2006年秋季學(xué)期《線性代數(shù)》期末復(fù)習(xí)大綱

2006年秋季學(xué)期《線性代數(shù)》期末復(fù)習(xí)大綱一、考試形式：閉卷二、參考書：課本，楊蔭華版三、試卷結(jié)構(gòu)題型包括選擇、填空和計算題。其中，選擇4道20分，填空4道20分，大題3道60分。四、復(fù)習(xí)要求1、復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識在復(fù)習(xí)過程中，我們一定要把教材中提到的基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)一遍，掌握每個關(guān)鍵知識點的含義。基本概念理解不透徹，對解題會帶來思維上的困難和混亂．因此對概念必須搞清它的內(nèi)涵，還要研究它的外延，要理解正面的含義，還要思考、理解概念的側(cè)面、反面。例如關(guān)于矩陣的秩，教材中的定義是：A是sXn矩陣，若A中有一個r階子式不為零，所有r階以上子式(如果它還有的話)均為零，則稱A的秩為r，記成rank(A)=r(或r(A)＝r，秩A＝r)．顯然，定義中內(nèi)涵的要點有：1．A中至少有一個r階子式不為零；2．所有r階以上均為零．3．若所有r+1子式都為零，則必有所有r階以上子式均為零．要點2和3是等價條件，至于r階子式是否可以為零？小于r階的子式是否可以為零?所有r-1階的子式是否可以全部為零？這些都是秩的概念的外延內(nèi)容，如果這些概念搞清楚了。那么下述選擇題就會迎刃而解．例1設(shè)A是m×n矩陣，r(A)＝r<MIN(M，N)，則A中()(A)至少有一個r階子式不為零，沒有等于零的r-1階子式．

(B)有不等于零的r階子式，沒有不等于零的r+1階子式．

(C)有等于零的r階子式，沒有不等于零的r+1階子式．

(D)任何r階子式不等于零，任何r+1階子式都等于零．

答案：(B)基本方法要熟練掌握．熟練掌握不等于死記硬背，相反要抓問題的實質(zhì)，要在理解的基礎(chǔ)上適當記憶．把需要記憶的東西縮小到最低限度，很多方法可以通過練習(xí)來記住，例如一個實對稱矩陣，一定存在正交矩陣，通過正交變換化為對角陣，其步驟較多，但通過練習(xí)，不難解決．基本計算要熟練．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，離不開計算，計算要熟練，當然要做一定數(shù)量的習(xí)題，通過一定數(shù)量的習(xí)題，把計算的基本功練扎實．在練習(xí)過程中，自覺的提高運算能力，提高運算的準確性，養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣和科學(xué)作風(fēng)．特別對線性代數(shù)而言，運算并不復(fù)雜，大量的運算是大家早已熟練了的加法和乘法，從而養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣和科學(xué)作風(fēng)顯得尤為重要。例如線性代數(shù)的前四章中(行列式、矩陣、向量、方程組)絕大多數(shù)的運算是初等變換．用初等變換求行列式的值、求逆矩陣、求向量組(或矩陣)的秩、求向量組的極大線性無關(guān)組、求方程組的解等．可以想象，一旦初等變換過程中出現(xiàn)某個數(shù)值計算錯誤，那你的答案將是什么樣的結(jié)果？從歷屆數(shù)學(xué)試題來看，每年需要通過計算得分的內(nèi)容均在70%左右，可見計算能力培養(yǎng)的重要．只聽不練，只看不練，眼高手低，專找難題做，這并不適合一般考生的情況，在歷次考試中，不乏有教訓(xùn)慘痛的人．2、活用概念線性代數(shù)中概念多、定理多、符號多、運算規(guī)律多，內(nèi)容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點，所以我們應(yīng)通過全面系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論及應(yīng)用，熟悉符號的意義，掌握各種運算規(guī)律、計算方法，并及時進行總結(jié)，抓聯(lián)系，抓規(guī)律，使零散的知識點串起來、連起來，使所學(xué)知識融會貫通，實現(xiàn)一個“活”字．五、知識復(fù)習(xí)第一部分線性代數(shù)中的最基本概念基礎(chǔ)比較好的考生可不必看這部分內(nèi)容,或者只用本部分的習(xí)題對自己進行一次測試.1.矩陣(1)基本概念矩陣是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展.由mn個數(shù)排列成的一個m行n列的表格,兩邊界以圓括號或方括號,就成為一個mn型矩陣.這些數(shù)稱為它的元素,位于第i行第j列的數(shù)稱為(i,j)位元素.元素全為0的矩陣稱為零矩陣,通常就記作0.兩個矩陣A和B相等(記作A=B),是指它的行數(shù)相等,列數(shù)也相等(即它們的類型相同),并且對應(yīng)的元素都相等.(2)線性運算和轉(zhuǎn)置加(減)法:兩個mn的矩陣A和B可以相加(減),得到的和(差)仍是mn矩陣,記作A+B(A-B),法則為對應(yīng)元素相加(減).數(shù)乘:一個mn的矩陣A與應(yīng)該數(shù)c可以相乘,乘積仍為mn的矩陣,記作cA,法則為A的每個元素乘c.這兩種運算統(tǒng)稱為先性運算,它們滿足以下規(guī)律:=1\*GB3①加法交換律:A+B=B+A.=2\*GB3②加法結(jié)合律:(A+B)+C=A+(B+C).=3\*GB3③加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.=4\*GB3④數(shù)乘結(jié)合律:c(d)A=(cd)A.=5\*GB3⑤cA=0c=0或A=0.轉(zhuǎn)置:把一個mn的矩陣A行和列互換,得到的nm的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置,記作AT(或A).有以下規(guī)律:=1\*GB3①(AT)T=A.=2\*GB3②(A+B)T=AT+BT.=3\*GB3③(cA)T=(cA)T.(3)n階矩陣幾個特殊矩陣行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣,行列數(shù)都為n的矩陣也常常叫做n階矩陣.n階矩陣A的相應(yīng)的行列式記作|A|,稱為A的行列式.把n階矩陣的從左上到右下的對角線稱為它的主對角線.(其上的運算行列號相等.)下面列出幾類常用的n階矩陣,它們但是考試大綱中要求掌握的.對角矩陣:主對角線外的的元素都為0的n階矩陣.單位矩陣:主對角線外的的元素都為1的對角矩陣,記作E(或I).數(shù)量矩陣:主對角線外的的元素都等于一個常數(shù)c的對角矩陣,它就是cE.