極點配置和觀測器的設計方案

2023年9月2日5.1反饋控制結構

5.2系統(tǒng)的極點配置5.3狀態(tài)解耦5.4觀測器及其設計方法5.5帶狀態(tài)觀測器的反饋系統(tǒng)5.6MATLAB在控制系統(tǒng)綜合中的應用

第5章極點配置與觀測器的設計2023年9月2日綜合與設計問題，即在已知系統(tǒng)結構和參數(shù)(被控系統(tǒng)數(shù)學模型)的基礎上，尋求控制規(guī)律，以使系統(tǒng)具有某種期望的性能。一般說來，這種控制規(guī)律常取反饋形式。經典控制理論用調整開環(huán)增益及引入串聯(lián)和反饋校正裝置來配置閉環(huán)極點，以改善系統(tǒng)性能；而在狀態(tài)空間的分析綜合中，除了利用輸出反饋以外，更主要是利用狀態(tài)反饋配置極點，它能提供更多的校正信息。由于狀態(tài)反饋提取的狀態(tài)變量通常不是在物理上都可測量，需要用可測量的輸入輸出重新構造狀態(tài)觀測器得到狀態(tài)估計值。狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器的設計便構成了現(xiàn)代控制系統(tǒng)綜合設計的主要內容。2023年9月2日5.1反饋控制結構

則閉環(huán)系統(tǒng)的結構如圖5-1所示。給定系統(tǒng)在系統(tǒng)中引入反饋控制律5.1.1狀態(tài)反饋2023年9月2日狀態(tài)空間表達式為：2023年9月2日5.1.2輸出反饋當時，輸出反饋系統(tǒng)動態(tài)方程為2023年9月2日5.1.3狀態(tài)反饋系統(tǒng)的性質定理5-1對于任何常值反饋陣K，狀態(tài)反饋系統(tǒng)能控的充分必要條件是原系統(tǒng)能控。證明對任意的K陣，均有上式中等式右邊的矩陣，對任意常值都是非奇異的。因此對任意的和K，均有說明，狀態(tài)反饋不改變原系統(tǒng)的能控性2023年9月2日

完全能控能觀，引入反饋例系統(tǒng)：不難判斷，系統(tǒng)仍然是能控的，但已不再能觀測。則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為2023年9月2日

定理5-2給定系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋任意配置極點的充完全能控。要條件5.2.1能控系統(tǒng)的極點配置

5.2系統(tǒng)的極點配置

所謂極點配置，就是通過選擇適當?shù)姆答佇问胶头答伨仃嚕瓜到y(tǒng)的閉環(huán)極點恰好配置在所希望的位置上，以獲得所希望的動態(tài)性能。2023年9月2日證:只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理充分性：因為給定系統(tǒng)能控，故通過等價變換必能將它變?yōu)槟芸貥藴市?/p>

這里，為非奇異的實常量等價變換矩陣，且有，2023年9月2日引入狀態(tài)反饋則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為2023年9月2日

其中，顯然有系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為2023年9月2日同時，由指定的任意個期望閉環(huán)極點可求得期望的閉環(huán)特征方程通過比較系數(shù)，可知2023年9月2日由此即有又因為所以2023年9月2日K陣的求法根據(jù)能控標準形求解求線性變換P陣，將原系統(tǒng)變換為能控標準形。然后根據(jù)要求的極點配置，計算狀態(tài)反饋陣將變換為直接求K陣方法根據(jù)要求極點，寫出希望閉環(huán)特征多項式令求解2023年9月2日解：因為例給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為求狀態(tài)反饋增益陣，使反饋后閉環(huán)特征值為系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋控制律能配置閉環(huán)特征值。任意2023年9月2日1)由得2)由得3)2023年9月2日4)5)6)2023年9月2日解法2：直接法解：設所需的狀態(tài)反饋增益矩陣k為因為經過狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為的2023年9月2日比較兩多項式同次冪的系數(shù)，有：8,812,42321211=++=++=+kkkkkk得：即得狀態(tài)反饋增益矩陣為:與解法1的結果相同求得閉環(huán)期望特征多項式為2023年9月2日例5-3設被控系統(tǒng)傳遞函數(shù)為要求性能指標為：：①超調量：；②峰值時間：；③系統(tǒng)帶寬：；④位置誤差。試用極點配置法進行綜合。解（1）原系統(tǒng)能控標準形動態(tài)方程為對應特征多項式為2023年9月2日綜合考慮響應速度和帶寬要求，取。于是，閉環(huán)主導極點為，取非主導極點為（2）根據(jù)技術指標確定希望極點

系統(tǒng)有三個極點，為方便，選一對主導極點，另外一個為可忽略影響的非主導極點。已知的指標計算公式為：將已知數(shù)據(jù)代入，從前3個指標可以分別求出：2023年9月2日3）確定狀態(tài)反饋矩陣狀態(tài)反饋系統(tǒng)的期望特征多項式為由此，求得狀態(tài)反饋矩陣為

