2021年廣東省春季高考數學模擬試卷（解析版）12

2021年廣東春季高考數學模擬試卷（12）

解析版

注：本卷共22小題，滿分150分。

一、單選題（本大題共15小題，每小題6分，滿分90分）

1.已知集合知=｛乂x是等邊三角形｝,N=｛Rx是等腰三角形｝,則下列判斷正確的是（）

A.M「NB,M=NC.MeND.M二N

【答案】A

【解析】

【分析】

根據集合的基本運算和三角形的性質可求得答案.

【詳解】

集合M=｛x|x是等邊三角形｝,N=｛x|x是等腰三角形｝,

所以MuN.

故選：A.

【點睛】

本題考查了集合的基本運算，屬于基礎題.

2.下列函數中，值域是R且是奇函數的是（）

A.y=x3+lB.y=sinxC.y=x-xiD.y=2x

【答案】C

【解析】

【分析】

根據基本函數的值域及其奇偶性一一分析選項中的函數即可.

【詳解】

A項中，y=1+1的值域是R,但不是奇函數；

B項中，y=sinx的值域是[-1,1],是奇函數；

C項中，y二%-1的值域是^,且是奇函數；

D項中，y=2*的值域是（0,+8）,不是奇函數.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查基本函數的值域和奇偶性，屬于簡單題.

3.已知cosa-sin（i+a）<0,那么角a是（）

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角

C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據誘導公式化簡，再根據三角函數符號確定角所在象限.

【詳解】

cosa-sin（萬+a）<0-cos。?sine<0cosa?sina>0

因此角a是第一或第三象限角，

故選：C

2

【點睛】

本題考查誘導公式以及三角函數符號，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.

4.在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是b,c且J^asin3=/>sin(B+C)tanC,

則cosC=()

1

A.—

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意可知J§asin8=bsinAtanC，再根據正弦定理,可得、QsinAsin8=sinBsinAtanC，

可得tanC=6，由此即可求出角C，進而求出結果.

【詳解】

在△A8C中，sin(8+C)=sinA

所以6sin(B+C)tanC=0sinAtanC,

所以Qasin6=bsinAtanC，

由IE弦定理可知，布sinAsin8=sinBsintanC>

又A5e(O,1)，

所以tanC=JL

又C€(0,乃)，所以C=(,

所以cosC='.

2

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題.

5.在邊長為2的正方形ABCD,E為CD的中點，則4g.反=()

A.一立B.立C.-1D

22

【答案】D

【解析】

【分析】

建立平面直角坐標系，利用平面向量的坐標運算，可以求得結果.

【詳解】

以A為坐標原點，建系如圖：

則4(0,0)］。,2),。(2,2),亞=(,2),或=(1,0),所以近.配=1，故選D.

【點睛】

平面向量運算有兩種方式：坐標運算和基底運算，坐標運算能極大減少運算量，是我們優(yōu)先選用的

方式.

6.已知。、匕，c,d均為實數，則下列命題正確的是()

A.若

4

cd

B.若ab>0,he-ad>0,則-----<0

ab

C.若a>b,c〉d貝!la—d>b—c

D.若a>b,c>d>0則=>—

ac

【答案】C

【解析】

【分析】

根據不等式的性質對各個選項逐一驗證，即可得到結果.

【詳解】

若OvavZ?,Ovevd,則；故選項A錯誤；

若ab>0,bc—ad>0,則絲0>0,即￡一4>0,故選項B錯誤;

abab

若,c>d,則一d>-c,所以Q-d>b-c,故選項C正確；

若c>l>0,則2>,>0；若a>6>0,則烏>2；故選項D錯誤；

dcdc

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了不等式的性質，屬于基礎題.

7.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是（）

俯視圖

A.72B.48C.27D.36

【答案】D

【解析】

【分析】

由三視圖知幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是一個直角三角形，直角邊長分別是4,6cm,三棱

柱的側棱與底面垂直，且側棱長是3,利用體積公式得到結果

【詳解】

山題可得直觀圖為三棱柱，故體積為：V=S/z=4x6x1x3=36,故選D.

2

【點睛】

本題考查由三視圖還原幾何體并且求幾何體的體積，本題解題的關鍵是看出所給的幾何體的形狀和

長度，熟練應用體積公式，本題是一個基礎題.

8.下列命題正確的是（）

A.一直線與平面平行，則它與平面內任一直線平行

B.一直線與平面平行，則平面內有且只有一條直線與已知直線平行

C.一直線與平面平行，則平面內有無數直線與已知直線平行，它們在平面內彼此平行

D.一直線與平面平行，則平面內任意直線都與已知直線異面

【答案】C

【解析】

【分析】

根據直線與平面平行的性質逐一判斷即可.

【詳解】

一直線與平面平行，則它與平面內任一直線平行或異面，故A不正確;

一直線與平面平行，則平面內有無數條直線與已知直線平行，故B不正確;

6

一直線與平面平行，則平面內有無數直線與已知直線平行，它們在平面內彼此平行，故CiE確:

一直線與平面平行，則平面內任意直線都與己知直線平行或異面，故D不正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查空間中直線與平面的位置關系及其運用，是基礎題.解題時要認真審題，仔細解答.