上(下)三角矩陣:主對角線下(上)的的元素都為0的n階矩陣.對稱矩陣:滿足AT=A矩陣.也就是對任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素總是相等的n階矩陣.反對稱矩陣:滿足AT=-A矩陣.也就是對任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和總等于0的n階矩陣.反對稱矩陣對角線上的元素一定都是0.(4)矩陣的初等變換和階梯形矩陣矩陣的初等行變換有以下三種:=1\*GB3①交換兩行的上下位置.=2\*GB3②用一個非0的常數(shù)乘某一行的各元素.=3\*GB3③把某一行的倍數(shù)加到另一行上.類似地,矩陣還有三種初等列變換,大家可以模仿著寫出它們,這里省略了.初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換.階梯形矩陣:一個矩陣稱為階梯形矩陣,如果滿足:=1\*GB3①如果它有零行,則都出現(xiàn)在下面.=2\*GB3②每個非零行的第一個非0元素所在的列號自上而下嚴格單調(diào)遞增.每個矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣.這種運算是在線性代數(shù)的各類計算題中頻繁運用的基本運算,必須十分熟練.2.向量(1)基本概念向量是另一種描述事物形態(tài)的數(shù)量形式.由n個數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為一個n維向量,稱這些數(shù)為它的分量.書寫中可用矩陣的形式來表示向量,例如分量依次是a1,a2,,an的向量可表示成a1(a1,a2,,an)或a2,┆an請注意,作為向量它們并沒有區(qū)別,但是作為矩陣,它們不一樣(左邊是1n矩陣,右邊n1是矩陣).習(xí)慣上把它們分別稱為行向量和列向量.請注意它與矩陣的行向量和列向量的區(qū)別.一個mn的矩陣的每一行是一個n維向量,稱為它的行向量;每一列是一個m維向量,稱為它的列向量.常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣,例如當矩陣A的列向量組為1,2,,n時(它們都是表示為列的形式!)可記A=(1,2,,n).矩陣的許多概念也可對向量來規(guī)定,如向量的相等,零向量等等.這里從略.(2)線性運算和線性組合向量也有加減法和數(shù)乘這兩種線性運算,并且也有完全一樣的運算規(guī)律,這里也不來復(fù)述了.向量組的線性組合:設(shè)1,2,,s是一組n維向量,c1,c2,,cs是一組數(shù),則稱c11+c22+,+css為1,2,,s的(以c1,c2,,cs為系數(shù)的)線性組合.它也是n維向量.3．線性方程組(1)基本概念線性方程組的一般形式為:a11x1+a12x2++a1nxn=b1,a21x1+a22x2++a2nxn=b2,am1x1+am2x2++amnxn=bm,其中未知數(shù)的個數(shù)n和方程式的個數(shù)m不必相等.分別稱矩陣a11a12a1na11a12A=a21a22a2n和(A|)=a21am1am2amnam1am2amnbm為方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣.如果b1=b2==bm=0,則稱為齊次線性方程組.把一個非齊次線性方程組的每個方程的常數(shù)項都換成0，所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導(dǎo)出齊次線性方程組，簡稱導(dǎo)出組.線性方程組的解是一個n維向量(k1,k2,,kn),它滿足:當每個方程中的未知數(shù)xi都用ki替代時都成為等式.線性方程組的解的情況有三種:無解,唯一解,無窮多解.n維零向量總是齊次線性方程組的解,因此齊次線性方程組的解情況只有兩種:唯一解(即只要零解)和無窮多解(即有非零解).(2)同解變換與矩陣消元法線性方程組的同解變換有三種:=1\*GB3①交換兩個方程的上下位置.=2\*GB3②用一個非0的常數(shù)乘某個方程.=3\*GB3③把某方程的倍數(shù)加到另一方程上.以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換.線性方程組的基本求解方法是消元法,用增廣矩陣或系數(shù)矩陣來進行,稱為矩陣消元法:寫出方程組的增廣矩陣(對齊次方程組用系數(shù)矩陣),用初等行變換把它化為階梯形矩陣,再寫出所代表的階梯形方程組(它是原方程組的同解方程組),用它求解.第二部分行列式1.形式和意義形式:用n2個數(shù)排列成的一個n行n列的表格,兩邊界以豎線,就成為一個n階行列式.如果行列式的列向量組為1,2,,n,則此行列式可表示為|1,2,,n|.意義:是一個算式,把n2個元素按照一定的法則進行運算,得到的數(shù)值稱為這個行列式的值.請注意行列式和矩陣在形式和意義上的區(qū)別.當兩個行列式的值相等時,就可以在它們之間寫等號!(不必形式一樣,甚至階數(shù)可不同.)每個n階矩陣A對應(yīng)一個n階行列式,記作|A|.2.定義(完全展開式)2階和3階行列式的計算公式:a11a12a21a22=a11a22-a12a11a12a13a21a22a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a31a一般地,一個n階行列式a11a12a21a22an1an2ann的值是許多項的代數(shù)和,每一項都是取自不同行,不同列的n個元素的乘積,其一般形式為:,這里把相乘的n個元素按照行標的大小順序排列,它們的列標j1j2jn構(gòu)成1,2,,n的一個全排列(稱為一個n元排列),一共有n!個n元排列,每個n元排列對應(yīng)一項,因此共有n!個項..所謂代數(shù)和是在求總和時每項先要乘+1或-1.規(guī)定(j1j2jn)為全排列j1j2jn的逆序數(shù)(即小數(shù)排列在大數(shù)后面的現(xiàn)象出現(xiàn)的個數(shù),例如6元排列231645有4個逆序:21,31,64,65,因此(231645)=4),則所乘的是于是a11a12a21a22an1an2ann這里表示對所有n元排列求和.稱上式為n階行列式的完全展開式.3.性質(zhì)行列式有以下性質(zhì):=1\*GB3①把行列式轉(zhuǎn)置值不變,即|AT|=|A|.=2\*GB3②某一行(列)的公因子可提出.=3\*GB3③對一行或一列可分解,即如果某個行(列)向量則原行列式等于兩個行列式之和,這兩個行列式分別是把原行列式的該行(列)向量換為或所得到的行列式=4\*GB3④把兩個行(列)向量交換,行列式的值變號.=5\*GB3⑤如果一個行(列)向量是另一個行(列)向量的倍數(shù),則行列式的值為0.=6\*GB3⑥如果把一個行(列)向量的倍數(shù)加到另一個行(列)向量上,則行列式的值不變.