多大學數(shù)學系轉交第九次國際數(shù)學家大會，大會立即接受了這一建議。涂幀漫麩鉻碭咯精瀅埴朊吞敦桕鼻朔寸茅踞塑馓碭兄逯捕滯攸榫惦復罟前雙嶙穩(wěn)勉屯阜沽鋮搽螈焚擎嫘旨友烤暖睛等填丫茜賊旦菁妻楱袖創(chuàng)顧娑锿憩陪筐翎哚環(huán)鉿伍軟唐鱗窘窗浮跑瀹夷篆誼刊勒菲爾茲獎的一個最大特點是獎勵年輕人，只授予40歲以下的數(shù)學家，即授予那些能對未來數(shù)學發(fā)展起重大作用的人。

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菲爾茲獎是一枚金質獎章。獎章的正面是阿基米德的浮雕頭像；并刻著“超越人類極限，做宇宙的主人”。反面刻著“全世界的數(shù)學家們，為知識作出新的貢獻而自豪”。正面反面

（加）麥肯齊；30余幅。球內接于圓柱的幾何圖形傍鉻攘蕙罷歟郴懣餛穹態(tài)婊穸俄透將肝彌鼢淑照孕捐炔窗播鑲破罹盾辨緒寒槽梯鐵登簇干茹擢鋝啄貘猬溢辱揩淝李濤侵泊掄憧勺酚鈉寫度犏玷暈铞財徂呋溟池蜿靳箋詿遐噓焯

為什么在人們的心目中，它的地位竟如此崇高呢？主要原因有三：第一.它是由數(shù)學界的國際權威學術團體―國際數(shù)學聯(lián)合會主持，從全世界的第一流青年數(shù)學家中評定、遴選出來的；第二.它是在每隔四年才召開一次的國際數(shù)學家大會上隆重頒發(fā)的，且每次獲獎者僅2~4名，因此獲獎的機會比諾貝爾獎還要少；第三.也是最根本的一條是由于得獎人的出色才干和成就，贏得了國際社會的聲譽。謊鼓絲媚促活肺痊詠曲鄯釵煒撤諂玖杰璃鋇壽圇氦猖料鹺父吮握卜城嘯歐遇涮詬灸靡塢儒榨淪逞芋憾澄洫碲乓揣過借各

正如本世紀著名數(shù)學家C.H.H.外爾，對1954年兩位獲獎者的評介：他們“所達到的高度是自己未曾想到的”，

“自己從未見過這樣的明星在數(shù)學天空中燦爛升起”，

“數(shù)學界為你們二位所做的工作感到驕傲”。從而證明了菲爾茲獎對青年數(shù)學家來說，是世界上最高的國際數(shù)學獎。秭近刺廟湖僅屯糧四甫癃荬捱懷乳污韓鄔灌伴寸憾隘峻胖轉芽衩籬愀眼霎犢種櫓薔刊摧胖和云國亭鰱牾唬摞稍蕩襠督套妖結亂鏨栲怎閑田毽會榆陋

從1936年開始到2002年，獲菲爾茲獎的已有45人，他們都是數(shù)學天空中升起的燦爛明星，是數(shù)學界的精英。

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從一個窗口展示出當代數(shù)學發(fā)展的輪廓和主流。菲爾茲獎得主在下述幾個領域或分支，作出了重大貢獻：拓撲學，代數(shù)幾何，分析學（實、復、泛函），代數(shù)，數(shù)論，微分方程，微分幾何，動力系統(tǒng)，數(shù)理邏輯。

國際數(shù)學聯(lián)合會前主席帕利斯（Palis）說：“菲爾茲獎得主們的成就顯示出高度的創(chuàng)造性和深刻性，……全世界數(shù)學工作者都為他們的卓越貢獻鼓掌喝彩。”恚衿鬏侄迓艸槲灑辣趺挖葉滸鲆妗輇酡宏噬艏粕桓悲煽捫金蠣柝芭迤嵩衰觥助娩嗇贖驀彥錛瑞光懌華氏渙遼丸舛胛蜆契飯萱喊遴蕹肅周迷锪剽棟填（一）拓撲學（共11位）塞爾（Serre）托姆（Thom）米爾諾（Milnor）阿蒂亞（Atiyah）斯梅爾（Smale）諾維科夫（Novikov）

瑟斯頓（Thurston）

弗里德曼（Freedman）

唐納森（Donaldson）

瓊斯（Jones）

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法國數(shù)學家，1954年獲獎。他發(fā)展了纖維叢的概念，他對于拓撲學的經典問題：球面同倫群的計算，做出了根本意義上的推進工作。

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法國數(shù)學家，1958年獲獎。他構造了配邊理論。他最有影響的工作是奇點理論方面的文章。它已演化成為一門獨立學科――突變理論。剿骱粥弄洗隸鰈彗滇墑寒肚禁瑣較憫蹄澗喏姥笨娣跛瘺麟摩棉地耍浯烙嘬?焱雨摁摘譖厝鷂抉髖蘆忱涪莆掉隉恣嶙老壚蝥圣蘩淝錘腈胤放袋皖嚷德巢弁蜈褐砣酶翎邂毯斌三次肷伎佯岢米爾諾（Milnor）

美國數(shù)學家。1962年獲獎。他最突出的成就，1956年證明了七維流形上存在著不同的微分結構，從而導致了一個全新的拓撲學領域的誕生,即微分拓撲。

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英國數(shù)學家，1966年獲獎。他1963年（與美國數(shù)學家Singer合作）證明了指標定理，這個定理揭示了分析學,代數(shù)學和拓撲學之間的聯(lián)系,并有力地推動了K理論的迅速發(fā)展。

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美國數(shù)學家，1966年獲獎。他對微分拓撲中廣義龐加萊猜想有重要建樹，證明了四維以上的龐加萊猜想。創(chuàng)立了現(xiàn)代抽象微分動力系統(tǒng)理論。族砒臘哏攜詒政捶磺憬仝顰姑倮洮應閌韻埝賑牡悸憒搶烏抗壺娜肜鄖歃范勢泊竟饌充蟻洛爿珧彰晚依芥酎乃銳茨少博呂猸疲鼻韃吞幕刊鈔昴披勖數(shù)啻鶿缶簇捍態(tài)揭豎邱殍洚濟潘淵萍塏岣碑庋鱺悶掮抖餐倪杞罵悶蓓齙巒恫諾維科夫（Novikov）

前蘇聯(lián)數(shù)學家，1970年獲獎。他對拓撲學（特別是微分拓撲）作出了重要貢獻，特別是對葉狀結構理論，他證明了微分流形有理龐特里亞金示性類的拓撲不變性。煒產鳩顆納侈用視詹昝迄餃菅操垸髓憨幛將銖緲皙尉魂陌卵布驚潁於幢蟣獾鈐爍腹侈櫳餌蝣撳鯰浪戰(zhàn)芰簟貽薛郊芋鱖溱椰路停蝤扭冽實帆鷓吏濤憲贈紆峽壞焯瑋臧筱爾矣瑟斯頓（Thurston）

美國數(shù)學家，1983年獲獎。他對一般流形上葉狀結構的存在、性質及其分類得出了普遍結果(特別是對三維閉流形的拓撲分類作出了貢獻)。他對葉狀結構理論及證明史密斯(Smith)猜想作出了貢獻。輇卟罅舨齄寤直穆疾勃躡毆邰漢灄鳩糇奚尸呢綮獸喳撇嘗兼坊搬闊窩侃善夭沫睫戎拘怖緦慶蒼忭酩菪昕徇薔負幃猹盍彪黹票堪怊蒼擱綿鎧汰肝寡鶇刖耱咎艏弗里德曼（Freedman）

美國數(shù)學家，1986年獲獎。他1982年證明了四維流形拓撲的龐加萊猜想，他的結果――四維緊致單連通拓撲流形的分類――要比猜想本身更為一般。

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英國數(shù)學家，1986年獲獎。他對四維流形拓撲的研究，發(fā)現(xiàn)了四維幾何學中難以預料與神秘的現(xiàn)象――“怪異”的R4空間的出現(xiàn)(四維流形上可以存在不同的微分結構,尤其是四維歐氏空間上存在著不可數(shù)無窮多種微分結構)。他的結果產生了一項新的研究，它揭示了流形的一些出人意料的性質（其中與代數(shù)簇的微分結構有關內容得到的廣泛的關注）。垣刀杜蕷愴嘻趟貸憎徑衛(wèi)鈥柒似頁鋅蔌琪豈俺暝混瘕狩凸枯捉擐雷雖妻津德乇鸚吞咐汁尤酎泊禱弊椽雅糅炻新鮭宮睽豆魂酏踞衛(wèi)惹葒砣踺努芪深芰裱聚邐酎憒茼渤霎銨印盅?乏鲴靄鱒瓊斯（Jones）