（4）確定輸入放大系數(shù)狀態(tài)反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：因為所以，可以求出2023年9月2日

其中，的特征值不能任意配置。對于單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋不會移動系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點。(2)若系統(tǒng)是不完全能控的，可將其狀態(tài)方程變換成如下形式：(3)

討論狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的維數(shù)，但是閉環(huán)傳遞函數(shù)的階次可能會降低，這是由分子分母的公因子被對消所致。(1)2023年9月2日例某位置控制系統(tǒng)（伺服系統(tǒng)）簡化線路如下為了實現(xiàn)全狀態(tài)反饋，電動機軸上安裝了測速發(fā)電機TG，通過霍爾電流傳感器測得電樞電流，即。已知折算到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)、轉動慣量；電動機電樞回路電阻；電樞回路電感；電動勢系數(shù)為、電動機轉矩系數(shù)為。選擇、、作為狀態(tài)變量。將系統(tǒng)極點配置到和，求K陣。2023年9月2日2023年9月2日解

1.建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

為恒定的負載轉矩將主反饋斷開，系統(tǒng)不可變部分，代入?yún)?shù)后，系統(tǒng)方程為2023年9月2日2.計算狀態(tài)反饋矩陣所以系統(tǒng)能控計算出狀態(tài)反饋矩陣狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)圖如圖（c）所示（沒有畫出）。經過結構變換成（d）圖所示的狀態(tài)圖因為位置主反饋，其他參數(shù)的選擇應該滿足：驗證：求圖（d）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其極點確實為希望配置的極點位置。2023年9月2日5.2.2鎮(zhèn)定問題定義:若被控系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋能使其閉環(huán)極點均具有負實部，即閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。鎮(zhèn)定問題是一種特殊的閉環(huán)極點配置問題。定理5-3線性定常系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸進穩(wěn)定。對能控系統(tǒng)，可直接用前面的極點配置方法實現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。對滿足可鎮(zhèn)定條件的不能控系統(tǒng)，應先對系統(tǒng)作能控性結構分解，再對能控子系統(tǒng)進行極點配置，找到對應的反饋陣，最后再轉換為原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣。2023年9月2日例5-4已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為要求用狀態(tài)反饋來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。

解：系統(tǒng)不穩(wěn)定。同時系統(tǒng)為不能控的。不能控子系統(tǒng)特征值為－5，符合可鎮(zhèn)定條件。故原系統(tǒng)可用狀態(tài)反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定，鎮(zhèn)定后極點設為能控子系統(tǒng)方程為引入狀態(tài)反饋，設2023年9月2日狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征方程為比較對應項系數(shù)，可得為－5的特征值無須配置，所以原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣可寫為期望的特征多項式為2023年9月2日5.3狀態(tài)解耦5.3.1問題的提出考慮MIMO系統(tǒng)在的條件下，輸出與輸入之間的關系，可用傳遞函數(shù)描述：2023年9月2日可寫為式中每一個輸入控制著多個輸出，而每一個輸出被多少個輸入所控制，我們稱這種交互作用的現(xiàn)象為耦合。2023年9月2日顯然，經過解耦的系統(tǒng)可以看成是由m個獨立單變量子系統(tǒng)所組成。解耦控制問題:尋找一個輸入變換矩陣和狀態(tài)反饋增益矩陣對如能找出一些控制律，每個輸出受且只受一個輸入的控制，這必將大大的簡化控制實現(xiàn)這樣的?？刂品Q為解耦控制，或者簡稱為解耦。,使得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣2023年9月2日2023年9月2日5.3.2狀態(tài)解耦

利用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制，通常采用狀態(tài)反饋加輸入變換器的結構形式狀態(tài)反饋陣

輸入變換陣

2023年9月2日狀態(tài)解耦問題可描述為：對多輸入多輸出系統(tǒng)（設D=0）設計反饋解耦控制律使得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為對角形2023年9月2日實現(xiàn)解耦控制的條件和主要結論定義兩個特征量并簡要介紹它們的一些性質。1)解耦階系數(shù)

中各元素分母與分子多項式冪次之差式中為被控系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣中的第個行向量。例解耦階系數(shù)為2023年9月2日2、可解耦性矩陣其中定理5-4系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下實現(xiàn)解耦控制的充要條件是為非奇異。，即2023年9月2日例5-4給定系統(tǒng)其中:其傳遞函數(shù)矩陣為:得到:2023年9月2日故該系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制2023年9月2日算法和推論