把n階行列式的第i行和第j列劃去后所得到的n-1階行列式稱為(i,j)位元素aij的余子式,記作Mij.稱Aij=(-1)i+jMij為aij的代數(shù)余子式.=7\*GB3⑦行列式可對某一行(列)展開,即行列式的值等于該行(列)的各元素與其代數(shù)余子式乘積之和.=8\*GB3⑧某一行(列)的各元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和=0.=9\*GB3⑨如果A與B都是方陣(不必同階),則A*=AO=|A|+|B|.OB*B范德蒙行列式:形如1111a1a2a3a12a22a3a1n-ia2n-ia3n-iann-i的行列式(或其轉(zhuǎn)置).它由a1,a2,a3,,an所決定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于0a1,a2,a3,,a4.計算行列式的核心問題是值的計算.(1)用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大.只在有大量元素為0,使得只有少數(shù)項不為0時,才可能用它作行列式的計算.例如對角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主對角線上的元素的乘積,因為其它項都為0.(2)化零降階法:取定一行(列),先用性質(zhì)=6\*GB3⑥把這行(列)的元素消到只有一個或很少幾個不為0,再用=7\*GB3⑦,對這行(列)展開.例如設(shè)4階行列式1111D=-2x31,22x4334x取第1行,把第2,3,4行各減去第一行,得到1000x+253x-22D=-2x+253=0x-22=(x+2)1x-3=(x+2)[(x-2)(x-3)-2]=(x+2)(x-1)(x-4).20x-2201x-3301x-3(3)利用性質(zhì)簡化計算,主要應(yīng)用于元素有規(guī)律的行列式,包括n階行列式.5.克萊姆法則克萊姆法則當線性方程組的方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)n(即系數(shù)矩陣為n階矩陣)時,如果它的系數(shù)行列式不等于0,則方程組有唯一解,這個解為(D1/D,D2/D,,Dn/D),這里D是系數(shù)行列式的值,Di是把系數(shù)行列式的第i個列向量換成常數(shù)列向量所得到的行列式的值.兩點說明:=1\*GB3①按法則給的公式來求解計算量太大，沒有實用價值.因此法則的主要意義在理論上.(實際求解方法:對增廣矩陣(A|)作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃?此時變?yōu)榻?)=2\*GB3②法則的改進,事實上系數(shù)行列式不等于0是唯一解的充分必要條件.練習(xí)題一1．計算行列式(1)2aaaaa2aaaaa2aaaaa2aaaaa2.(2)14916491625916253616253649.2.(1)a00b(2)a10a20000b10b200c10c00d.0d10d2.3.計算n階行列式(1)123…n-1n-123…n-1n-1–23…n-1n…………-1–2–3…1-nn．(2)1-2-2…-2-2(3)123…n(4)1a10…0022-2…-2-2212…n-1-11-a1a2…0223…-2-2321…n-20-11-a2…00……………222…2n．nn-1n-2…1．000…-11-an．4.設(shè)4階矩陣A=(,1,2,3),B=(,1,2,3),|A|=2,|B|=3,求|A+B|.5.一個三階行列式的值為8，它的第二行的元素是1，2，a，它們的余子式依次為A21=2，A22=-1，A23=1，則a=().6.x3-31-32x+2多項式f(x)=-75-2x1，求f(x)的次數(shù)，最高次項的系數(shù)和常數(shù)項.X+3-133x2-29x36-67.x-2x-1x-2x-3求多項式f(x)=2x-22x-12x-22x-3的次數(shù).3x-33x-24x-53x-54x4x-35x-74x-38.已知x-3a-14f(x)=5x-80–2的根為x1,x2,x3,x4,求x1+x2+x3+x4.bx+11221x9.求行列式0100……0的全部代數(shù)余子式的和.002-10……00003-1……0…………0000……(n-1)-1n-1000……010．a(chǎn)bcd已知行列式x-1-yz+1的代數(shù)余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.1-zx+3yy-2x+10z+3參考答案1.(1)把各列都加到第1列上,提出公因子.得(4a+2)(a-2)4.(2)自下而上,各行減去上一行(作兩次).得0.2.用換行(列)的方法.得(1)(ad-bc)|B|.(3)(a1c2-a2c1)(b1d2-b2d3.(1)提示：把第一行加到其它各行．得2n-1n!．(2)第3到n行各減第二行．得(n+2)!/4．(3)提示：自下而上各行減去上行．得(-1)n-12n-2(n+1)．(4)提示：從第2行起，自上而下各行加上行．得1．4.得40.5.得8.6.最高次只出現(xiàn)在下面劃線的4個元素的乘積一項中,常數(shù)項即f(0).得9,6,0.7.2.8.提示:利用特征值的性質(zhì).得10.9.提示:利用伴隨矩陣.得(-1)n-1(n+1)/2(n-1)!.10.x=0,y=3,z=-1.第三部分線性方程組1.線性方程組的形式線性方程組除了通常的寫法外,還常用兩種簡化形式：矩陣式AX=，(齊次方程組AX=0).向量式x11+x22+,+xss=，(齊次方程組x11+x22+,+xss=0).2.線性方程組解的性質(zhì)(1)齊次方程組AX=0如果1,2,,s是齊次方程組AX=0的一組解,則它們的任何線性組合c11+c22++css也都是解.(2)非齊次方程組AX=(0)如果1,2,,s是AX=的一組解,則=1\*GB3①它們的線性組合c11+c22++css也是AX=解的c1+c2++cs=1.=2\*GB3②它們的線性組合c11+c22++css是AX=的解c1+c2++cs=0.如果0是AX=的一組解,則n維向量(n是未知數(shù)的個數(shù))也是解-0是導(dǎo)出齊次方程組AX=的解.(是0和AX=的一個解的和.)3.線性方程組解的情況的判別對于方程組AX=,判別其解的情況用三個數(shù):未知數(shù)個數(shù)n,r(A),r(A|).=1\*GB3①無解r(A)<r(A|).=2\*GB3②有唯一解r(A)=r(A|)=n.(當A是方陣時,就推出克萊姆法則.)=3\*GB3③有無窮多解r(A)=r(A|)<n.方程的個數(shù)m雖然在判別公式中沒有出現(xiàn),但它r(A)和r(A|)的上限,因此當r(A)=m時,AX=一定有解.當m<n時,一定不是唯一解.對于齊次方程組AX=,判別解的情況用兩個數(shù):n,r(A).