9.如圖，3是線段AC上一點，分別以為直徑作半圓，AC=6,AB=2,在整個

圖形中隨機取一點，則此點取自圖中陰影部分的概率是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由題，先求出兩個白色小半圓的概率，再利用概率之和為1，求得陰影部分的概率即5

【詳解】

-

乃

XI萬

+一

24

--

可得概率為329

P=1萬X

故選C

【點睛】

本題主要考查了兒何概型中面積型，會求得面積是解題關鍵，屬于基礎題.

10.如圖是某學校舉行的運動會上七位評委為某體操項目打出的分數的莖葉圖,去掉一個最高分和一

個最低分后,所剩數據的平均數和方差分別為（）

79

844647

93

A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據所給的莖葉圖，看出七個數據，根據分數處理方法，去掉一個最高分93和一個最低分79后，

把剩下的五個數字求出平均數和方差.

【詳解】

由莖葉圖知，去掉一個最高分93和一個最低分79后，

弘Fl皿、/84+84+86+84+87

所剩數據84,84,86,84,87的平均數為-------------------=85；

方差為1[（84—85『+（84—85）2+（86—857+（84-85）2+（87-85）2].

故答案為C

【點睛】

莖葉圖、平均數和方差屬于統(tǒng)計部分的基礎知識，也是高考的新增內容，考生應引起足夠的重視，

確保穩(wěn)拿這部分的分數.

11.已知圓C:/+y2-2x—3=0,直線/：y=Ax+l與圓C交于A,8兩點，當弦長最短時

k的值為（）

A.1B.72C.-1D.-72

【答案】A

【解析】

8

【分析】

根據直線的方程，判定直線過定點后(0,1),根據圓的方程求得圓心坐標C(LO),利用圓的弦的性質

判定直線/與CE垂直時弦長最短，利用兩點間距離公式求得CE的斜率，進而利用兩直線垂直

的條件求得k的值.

【詳解】

據題意直線/：y=—+1恒過定點￡(0,1),圓心C(l,0),

當直線/與CE垂直時，弦長最短，

此時心"=-1,?,.左=1.

故選A.

“Nj/y^kx+l

A

X

【點睛】

本題考查圓的弦長最值問題，涉及直線過定點，兩直線的垂直關系，屬基礎題.

2

12.若圓G+>2=1與圓。2：爐+y-6x—8y+m=0外切，則/"=().

A.21C.-21D.-9

【答案】B

【解析】

【分析】

化為圓的一般式方程為標準方程，求出圓心和半徑，由兩圓心間的距離等于半徑和列式，即可求解

答案.

【詳解】

由圓G：_?+y2=i,得到圓心坐標G(0,0),半徑為4=1,

由圓。2：/+/2一6%一8曠+加=(),得到圓心坐標。2(3,4),半徑為弓=，25-根，

圓心G與圓G外切，所以斤方=在二荷+1，

解得加=9,故選B.

【點睛】

本題主要考查了兩圓的位置關系的應用，其中解答中熟記兩圓的位置關系的合理應用，列出相應的

方程求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

13.已知函數/(x)=c；c，若—1=5,貝此=()

2x+log3a,x>0

A.3B.9C.27D.81

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出/(—1)=怖，在代入/(x)=2x+log3。，解方程求出

【詳解】

3

解：由已知/(-1)=2-1+1=5，

"(/(-1))=/(5)=3+1嗎。=5，

解得：a=9f

故選：B.

10

【點睛】

本題考查己知分段函數的函數值求參數的值，是基礎題.

14.已知“X)是A上的奇函數，且滿足〃x+4)=/(x),當x?(),2)時，/(力=2*,則

〃7)=()

A.-2B.2C.4D.-4

【答案】A

【解析】試題分析：由/(x)滿足〃x+4)=〃x),所以函數是以4為周期的周期函數，且函數

/(x)在R上是奇函數，當x€(0,2)時，“X)=2f,則“7)=〃7—8)=〃—1)=—/⑴=—2.

考點：函數的性質的應用.

15.公元前四世紀，畢達哥拉斯學派對數和形的關系進行了研究.他們借助幾何圖形(或格點)來表

示數，稱為形數.形數是聯(lián)系算數和幾何的紐帶.圖為五角形數的前4個，則第10個五角形數為()

A.120B.145C.270D.285

【答案】B

【解析】

【分析】

記第〃個五角形數為例，由題意知：4=1,%-%=4,%-%=7,2一%=1°…可得

可一=3(〃-D+1,根據累加法，即可求得答案.

【詳解】

記第〃個五角形數為%,

由題意知：4=1,。2-4=4,%-。2=7,%-%=1?！?/p>

可得=3(〃-1)+1,

由累加法得a”=《“；)〃,

/.40=145.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了根據累加法其數列通項公式，解題關鍵是掌握數列基礎知識，考查了分析能力和計

算能力，屬于中檔題.