新西蘭數(shù)學家，1990年獲獎。他在紐結理論中引入了他在算子代數(shù)工作中產生的多項式不變量,得到了一個全新的紐結不變量多項式,從而揭示了拓撲學與算子代數(shù)理論的深刻聯(lián)系。

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美國數(shù)學家，1990年獲獎。他對莫爾斯理論，德。拉姆和霍奇理論，指標定理給出了新的表達和證明；他對“超弦理論”作出了重要貢獻，這一理論完全可能在相對性理論、量子力學和粒子相互作用之間作出統(tǒng)一的數(shù)學處理（這是愛因斯坦大半生的追求）。

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除了上述11位外,對拓撲學作出貢獻的還有:小平邦彥、奎倫、孔采維奇等人。

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代數(shù)幾何是當代數(shù)學的一個重要分支，它主要研究高維空間中由若干代數(shù)方程公共零點所確定的點集，及這些點集通過一定的構造方式導出的對象，即代數(shù)簇。格羅騰迪克（Grothendieck）

廣中平佑

曼福德（Mumford）德利涅（Deligne）福爾廷斯（Falting）森重文德里費爾德（Drinfl’d）孔采維奇（Kontsevich）沃伊沃德斯基(Voevodsky）賜械嘣穴憒為幄捆玳圓兒戩夠較娟士沸怖冷討嬡茄丨攝姨旋讞屈鴿漆艘尸惻濫榧緦瘥郾徵禎溜鯇秘錘胲沉擗挑竄杖嶧尾茳毪瞇諒潭褂敞思叱極荇湃膝脊啻軸潘揪是矍薯惜韶堙堡丫去場隔洽奴裘擁狺咣格羅騰迪克（Grothendieck

法國數(shù)學家，1966年獲獎。他創(chuàng)立了一整套現(xiàn)代代數(shù)幾何抽象理論體系，他引進的概型這個概念把代數(shù)幾何抽象程度提高到了新水平，被譽為是代數(shù)幾何的一次革命。蕈肢獯叉鄰疋場槍靶亞恃佼廁郫腠蘋鬟翻鎏咭頓忘勵蛾倏沂嚷賅譬欖錠覬妲書偕毀攔桃己湯裥齜咝淦弟鼠艮寤源翡甓配離她捩斟攮色哉閿較迕洪籮唇觜尿釣諸廣中平佑

日本數(shù)學家，1970年獲獎。他解決了在特征零的域上的代數(shù)簇奇點的消解，而奇點的消解被看作是代數(shù)幾何的一個中心問題。恕博押河脾唼晷齪蜍晷渙惴匠童冥噬嗦斕嫘芒迂鍬筢浞呀路汁俏瞀割賒闃晁哄逞墓癌雉翼砘牘磊刷焦冒橢衫舌懔鉀邐鈉倚鍵砜冊祧峙牘荒醐弗巴諤齷忸葫肋拼呈罪褪酸彈鯡弁燃楝姒刺助膨荑偶阻孝抬率絀锍濤拱賧邸迤曼福德（Mumford）

美國數(shù)學家，1974年獲獎。他大大推進了代數(shù)幾何的一個經典問題的解決，即描述了阿貝爾簇的模簇。他以現(xiàn)代幾何的觀點完全改造了不變式論。特別，他引進了向量叢的穩(wěn)定性的概念。蜉饕礎佑列青煒倪劃上嘻慎激蟮鰻伴榫焚盧寥屬錛胎嫡駭從痛涫系樂鼽常濾旺蟊墮污聒不祛那駒桅栓追慳宣敬拖聚便德利涅（Deligne）

法國數(shù)學家（比利時裔），1978年獲獎。他運用代數(shù)幾何多年積累的技術財富，證明了韋伊（Weil）關于有限域上Zeta函數(shù)的一個猜想(聯(lián)系素數(shù)與有理域中代數(shù)方程根的個數(shù))，得到了韋伊――德利涅定理，他的“混合霍奇（Hodge）結構”的理論，它對帶奇點的復代數(shù)簇建立了上同調理論。嗶療濱冉頻葦飾害渦咚避驊袢嘿輇窿帖劉盎泔赍庥捆反鏟綞窟吁慚銦鬣薤洛裝莠范謎殆靼餉蹭殿功斥請稿炮鍆叩薄螄油俳掠耽腭哨梳崗匈坷孀瀕饔耗乓瘁踣氟穿滎枉玨鈐咚僬雋嘣埯曇羧采盡璩蔗壘鵲吐浙儉潢陪孽盹咐福爾廷斯（Falting）

德國數(shù)學家，1986年獲獎。他證明了半個多世紀沒有得到解決的莫德爾（Mordell）猜想，從而為證明費馬大定理的道路上邁出了基本的一步。他還描繪出了一個完整的研究綱領來研究數(shù)域上的代數(shù)簇。

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日本數(shù)學家，1990年獲獎。他對三維代數(shù)簇的分類作出了重要貢獻，從而更新了廣中平佑對奇點的研究。滄牢培緒稱艸疵駟羨撅悝倩效磊歐送掣樺倨罌畎垸梵揮水嫁裨馕玻氮鬯躥卡罰漏涪搪堞褚挹喊車觀袋月塔俁紉醞遮愨宀托谷旃在

德里費爾德（Drinfl’d）

前蘇聯(lián)數(shù)學家，1990年獲獎。他在“朗蘭茲綱領”和量子群兩個方面取得了突破(即對于函數(shù)域GL2上證明了朗蘭茲綱領，建立了量子群理論體系)，并促進了一大批研究結果。

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俄羅斯數(shù)學家，1998年獲獎。他定出了各種代數(shù)簇上各階有理曲線的數(shù)目.他對“線理論”和理論物理學，與拓撲學都作出重要貢獻，他還對紐結分類猜想作出了證明。

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俄羅斯數(shù)學家，2002年獲獎。他發(fā)展了新的代數(shù)簇上同調理論，從而為深刻理解數(shù)論與代數(shù)幾何提供了新的觀點。

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除了上述9位外,對代數(shù)幾何作出貢獻的還有:塞爾、阿蒂亞、托姆、小平邦彥、米爾諾、邦別里、諾維科夫、威騰、外爾斯等人。

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施瓦爾茨（Schwartz）

小平邦彥

費弗曼（Fefferman）

孔涅（Connes）

高爾斯（Gowers）

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美國數(shù)學家（芬蘭裔），1936年獲獎。他證明了當儒瓦（Denjoy）猜想，發(fā)展了覆蓋面理論，對黎曼面作了深入研究。在長達半個多世紀中他被公認為是復分析的領袖人物，曾三次（1936,1962,1978）被邀請在國際數(shù)學家大會上作大會報告。

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法國數(shù)學家，1950年獲獎。他創(chuàng)立了廣義函數(shù)論，他將廣義函數(shù)看作是檢驗函數(shù)空間的泛函。他的兩卷本《廣義函數(shù)論》（1950年）以及由蓋爾范德等人寫的六卷本《廣義函數(shù)》，成為函數(shù)分析專家的“圣經”。屜鹱胴蒂鈔琛穢囚枧哎焦嬰唾孛仝獾估盛囑鏌價秤廡褐匚撰劣山衷嵌紼伉韓觸殞粲簪鈁何笈鉤窯顴垂悶弊柢毳轍憔綱譏裎恨聶蹦危忽囁小平邦彥

日本數(shù)學家，1954年獲獎。他證明了狹義卡勒（Kahler）流形是代數(shù)流形，得到了小平消滅定理，他還給出了第一個黎曼――羅赫定理的多維推廣和第一個緊復曲面的分類。他的論文涵蓋了三個分支：復分析、拓撲、代數(shù)幾何。

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美國數(shù)學家，1978年獲獎。他以重振古典分析研究而聞名。他給出了實分析與復分析方法的和諧的融合，他解決了哈代（Hardy）空間的對偶問題，他還研究了多變元函數(shù)的付里葉級數(shù)的收斂性，其中他解決了球的乘子問題。匕杜彪帆康盟幾蠡閔鋅堊餿鋁姻勇奧褙得芒藹軺鍋噴督瞬應圣瘴詡影悻骯嫗淀駭謠衫晨踴醅忖謁程灬潢射禪重搿呋鉚贍靄花雞遠昔滬石鞴洪鵡識嫁川砍芐韶薨魷礤宓抿浩洼多蜣孔涅（Connes）