有非零解r(A)=<n(只有零解r(A)=n).推論當A的秩等于列數(shù)n時,A在矩陣乘法中有左消去律:AB=B=AB=ACB=C4.齊次方程組基礎(chǔ)解系線性方程組的通解(1)齊次方程組基礎(chǔ)解系如果齊次方程組AX=有非零解,則它的解集(全部解的集合)是無窮集,稱解集的每個極大無關(guān)組為AX=的基礎(chǔ)解系.于是,當1,2,,s是AX=的基礎(chǔ)解系時,向量是AX=的解可用1,2,,s線性表示.定理設(shè)AX=有n個未知數(shù),則它的解集的秩(即基礎(chǔ)解系中包含解的個數(shù))等于n-r(A).于是,判別一組向量1,2,,s是AX=的基礎(chǔ)解系的條件為=1\*GB3①1,2,,s是AX=的一組解.=2\*GB3②1,2,,s線性無關(guān).=3\*GB3③s=n-r(A).(2)線性方程組的通解如果1,2,,s是齊次方程組AX=的基礎(chǔ)解系,則AX=的通解(一般解)為c11+c22++css,其中c1c2,cs可取任何常數(shù).如果0是非齊次方程組AX=的解,1,2,,s是導(dǎo)出組AX=的基礎(chǔ)解系,則AX=的通解(一般解)為0+c11+c22++css,其中c1c2,cs可取任何常數(shù).練習(xí)題四1.求齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解:3x1+2x2x3+3x4+5x5=0，6x1+4x23x3+5x4+7x5=0，9x1+6x25x3+7x4+9x5=0，3x1+2x2+4x4+8x5=0.2.已知方程組x1+x22x3+3x4=1，x1+3x2x3+x4=3，3x1-x2k1x3+15x4=3，x1-5x2-10x3+x4=k2有有無窮多個解,求k1,k2的值,并求此方程組的通解.3.x1+kx22x3=1，已知方程組x1-x2kx3=，有無窮多個解,求k的值,并求此方程組的通解.-5x1+5x2+4x3=14.x1+2x2-x3+x4=0,已知齊次方程組x2+px3+x4=0,的基礎(chǔ)解系含兩個解,求p,q的值和方程組的通解.2x1+3x2-x3+qx4=05.(1+a)x1+x2+x3=3a+a2,a為何值時,線性方程組x1+(1+a)x2+x3=3a2+a3,有無窮多解?寫出通解.x1+x2+(1+a)x3=3a3+a46.11111設(shè)=2104，=a．已知線性方程組X有解求a,b,并寫出通解.063543-1b7.x1+x2+x3=0,已知齊次線性方程組x1+2x2+px3=0,有非零解,則p=.x1+4x2+p2x3=08.設(shè)是mn矩陣,它的列向量組為1,2,…,n,則(A)如果非齊次方程組X=有唯一解,則m=n,并且||不為0.(B)如果1,2,…,n線性相關(guān),則非齊次方程組X=有無窮多解.(C)總存在m維向量,使得方程組X=有無解.(D)如果X=有唯一解,則mn.1239．設(shè)Q=24t，矩陣P0，使得PQ=0，則()369(A)當t=6時，r(P)=1；(B)當t=6時，r(P)=2；(C)當t6時，r(P)=1；(D)當t6時，r(P)=2．10.設(shè)η1,η2,η3是齊次方程組X=0的一個基礎(chǔ)解系，則()也是X=0的基礎(chǔ)解系.(A)η1-η3,η2-η1,η3-η2.(B)η1,η2-η3.(C)η1+η2,η2-η3,η1+η2+η3.(D)η1+η2,η2+η3,η3+η1,η1+η2+η3.11.設(shè),,是元非齊次線性方程組AX=的三個無關(guān)線性的解，已知r(A)=1,則()(A),,是X=0的基礎(chǔ)解系.,(B)c(-2)是X=0的通解.(C)c1+c2+c3(c1+c2+c3=0)是X=0的通解.(D),是X=0的基礎(chǔ)解系.12.設(shè)是mn矩陣,非齊次方程組X=有無窮多解,則()正確.(A)X=O有非零解.(B)mn.(C)nm.(D)m=n并且||=0.13.設(shè)是mn矩陣，r()=n-2，1,2,3是非齊次方程組X=的三個不同解，則(A)1,2,3線性相關(guān)(B)1-2,2-3是齊次方程組X=的基礎(chǔ)解系.(C)當1,2,3線性無關(guān)時則{k11+k22+k33，其中k1,k2,k3是滿足k1+k2+k3=1的任何數(shù).}是X=的通解(D)1,2,3的任何線性組合都是X=的解.14．設(shè)1,2,3,4是非齊次方程組X=的四個不同解，并且a1+2-b3+24也是X=的解，1-2b2+a3-34是X=的解，則a=，b=.15.已知1(0,1,0)和2=(-3,2,2)都是方程組x1-x2+2x3=-1,3x1+x2+4x3=1,ax1+bx2+cx3=d的解,求通解.16．設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個四元齊次線性方程組，(Ⅰ)為x1+x2=0，x3-x4=0，(Ⅱ)有一個基礎(chǔ)解系(0，1，1，0)，(-1，2，2，1)．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．17．設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個四元齊次線性方程組，(Ⅲ)是將它們合并而得到的方程組．已知(1，0,1,1),(-1,0,1,0),(0,1,1,0)是(Ⅰ)的一個基礎(chǔ)解系,(0,1,0,1),(1，1，-1，0)是(Ⅱ)的一個基礎(chǔ)解系．求(Ⅲ)的通解．18．已知方程組x1+2x2-x3+x4=mx1+3x3=-2(Ⅰ)3x1+nx2+3x3+2x4=-11(Ⅱ)x2-2x3=52x1+2x2+px3+x4=-4x4=-10同解，求m，n，p．19．設(shè)B是3階非零矩陣，它的每個列向量都是方程組x1+2x2-2x3=02x1-x2+kx3=03x1+x2-x3=0的解．求k，并證明|B|=0．20．設(shè)(Ⅰ)是有n個未知數(shù)的非齊次線性方程組，系數(shù)矩陣的秩為s，證明：如果(Ⅰ)有解，則=1\*GB2⑴(Ⅰ)有n-s+1個線性無關(guān)的解.=2\*GB2⑵(Ⅰ)的任意n-s+2個解都線性相關(guān)．21.設(shè)A是mn實矩陣．證明=1\*GB2⑴r(ATA)=r(A)；=2\*GB2⑵r(A)=nATA可逆．22.證明n元非齊次線性方程組AX=有解ATY=0的解都適方程TY=0.23.x1+x2+x3-x4=13，3x1+mx2+3x3+2x4=h，已知線性方程組(=1\*ROMANI)x2-4x3+x4=0,的解都滿足方程組(=2\*ROMANII)x1+nx2-x3+x4=k，x1-x2+5x3=-7求m,n,h,k,并求(=2\*ROMANII)的一般解.24．設(shè)1=(1,a,2,-1),2=(1,3,a,1),3=(1,2,3,1),4=(3,6,7,-1),5=(1,1,3,-1),已知1,2,3,4線性相關(guān),5可用1,2,3,4線性表示,求a,并寫出5用1,2,3,4線性表示的一般表示式.25．