二、填空題

16.某單位對員工編號為1到60的60名員工進行常規(guī)檢查，每次采取系統(tǒng)抽樣方法從中抽取5名

員工.若某次抽取的編號分別為X,17,y,Z,53,則x+y+z=.

【答案】75

【解析】

【分析】

由X,17,y,Z,53成等差數列，利用等差數列的性質可求解.

【詳解】

由系統(tǒng)抽樣可得公差為更￡值=12,得x=5,y=29,z=41，所以x+y+z=75.

【點睛】

本題考查系統(tǒng)抽樣，解題關鍵是掌握系統(tǒng)抽樣的性質：系統(tǒng)抽樣中樣本數據成等差數列.

17.已知高為8的圓柱內接于一個直徑為10的球內，則該圓柱的體積為?

12

【答案】72乃

【解析】

?.?圓柱的高為8,它的兩個底面的圓周在直徑為10的同一個球的球面上,

該圓柱底面圓周半徑廠反不=3，

2

，該圓柱的體積：V=S/7=KX3X8=72^.

18.若不等式駐2一面一1<0對一切實數X都成立，則實數%的取值范圍是.

【答案】-4〈限0

【解析】

【分析】

對不等式的最高次項的系數進行分類討論進行求解即可.

【詳解】

當左=0時，原不等式變?yōu)椤?<0,顯然對一切實數大都成立；

當左。0時，要想不等式上妙_._1<0對一切實數》都成立，則滿足：

k<0且A=(—Q2+4A<0,解得-4<攵<0,綜上所述：實數攵的取值范圍是-4〈左V0.

【點睛】

本題考查了已知不等式恒成立求參數問題.考查了分類討論思想.

19.設偶函數7"(%)對任意x6R,都有/(x+3)=-六，且當尤6[-3,-2]時，/-(X)=4%,則

/(2018)=.

【答案】-8

【解析】

由條件可得f(x+6)=/(x),函數的周期為6,f(2018)=/(6X336+2)=f(2)"(2)=f(-2)=

-8,故填：-8.

【點睛】本題考查了函數的性質，注意涉及周期性，屬于基礎題型，在函數中會有一些比較抽象的

式子，有關于周期的，對稱的，很多同學不太理解，重點說說這些抽象的式子，周期的有f(x+7)=

/(X),函數的周期為7,f(x—a)="x-b),周期為佃一句,或是有關半周期的式子7)=

—f(x)=六=—看，這些都說明半周期為7,或是已知/(乃=/(%+l)-/(x+2),我們可以再得到

/(x+1)=f(x4-2)-/(x+3),兩式相結合，也可以得到f(x)=-f(x+3),函數的半周期為3等式

子，學習時不要弄混.

三、解答題

20.如圖，學校規(guī)劃建一個面積為300m2的矩形場地，里面分成兩個部分，分別作為鉛球和實心球

的投擲區(qū)，并且在場地的左側，右側，中間和前側各設計一條寬2m的通道，問：這個場地的長，

寬各為多少時，投擲區(qū)面積最大，最大面積是多少？

鉛球實心球

【答案】長為3(加，寬為案加時,投擲區(qū)面積最大為192m2.

【解析】

【分析】

設場地的長為工,寬為V,投擲區(qū)域面積為S,則孫=300(x>0,y>0),S=(x-6)(y-2)展

開后利用基本不等式即可求最值.

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【詳解】

設場地的長為4,寬為y,投擲區(qū)域面積為s,

則移=300(x>0,y>0),

S=(x_6)(y_2)=盯+12_2(x+3y)=312-2(x+3y)

W312-2x2jx-3y=312-4j3x300=312-4x30=192,

xy=300x=30

當且僅當《

x=3y，即'S時等號成立,

7=10

所以這個場地的長為30利，寬為10帆時，投擲區(qū)面積最大，最大面積是192m2.

【點睛】

本題主要考查了基本不等式的應用，利用基本不等式求最值解決實際問題.

21.已知正三棱柱ABC-的邊長均為26，E,F分別是線段AC和的中點.

（1）求證：￡F//￥ffiABC；

（2）求三棱錐C-A3E的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【解析】

【分析】

（I）取AC的中點為G,證明EFBG為平行四邊形，得EF//GB,從而得證線面平行;

（2）由E為AG的中點，得E到底面ABC的距離是G到底面ABC的距離的一半，這樣換底計算

體積匕-AB￡=%.ABC即可得.

【詳解】

證明：（1）取AC的中點為G,連結GE,GB，

在△ACG中，EG為中位線，所以EG//CG，EG=gcj,

又因為CCJ/BA，CC,=BB,,F為8片的中點，

所以EG//BF,EG=BF,

所以及8G為平行四邊形，

所以EF//GB,又EF仁平面ABC，G5u平面ABC，

所以E尸〃平面ABC.

（2）因為VC-ABE=匕「A8C，因為E為A6的中點，

所以E到底面ABC的距離是G到底面A3C的距離的一半，

即三棱錐E—A5C的高/z=4