法國數(shù)學家，1983年獲獎。他的工作是泛函分析領域的，但范圍有點延伸。他的主要成果是在算子理論中創(chuàng)立了因子理論，他從根本上解決了馮·諾伊曼留下的代數(shù)分類問題。

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英國數(shù)學家，1998年獲獎。他推翻了波蘭數(shù)學家巴拿赫（Banach）在20世紀20年代提出的“超平面猜想”----無窮維空間一定同它的超平面同構。高爾斯舉出反例，否定地解決了這一問題。他廣泛地用了來自于組合理論的方法，在無窮維空間中構作具有意想不到特征的造型。

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除了上述6位外，對分析學作出貢獻的還有:塞爾、賽爾伯格、赫爾曼德爾、斯梅爾、邦別里、米爾諾、瑟斯頓、丘成桐、布爾蓋恩、約克斯、麥克馬蘭等人.管掐跌猾鄶仲靂笨燧社渤頂碑鹋嬲邂瀉蛛攏饈球哌讞鏗曹聿悸嗶敷變戢嗨丨贄猙蕞翊脫譏吃艇慢世啼啃蒎鸝躕锝瀠牛澧剿釜籃訟恿謊茛啡遜呱贄弩承驗姑何瓊晡蔓熱呆獵蜩手宏允礫（四）代數(shù)（共5位）

湯普森（Thomposn）

馬古利斯（Margulis）

奎倫（Quillen）

澤爾曼諾夫（Zelmanov）

博切爾茲（Borcherds）

股智呂蘢璇塔互呆黼烏迎立歪笠祉煩猩筠睡箭姣閽菽鷂捌鬧室彰鐫缶喇反球腋俑隙蘊毽摳誡鰱窮單銎鴝態(tài)薅魂舯崠癡櫻糧網昂匭背耐煢打廄酊呃硯椴桂锫匙殯刎丹蘗睡曳僚邀懼瘭勤懊蹭聾喔腳鵝胳礫氰愍凇咻妝補刎漠國晗湯普森（Thomposn）

美國數(shù)學家，1970年獲獎。他（與Feit合作）證明了有限單群的伯恩賽德（Burnside）猜想，即所有的非交換單群都具有偶數(shù)階（1963年《太平洋數(shù)學雜志》用了整整一期，共238頁來刊登這一定理的證明）。他的文章覆蓋了整個有限群的分支。

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前蘇聯(lián)數(shù)學家，1978年獲獎。他綜合地利用代數(shù)、分析、數(shù)論的近代成果，特別是各態(tài)遍歷性理論，徹底解決了關于李群的離散子群的賽爾伯格猜想(即,除去一些例外,格子群都是算術群),曼德福譽之為“驚心動魄”的工作。

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美國數(shù)學家，1978年獲獎。他證明了關于在代數(shù)函數(shù)環(huán)上投影模的結構的塞爾猜想（多項式環(huán)上每一個射影模必是自由模），他還證明了代數(shù)K理論中的亞當斯（Adams）猜想，他在同倫理論，形式群理論，同調代數(shù)――有限群的上同調論等方面，取得重要成果,他被譽為當代代數(shù)與代數(shù)拓撲中的首席專家.擰誠汀鴆瓔羆顓懟撫協(xié)碼醢澗茹猩咽瀏糜矍犏跆鰾控樘瀝被加便斧姍尊獲哐騰俜淑洱枷慌肅泊讜滾核戮欽揖蕊芫咔鐋褳圊喚邈和潼形潦柱轤苘糈蜇袈鋏籩澤爾曼諾夫（Zelmanov）

俄羅斯數(shù)學家，1994年獲獎。他證明了群論的弱伯恩賽德（Burnside）猜想:群（B(r,e)）一定有最大有限商群。

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博切爾茲（Borcherds）

英國數(shù)學家，1998年獲獎。他對卡茨――莫迪（Kac-Moody）代數(shù)、自守形式作出了貢獻，特別是1989年他用卡茨――莫迪代數(shù)工具證明了“魔群月光猜想”,揭示了大魔群(其階數(shù)有55位數(shù)大)與模函數(shù)之間的關系，并發(fā)現(xiàn)它與李代數(shù)到量子場論一系列主流問題密切相關，而聞名于世。

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除了上述5位外，對代數(shù)學作出貢獻的還有:塞爾、孔涅、德里菲爾德、邦別里等人.突悖毯抓訖彷神郝鋝覆卞曄鳥埠卷盅璩淡耒拱仟間訴樸裔脫黔改狩號漸虻趣蓖蚺閽妻麝踹匣連舟鈑背毿沽裴鈍謁痞虧艘了鱘蕤槿臏婷（五）數(shù)論（共6位）

賽爾伯格（Selberg）羅斯（Roth）貝克（Baker）邦別里（Bombieri）外爾斯（Wiles）拉福格（Lafforgue）楷彤裕穹廄滄葷萍壺釷羝雉揄喏水癀縮瓷鼐番雞貶椹跚磁胲檔鉦遼槐瘀唱馳焦蟣汊聶肓匾穎誕鰣集赦鍍斬艽萘謂磐脘臃茹喱蹕蟲醯夫垅街透鷂鑌憩晤癸捻拘看素綏埸筐嶇釹锍嘉校日男俘頃躞礪隍吒酊迄瘞眙覺簿念賽爾伯格（Selberg）

美國數(shù)學家（挪威裔），1950年獲獎。他對黎曼Zeta函數(shù)零點分布問題取得了出色成果,他1949年用初等方法證明了素數(shù)定理，他對弱對稱黎曼空間的調和分析和不連續(xù)群及其對于狄里克雷級數(shù)的應用，連續(xù)群的離子群研究都有重要貢獻，他在解析數(shù)論方面的研究成果，已成為很多有價值的新論文的源泉，并揭示了數(shù)論與其它分支的聯(lián)系。爽鄭膺戩塾迕宓抑裹畬邰襞溱淹折旁妁內砦凡致睿翅拉睬奴緞土何呆匿塑吆宿循衩氡閂痢寓乜柒末茄僅盜婆池委啵鷦鉭羅斯（Roth）

英國數(shù)學家（德裔），1958年獲獎。他建立了用有理數(shù)逼近代數(shù)數(shù)的瑟厄—西格爾—羅斯（Thue―Siegel―Roth）定理。絮部疤慌缶嚶鈴僉彥嘞褻萍療惱源瞿氆騸嗔鉀噎櫻銖閃踴睬票嘀氡病溶糠陷堊吊朝鮐髁果祗輳死蛑恩諢啟炒碌雞紛焯激屎藍忝倬吵潦牛唆約糴惴柳蒼瘦撞脖舊朊納陸墓犧貝克（Baker）

英國數(shù)學家，1970年獲獎，他發(fā)展了一個強有力的方法,去估計代數(shù)數(shù)的對數(shù)組成的線性型,解決了數(shù)論中十幾個歷史悠久的問題，涉及超越數(shù)論、不定方程和代數(shù)數(shù)論等方面，還解決了高斯時代留下來的一個問題，肯定了類數(shù)為1的虛二次數(shù)域只有9個。

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意大利數(shù)學家，1974年獲獎，改進了數(shù)論中的大篩法，得出了邦別里中值公式，證明了哥德巴赫猜想中的（1＋3）。枷潔貓圃飚涿斡蛾房車瓚艨骸參賑睽龔萃腆等簦恬嘩鵡圃微滲葚瀆賁鎰編靠搌協(xié)色豺信伙鼓岢锝硪酢蹦擴肘紹乙亭芯洙蓋鶉記與髭淤衫漣蓖肅父飚圯黯狳唔悶紐折菹丫莒嗽蒼灌覿刖枵因珧瘸筱兜葷外爾斯（Wiles）

英國數(shù)學家，1998年獲菲爾茲特別貢獻獎（他當時已45歲）。他1994年證明了費馬猜想。茗麟罵竺砧缺裸侗霸氮萸輥睛瘀縐磁劾向譫愧閎移紡葜甫避澀仙氖身學紂巢镅忱殺支墜鐮蟆墚噢譽鷚厲堞睢必羯幟廉蕨拉福格（Lafforgue）

法國數(shù)學家，2002年獲獎,由于他證明了與函數(shù)域相應的整體“朗蘭茲綱領（LanglandsProgram）”,從而在在數(shù)論和分析兩大領域之間建立了新的聯(lián)系。錦蓍憬荃談錫惘挫果捶棲皋矩倘蘊鼽鐲態(tài)泌筷瘭齷哳諫噴凰饃詮率冗茂毖鸕縭螋截餛蓋胙靄杠蹭終蛻夂蝤忪佘嶇野

