（新教材）【人教A版】必修一1.5.2（數(shù)學(xué)）

1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

1.全稱量詞命題的否定全稱量詞命題p﹁p結(jié)論?x∈M,p(x)?x∈M,﹁p(x)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題2.存在量詞命題的否定存在量詞命題p﹁p結(jié)論?x∈M,p(x)?x∈M,﹁p(x)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題【思考】用自然語(yǔ)言描述的全稱量詞命題的否定形式唯一嗎?提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四邊形”,它的否定是“存在一個(gè)菱形不是平行四邊形”,也可以是“有些菱形不是平行四邊形”.【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)命題﹁p的否定是p. (

)(2)?x∈M,p(x)與?x∈M,﹁p(x)的真假性相反.(

)(3)從存在量詞命題的否定看,是對(duì)“量詞”和“p(x)”同時(shí)否定. (

)提示:(1)√.命題p與﹁p互為否定.(2)√.存在量詞命題p與其否定﹁p一真一假.(3)×.存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,只是對(duì)“p(x)”進(jìn)行否定,而將“存在量詞”調(diào)整為“全稱量詞”,不能將其理解為“同時(shí)否定”.2.設(shè)命題p:?x∈R,x2+1>0,則﹁p為 (

)A.?x∈R,x2+1>0 B.?x∈R,x2+1≤0C.?x∈R,x2+1<0 D.?x∈R,x2+1≤0【解析】選B.根據(jù)命題p可得﹁p:?x∈R,x2+1≤0.類型一全稱量詞命題的否定【典例】1.設(shè)x∈Z,集合A是奇數(shù)集,集合B是偶數(shù)集.若命題p:?x∈A,2x∈B,則 (

)A.﹁p:?x∈A,2x?B

B.﹁p:?x?A,2x?BC.﹁p:?x?A,2x∈B D.﹁p:?x∈A,2x?B2.寫(xiě)出下列全稱量詞命題的否定: 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)對(duì)所有正數(shù)x,>x+1.(2)?x∈R,x3+1≠0.(3)所有被5整除的整數(shù)都是奇數(shù).(4)每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.【思維·引】1.命題p中的量詞是“?”,命題的結(jié)論是“2x∈B”,改量詞,否定結(jié)論即可.2.全稱量詞改為存在量詞,同時(shí)否定結(jié)論即可.【解析】1.選D.該命題的否定為﹁p:?x∈A,2x?B.2.(1)該命題的否定:存在正數(shù)x,≤x+1.(2)該命題的否定:?x∈R,x3+1=0.(3)該命題的否定:存在一個(gè)被5整除的整數(shù)不是奇數(shù).(4)該命題的否定:存在一個(gè)四邊形,它的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓.【素養(yǎng)·探】在全稱量詞命題的否定問(wèn)題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,依據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題解題,訓(xùn)練推理、論證的能力.將本例1中命題p改為“?x?A,2x∈B”,其他條件不變,其結(jié)論又如何呢?【解析】將量詞“?”換為“?”,結(jié)論否定即可,即其否定為:?x?A,2x?B”.【類題·通】1.對(duì)全稱量詞命題否定的兩個(gè)步驟(1)改變量詞:把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~.(2)否定結(jié)論:原命題中的“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等.2.全稱量詞命題否定后的真假判斷方法全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,其真假性與全稱量詞命題相反;要說(shuō)明一個(gè)全稱量詞命題是假命題,只需舉一個(gè)反例即可.【發(fā)散·拓】常見(jiàn)的詞語(yǔ)的否定:原詞否定詞原詞否定詞等于不等于至多一個(gè)至少兩個(gè)大于不大于至少一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有小于不小于任意某個(gè)是不是所有的某些都是不都是【延伸·練】已知全集U=R,A?U,B?U,如果命題p:∈A∪B,則命題﹁p是____________________.

