用極坐標(biāo)求解天體的運(yùn)動(dòng)幾例

用極坐標(biāo)求解天體的運(yùn)動(dòng)幾例王琨有關(guān)行星和衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題是力學(xué)課程中最有趣味的課題之一．可惜許多教科書都把這類問(wèn)題與牛頓萬(wàn)有引力定律聯(lián)系起來(lái)．因而要想把軌道概念較早地引入力學(xué)課程之中，通常不得不把問(wèn)題局限為圓周軌道，這樣往往會(huì)使一些學(xué)生誤以為只存在圓形軌道，或者至少以為只有圓形軌道才是重要的．我認(rèn)為把行星和衛(wèi)星的橢圓形軌道運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，建立在開普勒三個(gè)定律的基礎(chǔ)上，作為運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，而不是放在牛頓萬(wàn)有引力定律的基礎(chǔ)上，作為動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，這樣會(huì)更好一些．當(dāng)然，開普勒定律和牛頓萬(wàn)有引力定律是緊密相關(guān)的．但是我認(rèn)為應(yīng)當(dāng)首先在開普勒定律的引導(dǎo)下討論橢圓運(yùn)動(dòng)，可以避免冗長(zhǎng)而繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)某些有關(guān)橢圓軌道的問(wèn)題，實(shí)際上純粹是幾何問(wèn)題，顯然可用幾何方法求解，這里我介紹幾道用極坐標(biāo)求解的常見問(wèn)題，而它們恰恰又是用勻速圓周運(yùn)動(dòng)不太好直接求解的問(wèn)題。例如：(1)已知橢圓軌道的某些性質(zhì)(如最遠(yuǎn)點(diǎn)，最近點(diǎn)，離心率，周期，半長(zhǎng)軸，或者在某特定點(diǎn)的速度等)，求其它物理量．(2)由于速度改變，從一軌道換到另一軌道．⑶在行星之間或者在衛(wèi)星之間對(duì)軌道作霍曼(hohmann)半橢圓變換.(4)同步通訊衛(wèi)星的相關(guān)問(wèn)題．開普勒三定律的極坐標(biāo)表達(dá)的數(shù)學(xué)形式為：pTOC\o"1-5"\h\z第一定律：r= ,eVl (1)1+ecos0d0第二定律：r2 =c, (2)dt\o"CurrentDocument"第三定律：t2=k ， ⑶其中e是離心率，p是正焦弦，a是半長(zhǎng)軸，T是橢圓軌道的周期；c是因各個(gè)行星(衛(wèi)星)而異的常數(shù)，k是對(duì)每個(gè)行星(衛(wèi)星)都相同的常數(shù).此外，軌道上任一點(diǎn)的速度表達(dá)式為：

v2=k（?-丄）。 （4）ra例1、“下落”的地球假設(shè)地球突然停止其軌道運(yùn)動(dòng)；試證明它下落到太陽(yáng)所經(jīng)歷的時(shí)間為旋/4年（設(shè)太陽(yáng)為質(zhì)點(diǎn)）。這是一個(gè)簡(jiǎn)單而古老的問(wèn)題，為了使用開普勒定律求解，假定地球并沒有完全“停止”在其軌道上，而是在某點(diǎn)A上保留有一非常小的切向速度（圖1）.那么地球?qū)⑦M(jìn)入圍繞太陽(yáng)的橢圓軌道，該軌道的最遠(yuǎn)點(diǎn)為A,最近點(diǎn)為P,地球在這一新軌道上的運(yùn)行周期T'應(yīng)滿足開普勒第三定律，T2 a3圖T2 a3圖圖2(5)和a是地球原軌道式中a'是新軌道的半長(zhǎng)軸.T的周期和半長(zhǎng)軸?因此地球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到和a是地球原軌道(6)現(xiàn)在想象地球在點(diǎn)A的速度越來(lái)越小，因此其最近點(diǎn)P離太陽(yáng)越來(lái)越近（圖2）.當(dāng)?shù)厍蛟谲壍郎贤耆Ｖ沟臉O限情況下，地球便沿直線落向太陽(yáng).此時(shí)2a'fa,因此1TJ斗T ⑺24

顯然，以上分析過(guò)程同樣適用于在環(huán)繞地球的軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星.倘若衛(wèi)星在h高處（h〉〉r,r為地球半徑）停止軌道運(yùn)動(dòng)，取地球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，這種模型顯然是一恰當(dāng)?shù)慕?；不過(guò)，這一模型不適用于衛(wèi)星在接近地球的軌道上運(yùn)動(dòng)的情況．例2．火箭飛離地面的高度設(shè)一枚火箭從地球表面豎直向上發(fā)射,到達(dá)距離地球中心為h高處（h〉〉r,r是地球半徑）.求火箭能達(dá)到這個(gè)高度所經(jīng)過(guò)的時(shí)間和需要的初速度．設(shè)想火箭在地球表面上以偏離豎直線小角度a的方向發(fā)射，因此它應(yīng)進(jìn)入一橢圓軌道，該軌道的最遠(yuǎn)點(diǎn)A在距離地球中心為h的高處，最近點(diǎn)P應(yīng)在地球中心的另一側(cè)，當(dāng)然這一段軌道只是理論上存在的，實(shí)際上這枚火箭將落回到地球的表面（圖2）．火箭在這一軌道上的周期T'可由式（3）用半長(zhǎng)軸a（=2AP）表達(dá)：, 4兀2a‘3t2=k ⑻e式中ke可由月球繞地軌道的有關(guān)參數(shù)求得.現(xiàn)在設(shè)想初速度越來(lái)越接近于豎直方向，即a-0,則2a'=AP—h (9)因此，h3tt氣:2k (10)e故火箭從地球中心運(yùn)動(dòng)到其最高位置所需時(shí)間為211)1211)兀12 2ke因?yàn)樵诶碚撋先〈〈h,火箭從地心到地面經(jīng)歷的時(shí)間比起火箭飛行的總時(shí)間來(lái)是非常小的，所以以上結(jié)果也非常近似于地面上發(fā)射火箭的情況．為了求出火箭在地面上發(fā)射的初速度v,將2a'=h代入式（4）,即得：v2=2k（1-）erh例3．軌道貼近地面的衛(wèi)星

一衛(wèi)星在恰繞地面的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)．其水平初速度需要多大？此解可由式(4)直接求得v弋。其中r是地球半徑，ke可由月球的軌道參數(shù)求出.例4．逃逸速度假設(shè)沿著軌道切線速度方向突然給地球以推動(dòng)力.證明只要速度增大為地球原速度的力2倍，地球就會(huì)脫離繞太陽(yáng)的軌道。由式(4)知地球在其圓形軌道上的速度為：^k~V二s (13)r式中r是地球軌道的半徑.當(dāng)?shù)厍蚴艿酵苿?dòng)而進(jìn)入新的橢圓軌道時(shí)，其新的速度應(yīng)為■21v='k(—- ) (14)sra式中a'是這個(gè)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸，設(shè)想這一新橢圓軌道逐漸擴(kuò)展，離太陽(yáng)越來(lái)越遠(yuǎn)，因此在極限情況下，a'fg，由此即得逃逸速