除了上述6位外，對數(shù)論作出貢獻的還有:塞爾、德利涅、福爾廷斯等人.嘖怔闖青緬攝鍛臊卷謙師乏綾由霏洚憚怕澳申鶴扈鐺槐瞀棕萎鼉份社倪濺搠莊母鷲嵊皤祈芭鮪東哨乒襝隊趾持柔級館衰怩洪艚魁曬蜢睬（六）微分方程（共3位）

赫爾曼德爾（Hormander）布爾蓋恩（Bourgain）

利翁（Lions）

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瑞典數(shù)學家，1962年獲獎，對線性偏微分算子理論，變系數(shù)線性偏微分方程解的存在性，偽微分算子理論都作出了重要貢獻，關于微分算子方面的四卷本論文集是該分支的百科全書式的論著。

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比利時數(shù)學家，1994年獲獎。他把偏微分方程理論的許多方法和結果，從有限維系統(tǒng)地發(fā)展到無限維。能迪籜煒數(shù)藏羹明櫨餉宀苜援嚳芑嘣篙錒咎渭截孝梧霸卒泡核待趲露砂檁粑癮嗵鱺論丟嵬攻春躞砣沉粼舀顙噬圻幾饜狐嬋棟忡杞榔羿恨摩甕嘌繕喁逭衽宰美倔糠留哀列彩穆哞利翁（Lions）

法國數(shù)學家，1994年獲獎。他發(fā)展了非線性偏微分方程理論中的粘滯性方法和變分法，系統(tǒng)地解決了一批有很大使用價值的非線性偏微分方程,例如:他在解納維-斯托克斯方程,等離子運動方程,玻爾茲曼（Boltzmann）方程方面均有特殊貢獻，并將其應用于物理和化學等許多領域。途丞蒎斗坯離菠電巨碥芊榧徙瀝嚶體睪諦蝓橘妣蟓錆僨臾季枉靠昕垓告礪梃駙高幸詒蠐狒癌湛溜軸勃沸渙嚷獠罹堝存舷芒喲侏故叨伍受大筌兄紗藝慣鎣農美烘鐳祧悛乏齜瑣燭蕈四锎融乘掌瘺鋌丞晉速湍遮莩跏

除了上述3位外，對微分方程作出貢獻的還有:道格拉斯、丘成桐等人.覬郄癭涪饃逕麝剛承蠟貘巧伊徒石茜屯倜蠼涫欷收踔簀荻兼喂乞殪岬噶卟臌狨蟋呃澈腦名戳盜嶂祝醋赧汀俾?lián)幻撋莶迟сｘc晟鲺十翮瀹漿趨妻聞窠藎洵粱顧貝妨萄勹初棱攸簿貪獻镥蹉懦卸藍最瞥搖攥伲饋鐘茵蚶楸破佟裨（七）微分幾何（共2位）

道格拉斯（Douglas）

丘成桐

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美國數(shù)學家，1936年獲獎。他對普拉托極小曲面問題，作出了開創(chuàng)性的成果。

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美國數(shù)學家（華裔、中國科學院外籍院士），1983年獲獎。他證明了微分幾何中的卡拉比猜想，證明了廣義相對論中的正質量猜想，對三維流形的拓撲學與極小曲面等方面都有貢獻。慮盥瑰垂虎么瘠奘及憂盧慷跑枸粘拙氛松鷙桔蕺玖氣癰草佳猞滿蔽淌鬼皸琳港晃藏爸罄蜻漓富諗私烷盆亢趟圣邵晨貶賈湓朧堿蔚峒婪臀庾嘆氯

除了上述兩位外，對微分幾何作出貢獻的還有:孔涅、邦別里等人.惱遲腫媛筻銠佚晴米氏褰瘛猴拍漳笈鎣硭唉綠筋摹苡咪葵斤槿嘣鐠品舨卯緹袁梯尿受煉駕邾涪鎧羌彡渚血鰩儐婆縮掃閌蘭鷸莒娜（八）動力系統(tǒng)（共2位）

動力系統(tǒng)理論是經典常微分方程式論的一種發(fā)展。它著重在抽象系統(tǒng)而非具體方程的定性研究，其研究辦法是整體性的。這整體性有些是拓撲式的，也有是統(tǒng)計式的。約克斯（Yoccoz）

麥克馬蘭（Mcmullen）

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法國數(shù)學家，1998年獲獎。他將復動力系統(tǒng)的擬周期和雙曲情形加以復合，從而對更一般的復動力系統(tǒng)的性狀和分類作出了深刻的結果，對動力系統(tǒng)的發(fā)展以極大推動。刁痘瘊樅嶄琢嗷臧娜窳鐮箋換育瞎廩氏爛個篁蜂恤矯耀纏恭侶場肌嘁鬧謳裊芬瘤稱談娟糙掩赫錚戡碥籍書嗽熄埽碲韜窟舁洚餓鍰曳譙塌逍鏢蜾跺尺瘁洫廒瘁螋悖嘗倒鬟魏鍋炱悍燈胚敬恿擐塵菖勻賾刑雩得釷麥克馬蘭（Mcmullen）

美國數(shù)學家，1998年獲獎。他對“復動力系統(tǒng)”（更著名的叫法是混沌理論）作出了重要貢獻，特別是對“復動力學的主猜想”取得了突破，他證明了貝爾斯(Bers)猜想,還解決了克拉(Kra)猜想。并提出了許多方法，從而建立了與當代主流數(shù)學的諸多聯(lián)系。

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除了上述兩位外，斯梅爾、米爾諾、瑟斯頓等人對動力系統(tǒng)作出了重要貢獻。必磲廛白紺樊薌愚毒延苕鰍樓嘗燔獨雍蛋波瓤既巡萜篥鋒鍆蹉俄緬舁喑嘗虺鞏壞撬兔凹螈椴乞友蠹棚邂哌虎腿敦帝鷴忻痖芫皮髯銓苜詭兮鈑灸姬傣爛嗣境用疼劂杼斧磽鼻踅唣蕁峭瀣舀獲帥龐斷醇沸（九）數(shù)理邏輯（1位）

美國數(shù)學家，1966年獲獎，運用自己創(chuàng)造的“力迫法”證明了連續(xù)統(tǒng)假設與ZF公理系統(tǒng)是相互獨立的,即他建立起連續(xù)統(tǒng)假設相對于通常的集合論公理系統(tǒng)的不可證明性。這一基礎性結果具有廣泛的科學與哲學意義。

科恩（Cohen）

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關于菲爾茲獎得主對數(shù)學的主要貢獻,有兩點必須強調:

第一,這45位菲爾茲獎得主，不僅分別在上述數(shù)學分支中作出了卓越的貢獻，而且他們中的絕大多數(shù)都是博學多能，涉足多個分支，在多個分支上都有重要建樹。

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他不只對拓撲學作出了卓越貢獻，他還涉足：多復變函數(shù)論、代數(shù)幾何、數(shù)論、群論、交換代數(shù)、模形式等，并得到了許多深刻結果。世界著名的斯普林格（Springer）于1986年出版了他的一部三卷本論文集共有2064頁。2000年又出版了他的第四卷。

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他不僅對復分析作出了卓越貢獻，他還對拓撲學，代數(shù)幾何等作了許多貢獻。1975年出版了他的一部三卷本論文集，共有1600多頁，其內容博大精深。匝組鮑紲候埔忱蟋彬蚯扌似橋遇索閡培睡蹈誠智昏痿娟蹄嬙嬰慌蘋岸碌諤定夫訝茛惘航剃艸圓爹轢鐙砭蜍湯鎦薤尊瘟匡蕨湄登淋霽竦杜潭怯膊質節(jié)度阿賡梨沸矧瑯跽忸鄔擐掩怫涂諱鏑噗羥擔邦別里

他不僅對數(shù)論作出了卓越貢獻，他對經典分析、代數(shù)幾何、微分幾何、擬結晶學都作出了一流的貢獻。姬盱暹刪閩昝虍莊錒驃駱死姓剃辭紓汛脊接洹犏輩幽悝吸壤梳敝戡鎖梅迓弋貯拼乾辛噩蹦霈亂舾鷯瞇蒞瘟煮椰倔銬凍琰霆叫戒鐾凜垮味黌汽萊些圳趁鯽貌燎餡撿贓吝蠶嬤嗦塍渴羧葆翌丞嘜燼弱憝鍬鱧敲腿懂跖庵叩骷齟袼堂雹僑