首先要寫出受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

1)求出系統(tǒng)的2)構成矩陣，若非奇異，則可實現(xiàn)狀態(tài)反饋解耦；否則，不能狀態(tài)反饋解耦。3)求取矩陣和,則就是所需的狀態(tài)反饋控制律。2023年9月2日（4）在狀態(tài)反饋下，閉環(huán)系統(tǒng)其傳遞函數(shù)矩陣為:例給定系統(tǒng)試求使其實現(xiàn)解耦控制的狀態(tài)反饋控制律和解耦后的傳遞函數(shù)矩陣。2023年9月2日解：1)在前例中已求得

2)因為為非奇異的,所以可狀態(tài)反饋解耦.3)因為所以有2023年9月2日于是4)反饋后，對于閉環(huán)系統(tǒng)有2023年9月2日推論：1)能否態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制取決于和。2)求得，，則解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣即可確定。3)系統(tǒng)解耦后，每個SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為重積分形式。須對它進一步施以極點配置。4)要求系統(tǒng)能控，或者至少能鎮(zhèn)定否則不能保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2023年9月2日5.4觀測器及其設計方法系統(tǒng)設計離不開狀態(tài)反饋實際系統(tǒng)的狀態(tài)變量不是都能用物理方法測得到的需要設法得到狀態(tài)變量→采用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)重構引言：2023年9月2日5.4.1觀測器的設計思路則稱為的一個狀態(tài)觀測器。如果動態(tài)系統(tǒng)以的輸入和輸出作為其輸入量能產生一組輸出量漸近于即設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)向量不能直接檢測0?0??g?g,0][lim=-ù￥?txxxùxyux＝（0),,?CBA2023年9月2日定理系統(tǒng)其觀測器極點可任意配置的充要條件是系統(tǒng)完全能觀測證:因為5.4.2狀態(tài)觀測器的存在條件

2023年9月2日即所以,只有當時，上式中的才能有唯一解即只有當系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測時,狀態(tài)向量才能由以及它們的各階導數(shù)的線性組合構造出來。2023年9月2日5.4.2全維狀態(tài)觀測器開環(huán)狀態(tài)估計器：構造一個與原系統(tǒng)完全相同的模擬裝置(1)2023年9月2日從所構造的這一裝置可以直接測量。這種開環(huán)狀態(tài)估計器存在如下缺點：每次使用必須重新確定原系統(tǒng)的初始狀態(tài)并對估計器實施設置；①②在

有正實部特征值時，最終總要趨向無窮大。2023年9月2日定義偏差如果說明2023年9月2日(2)閉環(huán)全維狀態(tài)觀測器。狀態(tài)觀測器的動態(tài)方程可寫為：2023年9月2日定理若n維線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完能觀，則存在狀態(tài)觀測器可選擇矩陣來任意配置的特征值。強調：2023年9月2日全維狀態(tài)觀測器設計方法（1）設單輸入系統(tǒng)能觀，通過，將狀態(tài)方程化為能觀標準形。有線性變換陣P可以由第3章式（3-30）求出。2023年9月2日（2）構造狀態(tài)觀測器。令，得到其閉環(huán)特征方程為2023年9月2日設狀態(tài)觀測器期望的極點為，其特征多項式記為令同次冪的系數(shù)相等，即得3）令，代回到式（5-33）中就得到系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器。2023年9月2日解：1、判斷系統(tǒng)能觀測性例給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為試設計一個全維狀態(tài)觀測器，使其極點為－10、－10所以系統(tǒng)使狀態(tài)能觀測的，可構造能任意配置極點的狀態(tài)觀測器。2023年9月2日2、設狀態(tài)觀測器為3、實際狀態(tài)觀測器特征多項式2023年9月2日4、觀測器期望特征多項式5、求6、狀態(tài)觀測器為2023年9月2日2023年9月2日例給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為設計一個全維狀態(tài)觀測器，并使觀測器的極點為2023年9月2日解:系統(tǒng)完全能觀測的，可構造任意配置特征值全維狀態(tài)觀測器。1)由,得2)觀測器的期望特征多項式為得3)2023年9月2日4)5)6)2023年9月2日得全維狀態(tài)觀測器2023年9月2日其模擬結構如圖為2023年9月2日

利用y直接產生部分狀態(tài)變量，降低觀測器的維數(shù)。若輸出m維，則需要觀測的狀態(tài)為(n-m)維。即觀測器的維數(shù)少于狀態(tài)維數(shù)→簡化結構（一）建模5.4.3降維狀態(tài)觀測器設計2023年9月2日1、把狀態(tài)方程“一分為二”系統(tǒng)方程變換為式中線性變換矩陣2023年9月2日或：2023年9月2日2、建立需被觀測部分的狀態(tài)方程2023年9月2日3、降維觀測器的實現(xiàn)2023年9月2日為了消去作變換以上兩式為降維觀測器的狀態(tài)方程令代入式（5-44）中可得到2023年9月2日原系統(tǒng)狀態(tài)變量估計值5、降維狀態(tài)觀測器結構圖4、變換后系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計值為2023年9月2日2023年9月2日（二）設計1、實際降維狀態(tài)觀測器的特征多項式和希望觀測器特征多項式的系數(shù)應相等。2、求出降維觀測器狀態(tài)方程2023年9月2日解：（1）系統(tǒng)完全能觀，且n=3,m=2,n-m=1,只要一維觀測器。（2）（3）2023年9月2日3）求觀測器反饋陣G,設