設(shè)線性方程組(=1\*ROMANI)與(=2\*ROMANII)有公共的非零解,其中(=1\*ROMANI)為3x1+5x2+2x3-4x4=0,x1+x2+x3+x4=0，x1+tx2+2x3=0(=2\*ROMANII)有基礎(chǔ)解系η1=(1,-1,1,0),η2=(-2p,p,1,1),求p,t的值和全部公共解.參考答案7.p=1或2.8.(C).1239．設(shè)Q=24t，矩陣P0，使得PQ=0，則()369(1)當t=6時，r(P)=1；(2)當t=6時，r(P)=2；(3)當t6時，r(P)=1；(4)當t6時，r(P)=2．10.(C).11.(B).12.(A).13.(C)14．a(chǎn)=-6，b=-4.15.已知1(0,1,0)和2=(-3,2,2)都是方程組x1-x2+2x3=-1,3x1+x2+4x3=1,ax1+bx2+cx3=d的解,求通解.16．設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個四元齊次線性方程組，(Ⅰ)為x1+x2=0，x3-x4=0，(Ⅱ)有一個基礎(chǔ)解系(0，1，1，0)，(-1，2，2，1)．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．17．設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個四元齊次線性方程組，(Ⅲ)是將它們合并而得到的方程組．已知(1，0,1,1),(-1,0,1,0),(0,1,1,0)是(Ⅰ)的一個基礎(chǔ)解系,(0,1,0,1),(1，1，-1，0)是(Ⅱ)的一個基礎(chǔ)解系．求(Ⅲ)的通解．18．已知方程組x1+2x2-x3+x4=mx1+3x3=-2(Ⅰ)3x1+nx2+3x3+2x4=-11(Ⅱ)x2-2x3=52x1+2x2+px3+x4=-4x4=-10同解，求m，n，p．23.x1+x2+x3-x4=13，3x1+mx2+3x3+2x4=h，已知線性方程組(=1\*ROMANI)x2-4x3+x4=0,的解都滿足方程組(=2\*ROMANII)x1+nx2-x3+x4=k，x1-x2+5x3=-7求m,n,h,k,并求(=2\*ROMANII)的一般解.(m=3,n=2,h=-11,k=-2.)24．a(chǎn)=2,5=(1+2c)1-2+(1+c)3-c4.25．p=-2,t=3,c(0,2,-3,1).第四部分n維向量空間向量組的線性關(guān)系與秩1.向量組的線性表示關(guān)系如果n維向量等于n維向量組1,2,,s的一個線性組合，就說可以用1,2,,s線性表示.判別“是否可以用1,2,,s線性表示?表示方式是否唯一？”就是問：向量方程x11+x22++xss=是否有解？解是否唯一？這個向量方程用分量寫出就是以1,2,,s為增廣矩陣的線性方程組設(shè)1,2,,s和1,2,,t都是n維向量組,如果每個i都可以用1,2,,s線性表示,則說向量組1,2,,t可以用1,2,,s線性表示.例如,乘積矩陣AB的列向量組可以用A的列向量組線性組合.反之,如果向量組1,2,,t可以用1,2,,s線性表示,則矩陣(1,2,,t)等于矩陣(1,2,,s)和一個st矩陣C的乘積.C可以這樣構(gòu)造:它的第i個列向量就是i對1,2,,s的分解系數(shù).當向量組1,2,,s和1,2,,t互相都可以表示時就說它們互相等價并記作1,2,,s1,2,,t向量組的線性表示關(guān)系有傳遞性從而等價關(guān)系也有傳遞性2.向量組的線性相關(guān)性線性相關(guān)性是描述向量組內(nèi)在關(guān)系的概念.定義設(shè)1,2,,s是n維向量組,如果存在不全為0的一組數(shù)c1,c2,,cs使得c11+c22+,+css=0,則說1,2,,s線性相關(guān)否則(即要使得c11+c22+,+css=0,必須c1,c2,,cs全為0)就說它們線性無關(guān).于是,1,2,,s“線性相關(guān)還是無關(guān)”即x11+x22+,+xss=0“有還是沒有非0解”,也就是以(1,2,,s)為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組有無非0解.一個向量(s=1)相關(guān)(無關(guān))即它是(不是)零向量.與線性相關(guān)性有關(guān)的性質(zhì):=1\*GB3①1,2,,s線性相關(guān)至少有一個i可以用其它向量線性表示.=2\*GB3②當向量的個數(shù)s大于維數(shù)n時,1,2,,s一定線性相關(guān).=3\*GB3③線性無關(guān)向量組的每個部分組都無關(guān)(從而每個向量就不是0).=4\*GB3④如果1,2,,s線性相關(guān)而1,2,,s線性相關(guān)則可用1,2,,s線性表示.=5\*GB3⑤如果可用1,2,,s線性表示則表示方式唯一1,2,,s線性無關(guān).=6\*GB3⑥如果1,2,,t可以用1,2,,s線性表示，并且t>s,則1.2,,t線性相關(guān).推論如果兩個線性無關(guān)的向量組互相等價,則它們包含的向量個數(shù)相等.3.向量組的極大無關(guān)組和秩秩是刻畫向量組相關(guān)“程度”的一個數(shù)量概念.它表明向量組可以有多大的線性無關(guān)的部分組.定義設(shè)1,2,,s是n維向量組,(=1\*ROMANI)是它的一個部分組.如果=1\*GB3①(=1\*ROMANI)線性無關(guān).=2\*GB3②(=1\*ROMANI)在擴大就線性相關(guān).就稱(=1\*ROMANI)為1,2,,s的一個極大無關(guān)組.條件=2\*GB3②可換為:任何I都可用(=1\*ROMANI)線性表示也就是(=1\*ROMANI)與1,2,,s等價當1,2,,s不全為零向量時它就存在極大無關(guān)組并且任意兩個極大無關(guān)組都等價從而包含的向量個數(shù)相等定義如果1,2,,s不全為零向量則把它的極大無關(guān)組中所包含向量的個數(shù)是一個正整數(shù)稱為1,2,,s的秩記作r(1,2,,s).如果1,2,,s全是零向量則規(guī)定r(1,2,,s)=0.秩有以下性質(zhì):=1\*GB3①1,2,,s線性無關(guān)r(1,2,,s)=s.=2\*GB3②可用1,2,,s線性表示r(1,2,,s，)=r(1,2,,s).(見例3.2)=3\*GB3③如果r(1,2,,s)=k,則=1\*romani)1,2,,s的每個含有多于k個向量的部分組相關(guān).=2\*romanii)1,2,,s的每個含有k個向量的無關(guān)部分組一定是極大無關(guān)組..=4\*GB3④如果1,2,,t可以用1,2,,s線性表示,則r(1,2,,t)r(1,2,,s).