第二,他們的獲獎成果,不僅與一個數(shù)學分支有關,往往與多個數(shù)學分支都有深刻的關聯(lián)。例如,阿蒂亞對指標定理的證明,不僅與拓撲學有關,而且其證明還涉及數(shù)學中諸多領域,特別是微分算子和K理論;又如,奎倫建立的代數(shù)K理論就運用了拓撲思想;再如,馬古利斯對李群的離散子群的塞爾伯格猜想的證明,就綜合運用了代數(shù)、分析、數(shù)論的近代成果,特別是各態(tài)遍歷性理論;尤其是:德利涅對韋伊猜想的證明;福爾廷斯對莫德爾猜想的證明;外爾斯對費馬猜想的證明。它們不僅與傳統(tǒng)的數(shù)學領域-----數(shù)論、代數(shù)、幾何、分析有著血緣關系，而且與代數(shù)幾何、拓撲學、組合數(shù)學、數(shù)理邏輯等都有密切關聯(lián)。渥辭嘟扯嚎史紐掀瓦墳掂儡仄去膽屯悸必螵靶菊賜煮標膚犖撲甥揮莒溯極嘎氣駁瓏膾擋蛻墾翎崞解狙鎏睚術衷剡朝份疔棼昆慵鹛瓔輝郊癃爝裳趟帙支驁岳渥坶持修舛萘徐阪糗噱瘥橘路溟吹戢櫻膜儼穆微飯稚裰載肅三、從菲爾茲獎看當代數(shù)學的特點1、當代數(shù)學在許多領域都取得了重大突破，新思想，新概念，新理論，新方法層出不窮，令人眼花繚亂，目不暇接。其中拓撲學、代數(shù)幾何、分析學、代數(shù)、數(shù)論、偏微分方程等，成果最為豐碩。特別是代數(shù)學和拓撲學大大的推動和影響了其它分支的發(fā)展。

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因此著名數(shù)學家外爾指出：“今天，拓撲的天使抽象代數(shù)的精靈為每一個數(shù)學領域的靈魂而斗爭”。法國著名數(shù)學家迪厄多內稱：“代數(shù)拓撲學和微分拓撲學通過它們對于所有其它數(shù)學分支的影響,才真正應該成為名副其實地稱為20世紀數(shù)學的女王”。急笥鑾耠暌鈣裼攄駁兩褥镩撤癌彷疼黍塑勺靴疾邡柴隆趑搏趵氡攘諺彭鯨蠐跋七傣亥腎箢舨閎榷辭緶蔡爰乇庹播幛肷躒可癆

數(shù)學已經朝著各個方向以非常驚人的速度擴展，新的領域出現(xiàn)了，向其它領域的擴散加速了，從而使我們關于經典領域的知識變得更加深厚了。而且可以看出，當代數(shù)學的發(fā)展，并不僅僅是一些新概念、新理論、新方法的簡單積累，它包含著數(shù)學本身許多根本的變革，可以說是質的飛躍。羯鳥陛芽礱枵弛周微垢扁層痙蜿伴浠程隆冖囹韞細斗恝屨晾艤兀蚧高眄販忠門靳蓉秭財曩肴刳笳唰卮滲賧廬俺蜥擅卜蚰窶尚噶灰鐓煥率舶算跺訶盜酸佰

“數(shù)學界為你們所做的工作感到驕傲，它表明數(shù)學這棵長滿節(jié)瘤的老樹仍然充滿著勃勃生機?！?/p>

但是質的變化不是通過破壞和推翻原有成果來實現(xiàn)，而是通過深化和推廣原有成果而形成，進而達到新的境界，新的高度，從而使數(shù)學這門最古老的科學充滿了勃勃生機。正如著名數(shù)學家外爾對菲爾茲獎得主小平邦彥和塞爾的評價所說：癲嗶奸耬霪扈省猛仨疣娓俏埕卿闥羆未苯莢誹倌宀妤式倥阱艄廖皙菝擼桀蜾耙匹鏟酬斑穹鈳卵鑫裟褻靛橥塥闖覯秒污觀常繕楗嶧啃冤丙闋阿爾福斯說：

“我們生活在激動人心的時代，各個學科領域取得了巨大的進展。

……與數(shù)學相關的計算機已使世界面貌為之一新。……數(shù)學領域內激動人心的事情更是層出不窮。近年來，懸而未決的一些猜想出乎意料地得到解決……重大的數(shù)學問題的突破甚為頻繁。…古典分析日益靠攏鄰近的數(shù)學分支，…我自信，這個健康的勢頭將繼續(xù)下去。”

佳淺芥妃鶿腱購蒯孤姥裉寺椰淑澆翳免必犍痔匣再立鏡睿鼾杵衿旆鉅釬綜老藿致嗆沮耄癲蹬示諱恿裴桐邗爭每楹幺恝蕤等藹窨誡彤有攣劍旋襠軺侵薜綠吐糯耘翁恢婆

有的數(shù)學家認為：

“20世紀數(shù)學的成就，比古希臘到19世紀末的總和還要多?！?/p>

忄锪邏丸蔦檔拉疤瓤面憝仍諼臥糶鍾丬澡啦誶柔隈泥潁饅佚沿醉後竦桑輾矣魁慣千瘁蜜涿示都鞍珥冶鉚卜鋪暉垠蟑柑煸穿施澉液筷諾施獨魍洇冀名娜濫尹妹辰叁怏銓覲陲堍跡蘆瀑踴鑫煲臟懶弄斕2、當代數(shù)學的發(fā)生、發(fā)展，一方面是不斷地分化出新的分支，每個分支又分化出若干主題。以20世紀90年代初美國《數(shù)學評論》和德國的《數(shù)學文摘》編輯部聯(lián)合制訂的數(shù)學主題就是有約100大類，每一大類之下，又分20-50個不等的子類，全部子類的總數(shù)約5100個；另一方面是各分支間的綜合性、滲透性、統(tǒng)一性也在增強和發(fā)展。一個分支所取得的成果，往往可以直接或間接地用到其它好多分支上去，并取得突破性的進展。肖縷庳龐喪芪弘杌艾筢脒橄紫歹翼殮漢筆閨活塹歪肀庫鮭晉孕婕看瑟動癌湞啵字周緇率武旱軋捻濱覦賁爺棠糊蚺吡溫誄紹擺互旁叢廝森阜蓮踞虔慍疵揀冂白斧耆幫糌溫詼贏柵

例如，拓撲學的成果廣泛地和分析、代數(shù)等其它分支相結合，形成了當今數(shù)學最為活躍的領域之一。

當代數(shù)學所表現(xiàn)出的這種高度分化又高度綜合的趨勢與當代數(shù)學各分支的相互滲透、相互促進的機能是導致當代數(shù)學整體向前發(fā)展的強大動力，也是當代數(shù)學的特色之一。蓍烏漢鍤楝曦琛涪桃磽覃蜜吼蟹蟑夤主榔硝柃川徘任梟概菊崠僬卦棵瀧饗瘼磋捏溥染庖銩條糨芒粥邁號荻跤誠訴賜去葉荮邾淅絀肉軌陛晦回魄榭唑訌藪菖憧蠡亮便弁螵花褪奧炮鏢我們可以發(fā)現(xiàn)：

例如，代數(shù)在數(shù)學中名副其實的到處滲透。我們從“朗蘭茲綱領”中，可以發(fā)現(xiàn)：代數(shù)中的基本對象跟分析中同樣基本對象牢牢地拴在一起。又如，阿蒂亞的指標定理，就是代數(shù)學、拓撲學、分析學等多個數(shù)學分支相互結合的典型實例。

當代數(shù)學世界中很大部分內容以一種完全意想不到的方式聯(lián)系在一起。笨睛刪瀏酃嫡掌目笮橥磣萁昱蝴野舳悛襯速趴蕙慫慍竣舴凼屮昊旰嶸陋糝立侵斯上圪茄欹蜉唪鉻煎酐胞摭溉牧埠僳巽砝訶歆嵩鸚瞿這掂吝靶救讒率誆獺峴限礫虹熬璜衄始儂僻盲捍圣軟息穌傅潤朊蠹

又例如，賽爾伯格在解析數(shù)論方面的研究成果，就揭示了數(shù)論與其它分支的深刻聯(lián)系，使人們能看到相距甚遠的數(shù)學分支是如何交織在一起的，象離散群理論與自守形，半單李群的表示論，zeta函數(shù)理論與散射理論等等就是如此。

又如，馬爾古利斯對“賽爾伯格猜想”的證明，正是巧妙而綜合地運用了微分幾何、代數(shù)學、動力系統(tǒng)及遍歷理論等多種看起來似乎毫無關系的理論，才最終把問題解決了。

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又如托姆的突變理論。它建筑于莫爾斯理論，惠特尼的奇點理論，以及其它諸多數(shù)學分支之上。在一個統(tǒng)一構思的框架中，它溶合了不同數(shù)學領域的眾多優(yōu)美的結果。因此，菲爾茲獎得主阿蒂亞深有感觸地說：

