最優(yōu)化的邊際分析

2023年9月2日1最優(yōu)化理論概念和術(shù)語無約束下的最大化有約束下的最大化2023年9月2日23.1概念和術(shù)語(ConceptsandTerminology)概念和術(shù)語目標(biāo)函數(shù)自變量或選擇變量無約束和有約束最優(yōu)化無約束下的最大化2023年9月2日31.目標(biāo)函數(shù)(ObjectiveFunctions)目標(biāo)函數(shù)最大化問題最小化問題2023年9月2日4自變量或選擇變量離散變量連續(xù)變量2.自變量或選擇變量(ActivitiesorChoiceVariables)2023年9月2日5無約束最大化無約束最小化有約束最大化有約束最小化最優(yōu)化無約束最優(yōu)化有約束最優(yōu)化3.無約束和有約束最優(yōu)化(UnconstrainedandConstrainedOptimization)2023年9月2日63.2無約束下的最大化(UnconstrainedMaximization)

NB=TB-TCNB---凈收益TB---總收益TC---總成本2023年9月2日71.離散變量的最大化(MaximizationWithaDiscreteChoiceVariable)(1)Levelofactivity(2)Totalbenefitofactivity(3)Totalcostofactivity(TC)(4)Netbenefitofactivity(NB)(5)Marginalbenefit(MB)(6)Marginalcost(MC)0$0$0$0----11621416223062414434011291054482028895543024610658451341576161031686380-172192023年9月2日8總收益的變化行動(dòng)的變化總成本的變化行動(dòng)的變化MB==ΔTB/ΔA=ΔTC/ΔAMC=2023年9月2日9RelationsbetweenMB,MCandNBMB>MCMB<MCIncreaseactivityNBrisesNBfallsDecreaseactivityNBfallsNBrises2023年9月2日10當(dāng)決策者要解決無約束最大化問題時(shí)，并且面臨的是離散行動(dòng)水平，那么如果MB>MC就增加行動(dòng)，MB<MC就減少行動(dòng)。行動(dòng)的最優(yōu)水平就可由此得到，凈利潤也取得了最大，行動(dòng)處于最后一個(gè)邊際收益超出邊際成本的水平處。2023年9月2日112.連續(xù)變量最大化(MaximizationWithaContinuousChoiceVariable)當(dāng)決策者希望得到最大的凈利潤，并且行動(dòng)水平是連續(xù)可變的時(shí)候，最優(yōu)行動(dòng)水平是在邊際收益等于邊際成本處取得（MB=MC）。2023年9月2日12UnconstrainedMaximization2023年9月2日13無約束的一元函數(shù)求極值一元函數(shù)求極值Max(Min)y=f(x)（1）求dy/dx(y’)（2）令dy/dx=0（3）判斷此時(shí)y是極大還是極小值2023年9月2日14如：某企業(yè)的利潤與產(chǎn)量的關(guān)系為：π=1000q-5q2，

問題：該企業(yè)達(dá)到最大利潤的產(chǎn)量應(yīng)是多少？此時(shí)利潤為多少？答案：q=100，最大利潤50000。2023年9月2日15如：TR＝41.5Q-1.1Q2

TC=150+10Q-0.5Q2+0.02Q3

問題：產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)利潤達(dá)到最大？答案：Q=15時(shí)利潤最大。2023年9月2日163.多變量(MoreThanOneChoiceVariable)

多變量并未改變非約束最優(yōu)化的法則，即企業(yè)在MB=MC時(shí)得到最大的凈利潤。2023年9月2日17無約束條件多元函數(shù)求極值Max(Min)y=f(x1,x2…xn)(1)對(duì)各自變量求偏導(dǎo)數(shù)(2)解如下方程組

y/x1=0……y/xn=0(3)得到x1,…xn2023年9月2日18如：某企業(yè)生產(chǎn)x、y兩種產(chǎn)品，總利潤曲線方程為：T=2x+2y-x2+xy-y2

求：x、y各生產(chǎn)多少，使總利潤最多？答案：x=2andy=2時(shí)利潤最大為4個(gè)單位。2023年9月2日194.與決策無關(guān)的沉沒成本和固定成本

（SunkCostsandFixedCostsAreIrrelevant）沉沒成本（SunkCosts）:在先前已經(jīng)支付了的成本。

固定成本（FixedCosts）:不隨產(chǎn)量變化的成本。這兩種成本和決策無關(guān)。2023年9月2日203.3有約束下的最優(yōu)化(ConstrainedOptimization)

解決有約束最優(yōu)化問題的一個(gè)關(guān)鍵概念，是花在任一行動(dòng)上每一美元的邊際收益。2023年9月2日211.在某一行動(dòng)上單位美元的邊際收益

決策者應(yīng)該比較不同行動(dòng)下每美元的邊際收益，而不是每一行動(dòng)的邊際收益。2023年9月2日222.有約束的最大化(ConstrainedMaximization)

在求有約束最大化問題的最優(yōu)解時(shí)，選擇使所有的行動(dòng)每單位美元邊際收益相等的水平。

并且選擇的行動(dòng)水平應(yīng)同時(shí)滿足約束條件。2023年9月2日233.有約束的最小化(ConstrainedMinimization)有約束的目標(biāo)函數(shù)求得其最大或最小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)中所有行動(dòng)的邊際收益與價(jià)格比均相等并且滿足約束條件。2023年9月2日24有約束條件多元函數(shù)求極值Max(Min)y=f(x1,…,xn)g(x1,…,xn)=G(1)構(gòu)造拉氏函數(shù)：F(x1,…,xn,)=f(x1,…,xn)－[g(x1,…,xn)-G](2)解方程組：

F/x1=0……F/xn=0F/=0如果存在多個(gè)約束條件，則可以用線性規(guī)劃