【解析】因?yàn)閜:∈A∪B,所以﹁p:?A且?B,即﹁p:∈(?UA)∩(?UB).答案:∈(?UA)∩(?UB).【習(xí)練·破】寫(xiě)出下列全稱量詞命題的否定:(1)?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2.(2)任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1,仍等于這個(gè)數(shù).(3)所有分?jǐn)?shù)都是有理數(shù).(4)任意兩個(gè)等邊三角形都相似.【解析】(1)該命題的否定:?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.(2)該命題的否定:存在一個(gè)實(shí)數(shù)除以1,不等于這個(gè)數(shù).(3)該命題的否定:存在一個(gè)分?jǐn)?shù)不是有理數(shù).(4)該命題的否定:存在兩個(gè)等邊三角形,它們不相似.【加練·固】寫(xiě)出下列全稱量詞命題的否定:(1)被8整除的數(shù)能被4整除.(2)所有二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(3)實(shí)數(shù)都能寫(xiě)成小數(shù)形式.(4)方程x2-8x-10=0的每一個(gè)根都不是奇數(shù).【解析】(1)存在一個(gè)數(shù)能被8整除,但不能被4整除.(2)存在一個(gè)二次函數(shù),它的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱.(3)存在一個(gè)實(shí)數(shù)不能寫(xiě)成小數(shù)形式.(4)方程x2-8x-10=0有一個(gè)根是奇數(shù).類型二存在量詞命題的否定【典例】1.命題p:?x>0,x+=2,則﹁p為 (

)A.?x>0,x+=2 B.?x>0,x+≠2C.?x≤0,x+=2 D.?x≤0,x+≠22.已知命題p:存在k∈R,使得函數(shù)y=(k-3)x+k的圖象不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M,若命題p是假命題,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_____.

3.寫(xiě)出下列存在量詞命題的否定: 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù).(2)某些平行四邊形是菱形.(3)?x∈R,x2+1<0.(4)?x,y∈Z,使得x+y=3.【思維·引】1.一方面要改變量詞,另一方面要否定結(jié)論.2.依據(jù)原命題和其否定一真一假解答.3.找準(zhǔn)量詞和結(jié)論,分別進(jìn)行改變和否定.【解析】1.選B.該命題的否定﹁p:?x>0,x+≠2.2.因?yàn)槊}p是假命題,所以﹁p是真命題即任意k∈R,使得函數(shù)y=(k-3)x+k的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M,易知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,3).答案(-1,3)3.(1)該命題的否定:“不存在一個(gè)實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值是正數(shù)”.也即“所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)”.(2)該命題的否定:“沒(méi)有一個(gè)平行四邊形是菱形”,也即“每一個(gè)平行四邊形都不是菱形”.(3)該命題的否定:“不存在x∈R,x2+1<0”,也即“?x∈R,x2+1≥0”.(4)該命題的否定:“?x,y∈Z,x+y≠3”.【內(nèi)化·悟】寫(xiě)出存在量詞命題的否定后,如何檢驗(yàn)是否正確?提示:一方面檢查是否改寫(xiě)了量詞和否定了結(jié)論,另一方面可以依據(jù)原命題和其否定一真一假檢驗(yàn).

【類題·通】1.對(duì)存在量詞命題否定的兩個(gè)步驟(1)改變量詞:把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞.(2)否定結(jié)論:原命題中的“有”“存在”等更改為“沒(méi)有”“不存在”等.2.存在量詞命題否定后的真假判斷存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,其真假性與存在量詞命題相反;要說(shuō)明一個(gè)存在量詞命題是真命題,只需要找到一個(gè)實(shí)例即可.【習(xí)練·破】判斷下列命題的真假,并寫(xiě)出這些命題的否定:(1)某些梯形的對(duì)角線互相平分.(2)?x∈{x|x是無(wú)理數(shù)},x2是無(wú)理數(shù).(3)在同圓中,同弧所對(duì)的圓周角相等.(4)存在k∈R,函數(shù)y=kx+b隨x值的增大而減小.【解析】(1)假命題.任意一個(gè)梯形的對(duì)角線都不互相平分.(2)真命題.?x∈{x|x是無(wú)理數(shù)},x2是有理數(shù).(3)真命題.在同圓中,同弧所對(duì)的圓周角不相等.(4)真命題.任意k∈R,函數(shù)y=kx+b不隨x值的增大而減小.【加練·固】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并寫(xiě)出這些命題的否定.(1)有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除.(2)?x∈Z,x2與3的和不等于0.(3)有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都為60°.(4)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線.【解析】(1)是存