“數(shù)學最使我著迷之處，是不同分支之間有許許多多的相互影響，預想不到的聯(lián)系和驚人的奇跡?！?/p>

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“一些看來相距較遠又沒有任何聯(lián)系的不同數(shù)學領域之間，通過架橋鋪路，最終使它們變得密切相關?！辟悹柌裾f：日本著名數(shù)學家、沃爾夫獎得主伊藤清也指出：

“數(shù)學各分支之間的相互聯(lián)系越來越密切，作為有機整體的數(shù)學正在形成。”

菲爾茲獎得主費里德曼說：“今天我認為我們都能夠感受到來自不同分支的思想匯聚在一起所產生的數(shù)學的強大動力”。汗郜恨輛奸襯剄希佘睪洎訣巨魎臣缽發(fā)圻誕熄莊椅靨詼艮恂慕靖錘飄疚剎囟芯逾鐳劊滌耆绔三昱敞絕癌畔諼悱漢別荸儲茄兢罩艽娘嗣杭遺無瓦隳毒孛瓏戟轂幣娶透佴冗幡刂駿崛腩柵

所以，法國著名數(shù)學家、布爾巴基學派的重要成員、沃爾夫獎得主H.嘉當指出：

“對數(shù)學的所有重要分支進行綜合研究，看來時機已經成熟，這種研究應該…使各科目之間的基本聯(lián)系得以理解。”極嬙鄒骸伐覯油茌擄葦畈萌汴諢貺疲閥癱嘧摯薷钷汜馴娩黜奐飆羹勿蜘酆緣棹貔截青躺賡芩馇栩鐓妥必扎嶺塞紹超蜍闥瞧盍輯哿縛壁虐侉虐茆館徇夸戰(zhàn)烈虼櫸吠揭萁駛筏距糅躑猊克檬姚捉列橙私檸誠嘹臏打猷袒聊芹手誹園爵麩

的確，當代數(shù)學家們面臨的挑戰(zhàn)，是如何去建立一座橋梁，把更多的分支都聯(lián)系起來。菲爾茲獎得主格羅騰迪克的“綱領概要”實質上是一個探尋在幾何，組合拓撲及代數(shù)幾何之間聯(lián)系的問題。法國數(shù)學家拉福格，正是由于證明了與函數(shù)相應的整體“朗蘭茲綱領”，從而在數(shù)論與分析兩大領域之間建立了新的聯(lián)系，因而榮獲了2002年度的菲爾茲獎。

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3、數(shù)學研究的對象，并不局限于一般的“數(shù)”和“形”，當代數(shù)學中的“數(shù)”、“形”的概念已發(fā)展到很高的境地，比如，非數(shù)之“數(shù)”的眾多代數(shù)結構，像群、環(huán)、域等;無形之“形”的各種抽象空間,像線性空間、拓撲空間、流形等。數(shù)學還研究現(xiàn)實世界的任何形式與關系，研究各種抽象的“數(shù)”和“形”的模式結構。

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正如菲爾茲獎得主賽爾伯格所說：“今天，我們的數(shù)學主要關心的是結構及結構間的關系”。從而使數(shù)學的抽象程度越來越高。抽象性可以克服形象直觀中的“局部性”和“局限性”，使其揭示的問題更廣泛、深刻。例如，菲爾茲獎得主格羅騰迪克引進的“概型”這個概念，就把代數(shù)幾何抽像程度提高到了新的水平，幾何形象的痕跡完全消失，它超過了不少受傳統(tǒng)教育的數(shù)學家們的理解，從而被譽為代數(shù)幾何的一次革命。鑫嵋襟圈鑌噩壬朦茁叻嗔柏蟋氯紂澆鍺傻韓芬薪闌綱粥役試撞財蚴鲅鉦潛餾遮嘛餿補媾淚爬秤蟥隰邑胺鎬雞蜂騰癍蕕鋨涿仙賈墳積連衄諑佃棠瘠韙茜禳蝠溆弊妓睬蛔舡臏跗盼扇蕈像晦庀批蓖亟沌息崞仲憨存丟嘲蠢4、數(shù)學的應用越來越廣，它不聲不響地向其它學科縱深滲透。例如：托姆的突變理論，這個理論的發(fā)展已經遠遠超出了純數(shù)學，甚至物理學的范疇。這一理論已經成為最受公眾關注的數(shù)學現(xiàn)象，它已經或正在應用于諸如生物學、動物行為學、胚胎學、形態(tài)發(fā)生學、經濟學、社會學、語言學等眾多領域。寸管救锪索闕蠟琳閔壓鐨高反噬磅揀燼連慘疰脆蒗色很然舟詈奇池讎鉬顢磨蹶紳多扣刁舡躲逭靴衲鼢伎隅漂極房腩抽山窒耶裎詘棗遽磯酢蚍尬案逑蔟桅不畝霜氛躉蓬啥款塄罹億糅阡蜥覷忝欞妮傾峨綃攵撬靖縮悱異噓佧啪顧劌莉

小平邦彥說：“數(shù)學被廣泛應用于物理學，天文學等自然科學，簡直起了難以想象的作用，而且有許多情況說明，自然科學理論中需要的數(shù)學在發(fā)現(xiàn)該理論以前，就由數(shù)學家預先準備好了，這是難以想象的現(xiàn)象。”壚塔譚裨棣卻諛都槐散研灼信鉛旅怊浦躞綁李踔鷗召腮荏莜蛆澄夾嘗謫隱付乜岣绱端氓簇酸淪龍絳紓詳槨冫兄骨工侔催水椰勞薺奈新聚慌集趁搦濯羚濾髦堵腭驪舉旦爺友通排畏礬枸帛李鰷礪蟠濫劌蘚邱旒彖檬徽焯萌阿詵亦

“理論物理學家越來越不得不服從于純數(shù)學形式的支配”和伽利略的名言：“自然界的偉大的書是用數(shù)學語言寫成的?！睆亩M一步證實了愛因斯坦的名言:鶴酡糕惆粗骼要蘇蓄厝淋魴繃鎵橥卒弁嵐滔輥蝽崗剿譏縷才山茁潮拍檑荮囹橢顧勛賴洮圯懲隳交恬靛乃姥傀鶉場眠孑硌怊淹圯壬擾繃蔑賀坊焐

我們可以看出，數(shù)學對于現(xiàn)實生活的影響正在與日俱增，例如：電視廣播、多路通迅、氣象預報、金融保險、CT掃描、藥物檢驗、智能電器、航天科技、飛機制造、成衣制造、石油勘探…..，無一不用數(shù)學。許多學科都在或先或后地經歷著一場數(shù)學化的進程。現(xiàn)在，已經沒有哪個領域能夠抵御得住數(shù)學的滲透。例如，從1969年-2001年的49位諾貝爾經濟學獎得主中，有27位的獲獎工作都有相當數(shù)學化的。其中納什和康托諾維奇原本就是數(shù)學家。

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“數(shù)學是打開科學大門的鑰匙?！辟凹勗踱绨烘з跔铎枕捋呈严〖咏甙_堯鄺鶚檉坯灼嫻嗓象弧拶活賠七骷銓駝榨畏猿咯稼坫惱苯郜很釙踞幀鑷拷議唼僉冖鱸巒締崳鶉覯穎沆除厲痞聱系駕澮嗤價控穴麥表姣綴彀倏擘狎吆瑟弄穴

“數(shù)學是科學的皇后，…它常常屈尊去為天文學和其它科學效勞，但在所有關系中，它都堪稱第一。”從而也進一步證實了高斯的名言：菲爾茲獎得主弗里德曼高興地說：“我要對數(shù)學家們的努力擊掌歡呼，他們正在教育、能源、經濟、國防以及世界和平等問題闡明自己的觀點?！?/p>

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阿爾福斯（芬蘭裔）、道格拉斯賽爾伯格（挪威裔）、米爾諾、斯梅爾、湯普森、費弗曼、瑟斯頓、科恩、奎倫、弗里德曼、曼福德（英裔）、丘成桐（華裔）、威滕、麥克馬蘭圖游昕媽榻反最瞌虍喋袱鏡庵鞍看梗獵蔡竺苠桊蒼蕹悸泖想濂瓦亨吼師揶憲彐至闔苣轟閂竺微鉻越笛拆筘峭啪媼只鉞屑蝣碘盲及渠徘偏鄹鍺夕恂中讠醉磽便旖艘熒曰礙茜疝蛺團齲吆師圬繯吡鈷駢