如果1,2,,s和1,2,,t等價,則r(1,2,,s)=r(1,2,,t).極大無關(guān)組和秩的概念可以推廣到向量集合上(即包含的向量的個數(shù)不必有限),所有性質(zhì)仍然成立.4.有相同線性關(guān)系的向量組兩個向量數(shù)相同的向量組1,2,,s和1,2,,s稱為有相同線性關(guān)系,如果向量方程x11+x22++xss=0和x11+x22++xss=0同解.(例如,當A經(jīng)過初等行變換化為B時,A的列向量組和B的列向量組有相同線性關(guān)系.)當1,2,,s和1,2,,s有相同線性關(guān)系時,(1)它們的秩相等.(2)它們的極大無關(guān)組相對應(yīng).(3)它們有相同的內(nèi)在線性表示關(guān)系.5.矩陣的秩定義一個矩陣A的行向量組的秩和列向量組的秩相等,稱為此矩陣的秩,記作r(A).于是r(A)=0如果A是mn矩陣,則r(A)Min{m,n},當?shù)忍柍闪r,稱A為滿秩的.如果A是n階矩陣,則A滿秩,即r(A)=nA的行(列)向量組無關(guān)|A|0A可逆AX=有唯一解齊次方程組AX命題=1\*GB3①初等變換保持矩陣的秩=2\*GB3②階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù)矩陣A的r階子式:任取A的r行和r列,在它們的交叉位置上的元素所構(gòu)成的行列式.命題r(A)就是A的不等于0的子式的階數(shù)的最大值.(即A的每個階數(shù)大于r(A)的子式都為0,都是A有階數(shù)等于r(A)非0子式.)在作矩陣的運算中,矩陣的秩有性質(zhì):=1\*GB3①r(AT)=r(A).=2\*GB3②如果c不為0,則r(cA)=r(A).=3\*GB3③r(AB)r(A)+r(B).=4\*GB3④Min{r(A),r(B)}.=5\*GB3⑤當A(或B)可逆時,r(AB)=r(B)(或r(A)).=6\*GB3⑥如果AB=0,n為A的列數(shù)(B的行數(shù)),則r(A)+r(B)n.=7\*GB3⑦如果r(A)等于列數(shù),則r(AB)=r(B).下面給出=5\*GB3⑤和=7\*GB3⑦在判別向量組的線性相關(guān)性和秩的計算問題上的應(yīng)用.設(shè)向量組1,2,,s線性無關(guān),向量組1,2,,t可用1,2,,m線性表示,表示矩陣為C,則=1\*romani)r(1,2,,t)=r(C).=2\*romanii)如果t=s(此時C是t階矩陣),則1,2,,s線性無關(guān)C可逆.(令A(yù)=(1,2,,s),B=(1,2,,t),則B=AC,并且r(A)=列數(shù)s,用=7\*GB3⑦得到r(1,2,,s)=r(C).t=s時,C可逆r(1,2,,s)=r(C)=s1,2,,s線性無關(guān).或直接用=5\*GB3⑤證明=2\*romanii):C可逆時r(B)=r(A)=s,從而1,2,,s線性無關(guān).如果C不可逆,則r(1,2,,s)r(C)<s,從而1,2,,s線性相關(guān).)練習(xí)題三1．1,2,…,r線性無關(guān)()．(A)存在全為零的實數(shù)k1,k2,…,kr，使得k11+k22+…+krr=0；(B)存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,kr，使得k11+k22+…+krr≠0；(C)每個i都不能用其它向量線性表示；有線性無關(guān)的部分組．2.設(shè)是45矩陣,1,2,3,4,5是的列向量組，r(1,2,3,4,5)=3，則()正確。(A)的任何3個行向量都線性無關(guān)；(B)1,2,3,4,5的含有3個向量的線性無關(guān)部分組一定是它的極大無關(guān)組；(C)的最下面的行向量是零向量。(D)1,2,3,4,5的線性相關(guān)的部分組一定含有多于3個向量．3.設(shè)n維向量組1,2,…,s的秩等于3，則(A)1,2,…,s中的任何4個向量相關(guān),任何3個向量無關(guān).(B)存在含有兩個向量的無關(guān)的部分組.(C)相關(guān)的部分組包含向量的個數(shù)多于3.(D)如果s<3,則1,2,…,s中有零向量.4.設(shè)n維向量組1,2,…,s的秩為k，它的一個部分組1,2,…,t(t<s)的秩為h．下面諸條件中，那些可判定1,2,…,t是1,2,…,s的一個極大無關(guān)組？=1\*GB2⑴h=k，并且1,2,…,t線性無關(guān)；=2\*GB2⑵h=k，并且1,2,…,t與1,2,…,s等價；=3\*GB2⑶t=k，并且1,2,…,t與1,2,…,s等價；=4\*GB2⑷h=k=t；=5\*GB2⑸t=k，并且1,2,…,t線性無關(guān)；=6\*GB2⑹h=t，并且1,2,…,t線性無關(guān)．5.設(shè)A是n階矩陣,1,2,,s是一組n維向量，i=Ai,i=1，2，,s.則()成立.A)如果1,2,,s線性無關(guān)則1,2,,s也線性無關(guān).(B)r(1,2,,s)=r(1,2,,s).(C)如果A不可逆,則r(1,2,,s)>r(1,2,,s).(D如果r(1,2,,s)>r(1,2,,s),則A不可逆.6.設(shè)1,2,3,4線性無關(guān),則()線性無關(guān).(A)1+2，2+3，3+4,4+1.(B)1+2，2+3，3+4,3-4(C)1-2，2-3，3-4,4-1.(D)1+2，2+3，3-4,4-1.．7.設(shè)1,2,3線性無關(guān),1(m-1)1+32+3,21+(m+1)2+3,3-1-(m+1)2+(1-m)3,其中m為實數(shù),討論m與r(1,2,3)的關(guān)系.8.7.設(shè)n維向量組,,,s線性相關(guān),但是,,s線性無關(guān)，其中不是零向量.又設(shè)數(shù),,,s不全為0，使得+++ss=0，則一定有().(A),,,s全為0；(B),,,s不全為0；(C)，,,s不全為0；(D)s=n.9.設(shè)n維向量組1,2,3,4,的秩為4，則()正確.(A)n=4.(B)可用1,2,3,4線性表示.(C)r(1,2,3,4)3.(D)1,2,3,4線性無關(guān).10.設(shè)1=(1+λ，1，1)，2=(1，1+λ，1)，3=(1，1，1+λ)，=(0，λ,λ2)．=1\*GB3①λ為何值時，可用1，2，3線性表示，并且表示方式唯一？=2\*GB3②λ為何值時，可用1，2，3線性表示，并且表示方式不唯一？=3\*GB3③λ為何值時，不可用1，2，3線性表示？11.設(shè)1=(1+a,1,1)，2=(1,1+b,1)，3=(1,1,1-b)，問a,b滿足什么條件時r(1,2,3)=2?12.當a取何值時向量組1=(3，1，2，12)，2=(-1，a，1，1)，3=(1,-1，0，2)線性相關(guān)？13．1442已知矩陣=03a3的秩為3,求a,并找出它的行向量組的一個極大無關(guān)組.