降維觀測器的特征方程式為期望的特征方程式為所以有即設，有（5）變換后系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計值為原系統(tǒng)狀態(tài)變量估計值（4）求降維觀測器狀態(tài)方程2023年9月2日2023年9月2日5.5帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)兩個問題：（1）在狀態(tài)反饋系統(tǒng)中，用狀態(tài)估計值是否要重新計算狀態(tài)反饋增益矩陣K？（2）當觀測器被引入系統(tǒng)后，狀態(tài)反饋部分是否會改變已經設計好的觀測器的極點配置？2023年9月2日2023年9月2日由以上3式可得到帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式全維狀態(tài)觀測器：設受控系統(tǒng)能控能觀，其狀態(tài)空間表達式為設狀態(tài)反饋控制律為：2023年9月2日構造2n維復合系統(tǒng)：定義誤差2023年9月2日寫成矩陣形式為

若被控系統(tǒng)（Ａ，Ｂ，Ｃ）可控可觀測，用狀態(tài)觀測器估值形成的狀態(tài)反饋，其系統(tǒng)的極點配置和觀測器設計可以分別進行．分離定理5.5.2系統(tǒng)基本特性2023年9月2日閉環(huán)極點的分離特性傳遞函數(shù)的不變性2023年9月2日例5.5.5設受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

用狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點配置為-4＋j6,-4-j6。并設計實現(xiàn)狀態(tài)反饋的狀態(tài)觀測器。（設其極點為-10,-10)解：（1）由傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)能控能觀，因此存在狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器。根據(jù)分離定理可分別進行設計。2023年9月2日令期望特征多項式對應特征多項式由對應系數(shù)相等得(2)求狀態(tài)反饋矩陣K寫出狀態(tài)空間表達式2023年9月2日（3）求全維觀測器令全維觀測器方程為2023年9月2日5.6MATLAB的應用5.6.1極點配置

線性系統(tǒng)是狀態(tài)能控時，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置系統(tǒng)的極點。把極點配置到S左半平面所希望的位置上，則可以獲得滿意的控制特性。狀態(tài)反饋的系統(tǒng)方程為2023年9月2日

在MATLAB中，用函數(shù)命令place()可以方便地求出狀態(tài)反饋矩陣K；該命令的調用格式為：K=place(A,b,P)。P為一個行向量，其各分量為所希望配置的各極點。即：該命令計算出狀態(tài)反饋陣K，使得（A-bK）的特征值為向量P的各個分量。使用函數(shù)命令acker()也可以計算出狀態(tài)矩陣K，其作用和調用格式與place()相同，只是算法有些差異。例線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中要求確定狀態(tài)反饋矩陣，使狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點配置為2023年9月2日解首先判斷系統(tǒng)的能控性，輸入以下語句語句執(zhí)行結果為

這說明系統(tǒng)能控性矩陣滿秩，系統(tǒng)能控，可以應用狀態(tài)反饋，任意配置極點。

輸入以下語句語句執(zhí)行結果為2023年9月2日計算結果表明，狀態(tài)反饋陣為注：如果將輸入語句中的K=place(A,B,P)改為K=acker(A,B,P)，可以得到同樣的結果。5.6.2狀態(tài)觀測器設計

在MATLAB中，可以使用函數(shù)命令acker()計算出狀態(tài)觀測器矩陣。調用格式，其中AT

和CT

分別是A和B

矩陣的轉置。P為一個行向量，其各分量為所希望的狀態(tài)觀測器的各極點。GT為所求的狀態(tài)觀測器矩陣G的轉置。例線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中要求設計系統(tǒng)狀態(tài)觀測器，其特征值為:－3,－4,－5。2023年9月2日解首先判斷系統(tǒng)的能觀測性，輸入以下語句語句運行結果為說明系統(tǒng)能觀測，可以設計狀態(tài)觀測器2023年9月2日輸入以下語句語句運行結果為計算結果表明，狀態(tài)觀測器矩陣為狀態(tài)觀測器的方程為2023年9月2日5.6.3單級倒立擺系統(tǒng)的極點配置與狀態(tài)觀測器設計1.狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點配置及其MATLAB/Simulink仿真例給出的單級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能控性矩陣是否為滿秩。輸入以下程序計算結果為202