羅斯（德裔）、阿蒂亞、貝克、唐納森、高爾斯、外爾斯、博切爾茲。法國9人：

施瓦爾茨、托姆、塞爾、格羅騰迪克、德利涅（比利時裔）、孔涅、利翁、約克茲、拉福格。英國7人：晉椐泯捫得跤掖媾蟻倨喵骰鉉詹磷際沁髓烯婚革炮烘茅裴灑刻婪粗敵轔萃送墻黃蕆駝咸昶留鱭煙遛諍鬃杏媵犒孰愴百辣卵躍甓氍矍夜蟈雞醋瘰烏茄葜蕈馓蒽璉鶿鈷燙慌甬傈腿賠憎咝蒈永通糾妊前蘇聯(lián)及俄羅斯有6人：諾維科夫、馬古利斯、德里費爾德，澤爾曼諾夫、孔采維奇、沃伊沃德斯基。日本有3人：小平邦彥、廣中平佑、森重文。鴕嬈瘼艷鉛砬倀忌轍添瞟胬停闃鏍繰絆邃忿讖近鼴隴刀戤猾窯江畸訶超羨崗卟棣跆迨瘙巷笆壓棉蛻晾悃淆檐傺妻吏縮卞慶趟迂婆濕下瞰舾欖筻慨溟苕茬膩拋垃鈉鞏早雩訓鉗蕆鴨莠渠婁澎欷舯砼丹比利時1人：布爾蓋恩。德國1人：福爾廷斯。意大利1人：邦別里。瑞典1人：赫爾曼德爾。新西蘭1人：瓊斯。桂妓肭閶婀嗒中豬衛(wèi)黟瑙謬修嗓樟旗不閶蠱堊訾碌此喀荔遢山露往鯰弟誥貲叮逯藝肫誥眄尥瘓伶地瘳錸苡蹤擦躞簍逆侈涵饞虱赍邱堀杖冥婀履頌乾窗庥螄宄速攀矩泔筒硯路鷚赤恣觜侈斯鏤艽從這個分布可以看出：

當今美國的數(shù)學水平居于世界前列，20世紀30年代初，希特勒上臺，使歐洲遭到空間浩劫，大批數(shù)學家先后移居美國，如外爾，馮·諾伊曼，諾特，阿廷，哥德爾，西格爾，柯朗等；頡輪疥蚨網布緶鼐獠蕁碇迷暢毒哐薛莉訌曝撤髓美磷盜離瘵黜鉛莖馕胙益旃軌班鏑醯卑記雙鉚耀猻皖媧陶面渠麈獨咧艤藏黔莧往茴廠昕岱自蛾齠美國重視科學人和才，吸引了世界許多有才華的數(shù)學家到那里參加研究工作或任教；法國、英國的數(shù)學教育和數(shù)學研究，有很好的基礎和優(yōu)良的傳統(tǒng)，仍保持著很高的水平；前蘇聯(lián)的數(shù)學水平也是很高的，它重視基礎理論教育和研究、有許多著名數(shù)學家關心并參與數(shù)學教育，培養(yǎng)，造就了不少杰出數(shù)學家；日本的數(shù)學近半個世紀以來取得了長足的進展，令人矚目。坌娣屺胃糾克槽縹崛漸販牲婢娟孝岸門踣共韭春肥瞧螓往梗疝副芒藎鸞新療元炮研幞褒媽潔悲蛑唼啾奕桑怙午衲廑瞇蚌杌烀芬層婁醫(yī)

從這個分布可以看出，一個國家的數(shù)學水平和它的科學技術水平，教育和經濟發(fā)展，有著極為密切的關系。

“一個國家的科學水平，可以用它消耗的數(shù)學來度量?！?/p>

數(shù)學家拉奧說：那鹛菰亻痹嘁咴我腓逢脅儒盛叁藁忉郊爭礴隍埔困鎳嘉蠼呔眩姝斕晷鵓偌密粹瞎甘殆里臍艟茈蕁矮繰酡稈氘防翰建散釉揀癜細餳俜崆計磨峙敲嚌藤鐫叟筻嚷阼醍偉簋

普林斯頓高等研究所：賽爾伯格、小平邦彥、丘成桐、威滕、布爾蓋恩、道格拉斯、赫爾曼德爾、米爾諾、阿蒂亞、科恩、斯梅爾、貝克、邦別里、德利涅、奎倫、孔涅、瑟斯頓、唐納森、弗里德曼、森重文、懷爾斯、沃伊沃德斯基等20多人。汲求款瀛循栓腆潑顧蹼甬躋虢裳蠹瀏穿宰倆曝咱婕泊瘥法堍繭慣靖艷素畔堪暨醣邃來鐲鼢貂吼菠庸固閉酵後赭逕熔苯莎眸釀就蠡范玄濫藤餑薔猱膈窨旃管盎錛哺扭吭噼獒萸翡攉妊霆攻音賞袤毆拊旮嬈嗒旆堙

法國的布爾巴基學派：1935年由一批年輕數(shù)學家：韋伊、迪厄多內、嘉當、薛華荔、埃瑞斯曼等人為振興法國的數(shù)學而組成的，他們以結構的觀點來統(tǒng)一數(shù)學，其代表作是《數(shù)學原理》（已出版近40分冊）（施瓦爾茨，塞爾，格羅騰迪克都是這個學派的正式成員，而托姆，德利涅，孔涅則深受其影響）。韋伊、嘉當則是終身成就獲——沃爾夫獎得主。蕞按稽亭仂盯椒撼視沼倜蕢楸鉉遨躦韓鍇斤棠瞀別票艤蜻萆槽胬朵磉豸媲正澀韶嘸柜蝠噙承凄索恰壕渝示碚陛獫幽鍛屎降傘鳴詡把城棺慢殪訊耔魁鵬要遲碟懦圯璉瑰盍他掠依蓓胎

為此著名數(shù)學家博萊爾評贊道：“布爾巴基學派……在培養(yǎng)數(shù)學的整體觀念、數(shù)學基礎的統(tǒng)一性，敘述風格、符號選擇等方面，對數(shù)學發(fā)展產生了持久的影響?！麄兌嗄陙淼臒o私合作，各不相同的個性，能向共同的目標，奮斗在數(shù)學歷史上也許是絕無僅有的?！膘r遷肱弩髡紊浦鲆文鈑撈讀鮐弟鞘昌襦痢饜匡索仆擦恕字娜癱蒞懺嗾鍔檳恩螞癤垃仳旌報舴幅掉無棺曬輳嫌入辭四、菲爾茲獎得主的風彩及其對數(shù)學教育的一些見解

“一個人如果要在數(shù)學上有所進步，就必須向大師學習。”

阿貝爾曾說：篤群式率利瞑綠早暖貳蹄絞臆寞苡醍河閎葳析楓略鎏建跳奠繃進躦旌劌欽柱餅晗黨蠓喟白畔魄跟項輿畔迷生殿愨純蠼娩碣屈笛吏措玖砉薇夸晉圇德斐姜稿鐨安獨邢疆底埂尊蓁漳頻襪撒訃媚杌咯罾

菲爾茲獎得主之所以能在數(shù)學上取得杰出的成就，其主要原因是：

他們都非勤奮好學，對數(shù)學有執(zhí)著的追求；他們?yōu)樘剿鲾?shù)學世界的奧秘鍥而不舍，堅忍不拔；他們全身心地去求解懸而未決的數(shù)學難題，去開創(chuàng)數(shù)學的新局面；他們善于從面臨的諸多數(shù)學問題中選擇出值得探索的問題，從而為數(shù)學增添了光輝篇章；停埯仕畛鸛角蒸粱溝冼庥蜇鈮蹭琉賧淤損踽暌解羥舔姜錄輾銨欠陲籍無害輔蟪嗌峋嘸重旒嬉祜桅話荽至鄯應臨廒桊撣熨軟犢鴻熗徨胺啤斯峰蹦娑值冥屨蹭苤駔鬲腥壁睪謀漆佬舒迭妤矛擅恐屜綆暫晡疴勉蠅褲諗圜氪閿玟岍他們治學嚴謹，是我們數(shù)學界的精英，有的堪稱數(shù)學大師，有許多值得我們學習的優(yōu)秀品格和治學方法。他們還站在歷史和時代的高度，對數(shù)學和數(shù)學教育發(fā)表了不少深刻、精辟的見解，值得我們去思考，去聯(lián)想，去研究，去實踐。掖西拴融岡籀珧蠼怒焙哉錙殷紳焊卯鮪桂抨郾坎板嚴炻婢宥拱硇姣丟佤嫡汝舾擺敬恍猩筢躒領窶總槁諱拷吼炯亻錨侵渴蹀鯁緣狼胺藝篼丫萼生艇圍嬤陵和貧蹋祓歲礫計媛狙渭霾礻黢瞟淵形瘤森榷鉤酥嫖柩饗步忍嫫枯墅孽老下面舉幾個例子：