-1a3-1445-a14．如果1,2,3線性無關(guān),而31-2+3,21+2-3,1+t2+23線性相關(guān),則t=.15．a(chǎn)b-3b-1a13階矩陣A=202，B=0，已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和32-1021r(AB)16設(shè)1=(1,0,1,1),2=(2,-1,0,1),3=(-1,2,2,0),1=(0,1,0,1),2=(1,1,1,1),問:c1,c2滿足什么條件時c11+c22可以用1,2,…,r線性表示?(2c1+c2=0)17.設(shè)1,2,3,4線性相關(guān)，2,3,4,5線性無關(guān)．哪個向量可用其它向量線性表示？哪個向量不能用其它向量線性表示？18．設(shè)1,2,…,t是X=0的一個基礎(chǔ)解系，不是X0的解．證明,+1，+2，…，+t線性無關(guān)．19．設(shè)1,2,…,r和1,2,…,s是兩個線性無關(guān)的n維向量組．證明：向量組{1,2,…,r；1,2,…,s}線性相關(guān)的充分必要條件為存在n維非零向量，它既可用1,2,…,r表示，又可用1,2,…,s表示．20．=1\*GB3①設(shè)1,2,3是線性無關(guān)的4維向量組，1,2也都是4維向量,證明:存在不全為0的c1,c2,使得c11+c22可以用1,2,3線性表示.=2\*GB3②設(shè)4維向量組1,2,…,r的秩=3，1,2也都是4維向量,證明存在不全為0的c1,c2,使得c11+c22可以用1,2,…,r線性表示.21.設(shè)1,2,…,s和1,2,…,s都是n維向量組,已知1=1,i-i可以用1,2,…,i-1線性表示(當i>1時).證明r(1,2,…,s)=r(1,2,…,s).參考答案1．(C).2.(B).3.(B).4.=1\*GB2⑴,=3\*GB2⑶,=4\*GB2⑷,=5\*GB2⑸.5.(D.6.(B).7.m2和m22時r(1,2,3)=2,否則r(1,2,3)=3.8.(B)9.(C).10.=1\*GB2⑴λ不為0和-2.=2\*GB2⑵λ=0.=3\*GB2⑶λ=-2.11.a=-1，或a=不為0，b=0.12.a=3。13．A=-7第1，24個行向量構(gòu)成行向量組的一個極大無關(guān)組.14．t=-2.15．a(chǎn)=1,b=2,r(AB)162c1+c2=0.17.1可用其它向量線性表示,4不能用其它向量線性表示.第五部分矩陣1.矩陣乘法的定義和性質(zhì)定義2.1當矩陣A的列數(shù)和B相等時,和A和B可以相乘,乘積記作AB.AB的行數(shù)和A相等,列數(shù)和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i個行向量和B的第j個列向量(維數(shù)相同)對應(yīng)分量乘積之和.矩陣的乘法在規(guī)則上與數(shù)的乘法有不同:=1\*GB3①矩陣乘法有條件.=2\*GB3②矩陣乘法無交換律.=3\*GB3③矩陣乘法無消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A=0推不出或B=C.(無左消去律)由BA=CA和A=0推不出或B=C.(無右消去律)把數(shù)的乘法的性質(zhì)簡單地搬用到矩陣乘法中來,這是常見錯誤.矩陣乘法適合以下法則:=1\*GB3①加乘分配律A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.=2\*GB3②數(shù)乘性質(zhì)(cA)B=c(AB).=3\*GB3③結(jié)合律(AB)C=A(BC).=4\*GB3④(AB)T=BTAT.2.n階矩陣的方冪和多項式任何兩個n階矩陣A和B都可以相乘,乘積AB仍是n階矩陣.(1)行列式性質(zhì)|AB|=|A||B|.(2)如果AB=BA,則說A和B可交換.(3)方冪設(shè)k是正整數(shù),n階矩陣A的k次方冪Ak即k個A的連乘積.規(guī)定A0=E.顯然A的任何兩個方冪都是可交換的,并且方冪運算符合指數(shù)法則:=1\*GB3①AkAh=Ak+h.=2\*GB3②(Ak)h=Akh.但是一般地(AB)kAkBk.(3)n階矩陣的多項式乘法公式設(shè)f(x)=amxm+am-1xm-1++a1x+a0,對n階矩陣A規(guī)定f(A)=amAm+am-1Am-1++a1A+a0稱為A的一個多項式.請?zhí)貏e注意在常數(shù)項上加單位矩陣E.一般地,由于交換性問題,乘法公式對于n階矩陣的多項式不再成立,如果所出現(xiàn)的n階矩陣互相都是交換的,則乘法公式成立.例如(AB)2=A22AB+B2A和(A+B)(A-B)=A2-B2A和A和B可交換(不是!)有二項公式:3.乘積矩陣的列向量組和行向量組,設(shè)A是mn矩陣B是ns矩陣.A的列向量組為1,2,,n,B的列向量組為1,2,,s,AB的列向量組為1,2,,s,則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出:=1\*GB3①AB的每個列向量組為i=Ai,i=1,2,,s.即A(1,2,,s)=(A1,A2,,As).=2\*GB3②=(b1,b2,,bn)T,則A=b11+b22++bnn.應(yīng)用這兩個性質(zhì)可以得到:乘積矩陣AB的第i個列向量i是A的列向量組為1,2,,n的線性組合,組合系數(shù)就是B的第i個列向量I的各分量.類似地,乘積矩陣AB的第i個行向量是B的行向量組的線性組合,組合系數(shù)就是A的第i個行向量的各分量.以上規(guī)律在一般教材都沒有強調(diào),但只要對矩陣乘法稍加分析就不難看出.然而它們無論在理論上(有助于了解代數(shù)學(xué)中各部分內(nèi)容的聯(lián)系)和解題中都是很有用的.請讀者注意例題中對它們的應(yīng)用.下面是幾個簡單推論.用對角矩陣從左側(cè)乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各行向量;用對角矩陣從右側(cè)乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各列向量.單位矩陣乘一個矩陣仍等于該矩陣.數(shù)量矩陣kE乘一個矩陣相當于用k乘此矩陣.兩個同階對角矩陣的相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘.求對角矩陣的方冪只需把對角線上的每個作同次方冪.4.矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣)(1)矩陣方程矩陣不能規(guī)定除法,乘法的逆運算是解下面兩中基本形式的矩陣方程.(=1\*ROMANI)AX=B.(=2\*ROMANII)XA=B.其中A必須是行列式不等于0的n階矩陣,這樣這兩個方程都是唯一解.