課時21864-7.4.2超幾何分布教學(xué)設(shè)計-7.4.2超幾何分布

7.4.2超幾何分布本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第七章《隨機變量及其分布列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)超幾何分布。超幾何分布是一類應(yīng)用廣泛的概率模型，常常與二項分布問題綜合運用，本節(jié)是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機事件、等可能事件概率、互斥事件概率、條件概率和相互獨立事件概率的求法、也學(xué)習(xí)了分布列的有關(guān)內(nèi)容。它是對前面所學(xué)知識的綜合應(yīng)用。節(jié)課是從實際出發(fā)，通過抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實際的過程。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解超幾何分布,能夠判定隨機變量是否服從超幾何分布;B.能夠利用隨機變量服從超幾何分布的知識解決實際問題,會求服從超幾何分布的隨機變量的均值.1.數(shù)學(xué)抽象：超幾何分布的概念2.邏輯推理：超幾何分布與二項分布的聯(lián)系與區(qū)別3.數(shù)學(xué)運算：超幾何分布的有關(guān)計算4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想重點：超幾何分布的概念及應(yīng)用難點：超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)探究新知問題1：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中采用有放回方式隨機抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.（1）：采用有放回抽樣，隨機變量X服從二項分布嗎？采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨立,此時X服從二項分布,即X～B(4，0.08).（2）：如果采用不放回抽樣，抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項分布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么？不服從，根據(jù)古典概型求X的分布列.解：從100件產(chǎn)品中任取4件有C1004種不同的取法，從100件產(chǎn)品中任取4件，次品數(shù)X可能取0,1,2,3,4.恰有k件次品的取法有由古典概型的知識，得隨機變量X的分布列為X01234P超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(M))Ceq\o\al(\s\up1(n－k),\s\do1(N－M)),Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(N)))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，則稱隨機變量X服從超幾何分布．1.公式中個字母的含義N—總體中的個體總數(shù)M—總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量k—樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))2.求分布列時可以直接利用組合數(shù)的意義列式計算,不必機械記憶這個概率分布列.3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式.4.各對應(yīng)的概率和必須為1.二、典例解析例1.一批零件共有30個，其中有3個不合格，隨機抽取10個零件進行檢測，求至少有1件不合格的概率.解:設(shè)X表示抽取的10個零件中不合格品數(shù),則X服從超幾何分布,且N=30，M=3,n=10.因此，分布列為另解，例2.PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物,根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095－2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護區(qū)2018年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值頻數(shù)如下表(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機抽出3天,求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù),記X表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù),求X的分布列．由條件知，X服從超幾何分布，隨機變量X可能取值為0，1，2，3（1）當(dāng)研究的事物涉及二維離散型隨機變量(如：次品、兩類顏色等問題）時的概率分布可視為一個超幾何分布；（2）在超幾何分布中，只要知道參數(shù)N，M，n就可以根據(jù)公式求出X取不同值時的概率．探究：服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么?設(shè)隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p=MN，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而XE(xn超幾何分布的均值設(shè)隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令p＝eq\f(M,N)，則E(X）＝__np_．例3.一袋中有100個大小相同的小球,其中有40個黃球，60個白球，從中隨機摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數(shù).(1).分別就有放回和不放回摸球，求X的分布列;(2).分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.解:(1)對于有放回摸球,由題意知??~??(20,0.4),??的分布列為對于不放回摸球,由題意知??服從超幾何分布，??的分布列為（2）樣本中黃球的比例是一個隨機變量有放回摸球：P(|f20不放回摸球：P(|f20因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計的結(jié)果更可靠些。0.050.0500.100.150.200.25兩種摸球方式下,隨機變量X服從二項分布和超幾何分布.這兩種分布的均值相等都等于8.但從兩種分布的概率分布圖看,超幾何分布更集中在均值附近.當(dāng)n遠遠小于N時，每次抽取一次,對N的影響很小.此時，超幾何分布可以用二項分布近似.二項分布與超幾何分布區(qū)別和聯(lián)系1.區(qū)別：一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項分布的模型是“獨立重復(fù)試驗”對于抽樣,則是有放回抽樣.2.聯(lián)系：當(dāng)次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時,即便是不放回抽樣,也可視其為二項分布.通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入超幾何分布的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過問題分析，讓學(xué)生掌握超幾何分布的概念及其特點。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。通過典例解析，在具體的問題情境中，深化對超幾何分布的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。二、達標(biāo)檢測練習(xí)1：學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會，已知有4名候選人來自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機會被選到，求甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率.練習(xí)2：50張彩票中只有2張中獎票，今從中任取n張，為了使這n張彩票里至少有一張中獎的概率大于0.5，n至少為多少？練習(xí)3：在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品;其余6張沒有獎品.(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，①求顧客乙中獎的概率；②設(shè)顧客乙獲得的獎品總價值Y元，求Y的分布列．練習(xí)4：袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球．采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個球，記X為摸出的兩球中白球的個數(shù)，求X的分布列，并求至少有一個白球的概率．練習(xí)5：一袋中有7個大小相同的小球，其中有2個紅球,3個黃球，2個藍球，從中任取3