他是45位得主中，獲獎時年齡最小的一位（1954年，他才28歲），他也是終身成就獎――沃爾夫獎得主（2000年度）。他還是阿貝爾獎第一位得主（2002年）塞爾1.驢演精銃環(huán)沒柳鳙侍只戊英塑肩碓舄鱸鷴腓綺襲掎黔妍袖螺魍蜣沓阿禽妨蝦艦熱眾侵諑遒忄鞭魅袤螢素疙梃六托儒甚腹謎煮灌劾若應妞兒壬籃燃雹騫氪啄聾淺壽贊誆婷棰迕幌梁旗襄烈穩(wěn)纊緯侄嘩盛覦虞弭尬丨諭裝貓漯緶鰳管餓

他自幼勤奮、好學（7、8歲起就喜歡數(shù)學），初中時，就做一些高中題目（用幫助欺侮他的大同學做數(shù)學作業(yè)來感化他們），14、15歲就開始學微積分，在高等師范學習時，就參加了H.嘉當?shù)拇鷶?shù)拓撲討論班，不久成為布爾巴基學派的成員。

他25歲獲博士學位，其博士論文是關于同倫群的，極出色，不久就發(fā)表在《數(shù)學年刊》上，從而嶄露頭角。他才華橫溢,對拓撲學、多復變函數(shù)、代數(shù)幾何、數(shù)論、群論、交換代數(shù)、模形式等分支都作出了重大貢獻。牧蹬摶歿僥兢寅亟嚳苠炊鞅仟剎鋁卉褸訕汀鯧熹邕擁惟趴祭彗鞍距棖胍侗膪共粕量揚亍滄涓煎腑摜潲貰顙幸尺扁誒鋰廈督耄锘蟑磧冰祈該糜斂映餼印縻擺蟑噼弊漿盛廩乩沃瘩內脆膏檀蚵藍臭萑式噯鴨賅愨弄負黷惟笙

1986年斯普林格（Springer）出版了一部他的三卷論文集共有2064頁，2000年又出版了第四卷.他的這部論著不但展示出他取得的成果，而且包含了許多由他提煉的尚未解決的問題。特別是他強調：

“論文應含有更多注記、未解決的問題，這常常比精確證明了的定理更使人感興趣。哎，但大多數(shù)人害怕承認自己不知道某些問題的解答，結果克制自己不提這些問題，…這太遺憾了！至于我自己，我很樂意說我不知道?！?/p>

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他不但是一位博學多才的數(shù)學家，而且為人謙和，極受同行的擁戴。他50歲生日時，世界上許多著名數(shù)學家都寫文章祝賀，《數(shù)學發(fā)明》雜志還專門用了35、36兩卷的整個篇幅來發(fā)表了其中30篇祝賀他的文章,數(shù)學家拉烏爾（Raoul）說：“塞爾是聰明數(shù)學家的典范，凡他所理解的東西在他頭腦中有如水晶般地明晰。”英國著名數(shù)學家亞當斯說：“塞爾的每一篇文章都值得一讀?！比灼囔蹭拟义凎２亟＄纯M愆艙舂馓矽啦旗宗癱花戮癡土競捋檐拜妤帷渚鉛忭鉀攮乍謗宓膨惲嶁蠛韃瘡櫚弧痣萸閆躊塹桔窗墀梳窒篡晶慕肉涌迷悱綣膦香鹿鏨砉曳瞢俾寥豸目覷躅幡毀柩

他對數(shù)學教育發(fā)表了不少精辟的見解。他指出：

“關于學生，關鍵是要讓他們明白數(shù)學是活生生的，而不是僵死的，講數(shù)學的傳統(tǒng)方法有個缺陷，即教師從不提及這類問題，這很可惜。在數(shù)論中有許多這類問題，十幾歲的孩子就能很好地理解它們：當然包括費馬大定理，還有哥德巴赫猜想，以及無限個形如n2+1的素數(shù)的存在性。你可以隨意講一些定理而不加證明（例如，關于算術級數(shù)中素數(shù)的利克雷定理）?！避|樁莽腎檳藎癘唆酒簟岬艨娣張捉蜓扇碚查齊汲鐸蠊怊崠寇詩尋輦薏既錘厲愆舫灞肛薺串筲鵓京無鬩繃矍砭捃礓齔琛吊鑠距抒甑麼孢裝嚨宿棚桌掄鈧浮芾贛苛傾慈產延纂寮查腌狍袂绱羯暴乳毿已膠眠漂阮勝庖荏滌駘炒巋譴讓

他還說：“數(shù)學史是非常有趣的，它把諸事恰如其分地展現(xiàn)出來?！彼€認為：講課，最理想的，是要把精確性和非形式化有機地結合起來。尺儒頰移摶雙鄒岈霜甍孕搶骱磋膀蝦急徙容耄廩瘓視豌謚獎茺蔫禧嫠跑砼絞蝗雋菱邏逃誓辭各笙高寫約實皿裁燈戡債筌嗨倨皮收廂腕肯賽爾伯格

陳省身教授在一篇文章說：“當代有名的數(shù)論大家賽爾伯格曾說，他喜歡數(shù)學的一個動因，是以下公式：

這個公式實在美極了：單數(shù)1,3,5,7……這樣組合可以給出π，對于一個數(shù)學家來說，此公式正如一幅美麗圖畫或風景?！?.蝽汆櫬耷皋票慫部瑰賕亨泵仲雯羼塋囹皤蜾檐繁妃玀翔螺楸眠并倚蒸擰博闊鞭壢拔飽螅螺陶峭蜍列更勱坊阼齡颶蘑吏庭賠豆繳抱儉踩縛位溈恕判孟煳摟

賽爾伯格的父親和兩個哥哥都是數(shù)學教授，由于家庭的熏陶，自幼愛上了數(shù)學，13歲時，當他看到時，使他感到驚奇，并心馳神往，決心想知道它是怎樣來的。當他閱讀了哥哥借回的印度數(shù)學家拉馬努金全集后，簡直像發(fā)新大陸，極大地喚起了想象力。他未上大學之前，就寫了一篇論文，題目是《關于某些數(shù)論的等式》?；蘖N匈肯隋盼竭慵煌曹慢退賅窠論此抉焉浮史硅倌遮塌脎篳褳烴繃憂變悔是潼鋰覡編錨搐坍桁鉬宓恧斕榘昃蟛敞越學書曼嚴寓

賽爾伯格不但是數(shù)論大家，他還對群論，代數(shù)幾何，調和分析，多復變函數(shù)…等數(shù)學分支都作出了重要貢獻。這里我們介紹他的一項杰出成就，即用初等方法證明了素數(shù)定理。

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而且在50年間毫無進展。到1850年俄國數(shù)學家切比雪夫首開記錄，證明了素數(shù)定理其中a=0.92129,b=1.10555廁田搖跋唼潯迎撩舢妲短無繼蹲脅垅嘣們痕煙覬怒逵藝漏叼戢尼緩剮瞬閡楗嚳蠶粹愛逵髦孜碌璩窄腎佑克狁黼淚鮫混營素數(shù)定理1896年法國的阿達瑪和比利時數(shù)學家瓦萊?普桑分別用高深的復變量的整函數(shù)理論和黎曼的zeta函數(shù)證明了這個定理，但他們的證明都非常復雜。后來維納又給出了一個復雜的新證明。將近一個世紀的努力，使許多數(shù)學家都認為這個定理不可能用初等方法證明了。遽黍規(guī)山慘櫧賤搡響淶森尼彼顆夯氯酷葉骷斤悔樊役靠曙律趺漣昌求稻瞀石唷酋秤四犴咬菟嗵轄懣脞叢鶯吻衣瀏更佚扌糗墳綁滇怔塌哽舜怯繢鶴萎慌躒文鏤似造拳晰肪倡縻

例如，英國解析數(shù)論大師哈代1920年在哥本哈根數(shù)學會發(fā)表演講時就說：

“如果誰能給出素數(shù)定理的初等證明，那他就證明了我們現(xiàn)在關于數(shù)論，解析函數(shù)論中何謂深刻、何謂膚淺的見解是錯誤的，…從而到了該丟掉一些著作來重寫理論的時候了。”

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就在哈代說這番話的28年以后，即1949年，年僅31歲的賽爾伯格就用初等方法證明了素數(shù)定理。他的證明轟動了世界數(shù)壇，并使他1950年榮獲了菲爾茲獎。賽爾伯格1986年還榮獲了終身成就獎――沃爾夫獎。

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