當B只有一列時,(=1\*ROMANI)就是一個線性方程組.由克萊姆法則知它是唯一解.設(shè)B有s列,B=(1,2,,s),則X也有s列,記X=(1,2,,s).得到Ai=i,i=1,2,,s,這些方程組都是唯一解,從而AX=B唯一解.這些方程組系數(shù)矩陣都是A,可同時求解,即得(=1\*ROMANI)的解法:將A和B并列作矩陣(A|B),對它作初等行變換,使得A邊為單位矩陣,此時B邊為解X.(=2\*ROMANII)的解法:對兩邊轉(zhuǎn)置化為(=1\*ROMANI)的形式:ATXT=BT.再用解(=1\*ROMANI)的方法求出XT,轉(zhuǎn)置得X..矩陣方程是歷年考題中常見的題型,但是考試真題往往比較復(fù)雜,要用恒等變形簡化為下上基本形式再求解.(2)可逆矩陣定義設(shè)A是n階矩陣,如果存在n階矩陣B,使得AB=E,BA=E,則稱A為可逆矩陣.此時B是唯一的,稱為A的逆矩陣,通常記作A-1.矩陣可逆性的判別:=1\*GB3①n階矩陣A可逆|A|0.=2\*GB3②n階矩陣A和B如果滿足AB=E,則A和B都可逆并且互為逆矩陣.(即AB=EBA=E.)可逆矩陣有以下性質(zhì):=1\*GB3①如果A可逆,則A-1也可逆,并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1.AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.當c0時,cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1對任何正整數(shù)k,Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.(規(guī)定可逆矩陣A的負整數(shù)次方冪A-k=(Ak)-1=(A-1)k.=2\*GB3②如果A和B都可逆,則AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.=3\*GB3③如果A可逆,則A在乘法中有消去律:AB=0B=0.BA=0B=0.AB=ACB=C.BA=CAB=C.=4\*GB3④如果A可逆,則A在乘法中可移動(化為逆矩陣移到等號另一邊):AB=CB=A-1C.BA=CB=CA-1由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法:(=1\*ROMANI)AX=B的解X=A-1B;(=2\*ROMANII)XA=B的解X=BA-1.這種解法自然好記,但是計算量必初等變換法大(多了一次矩陣乘積運算).(3)逆矩陣的計算和伴隨矩陣逆矩陣的計算有兩種方法.=1\*GB3①初等變換法:A-1是矩陣方程AX=E的解,于是對(A|E)用初等行變換把化為E,則E化為A-1.=2\*GB3②伴隨矩陣法若A是n階矩陣,記Aij是|A|的(i,j)位元素的代數(shù)余子式,規(guī)定A的伴隨矩陣為A11A21An1A*=A12A22An2=(Aij)TA1nA2nAmn規(guī)定伴隨矩陣不要求A可逆.但是在A可逆時,A*和A-1有密切關(guān)系.基本公式:AA*=A*A=|A|E.于是對于可逆矩陣A,有A-1=A*/|A|,或A*=|A|A-1.因此可通過求A*來計算A-1.這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法.和初等變換法比較,伴隨矩陣法的計算量要大得多,除非n=2,一般不用它來求逆矩陣.對于2階矩陣ab*d-bcd=-ca,因此當ad-bc0時,ab-1d-bcd=-ca(ad-bc).伴隨矩陣的其它性質(zhì):=1\*GB3①如果A是可逆矩陣，則A*也可逆，并且(A*)-1=A/|A|=(A-1)*.=2\*GB3②|A*|=|A|N-1.=3\*GB3③(A-T)*=(A*)T.=4\*GB3④(cA)*=cn-1A*.=5\*GB3⑤(AB)*=B*A*;(Ak)*=(A*)k.=6\*GB3⑥(A*)*=|A|N-2A.練習(xí)題二1.設(shè)=(1,2,3,4)T,=(1,1/2,1/3/1/4)T,=T,求n.11/202．設(shè)=210，求n．11/201003．設(shè)=(1,0,1)T,=(0,1,1)T,P=110,A=P-1TP,求A2003.0014設(shè)TT，B=T求B5．5．已知3階行列式|,,|=3，求|3-+2,++,2+5-7|.6．已知301A=110，AB=A+2B，求B．0147．已知0101-1A=-111，B=20，X=AX+B,求X.-10-1538．已知1-20B=210，(A-E)B=A，求A.0029．已知11-1=-111，*XX，求X．110．已知011=101，，求．01011.100設(shè)=-230,=(+E)-1(-E),則(-E)-1=.0-4512.A是一個3階矩陣,3維向量組1,2,3線性無關(guān),滿足A1=2+3,A2=1+3,A3=1+2.求|A|.13.設(shè)100100=000,B=2-10,XB=BA,求X和X11.00-121114.200設(shè)=(1/2)013,求(A*).02515．設(shè)n階矩陣滿足，證明可逆，并求和()16.設(shè)n階矩陣滿足K，k為一個自然數(shù)，證明可逆17．設(shè)n階矩陣滿足，并且A不是數(shù)量矩陣．問a為什么數(shù)時AaE可逆？18.已知n階矩陣證明．19．設(shè)A，B，C都是n階可逆矩陣，D=(ABAC)1，證明BACD=CDAB．20．設(shè)A，B都是n階矩陣，AB+E可逆．證明BA+E也可逆，并且(BA+E)1=E(AB+E)A．21．A，B都是n階矩陣，并且B和EAB都可逆，證明：(E+A)E(E+AB)A．22.設(shè)A,是兩個n階矩陣，則（）是A,可交換的充分必要條件.(A)(A+)3=A3+3A2+3A2+3.(B)A2與(C)A+與A可交換.(D)(A2A22.23．設(shè)A,B是兩個n階矩陣,滿足(AB)2=E,則()成立.A)AB=E.(B)|A||B|=1.(C)AB=BA.(D(BA)2=24.設(shè)A,B是兩個3階矩陣,|A-1|=2,|B-1|=3,則|A*B-1-A-1B*|=().A)36.(B)1/36.(C)-6.(D6.25．已知3階矩陣滿足:21-3-5-392=11-2,3=-3-26,求.-3-2696–1726．設(shè)A,B是兩個n階矩陣,則()成立.A)如果A,B都可逆,則AB=BA.(B)如果AB是非零數(shù)量矩陣,則AB=BA.(C)如果A*B=BA*,則AB=BA.(D如果(AB)2=A2B2則AB=BA.27．設(shè)=(-1,-1,2),=(1,1,0),=2E+T,B=E+3T,則AB-BA=.參考答案1.4n.2．2n-1.1113．A2003=A=-1-1-1.1114-6-9-9B5B=T233．2335．-135.6．5-2-2B=4–3–2.-2237．3-1X=20.1-18．