2022-2023學(xué)年安徽省蚌埠市高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省蚌埠市高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．=A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：．【解析】全誘導(dǎo)公式的應(yīng)用及特殊角的三角函數(shù)值．2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡即可得對應(yīng)的點(diǎn).【詳解】，故對應(yīng)的點(diǎn)為，故選：B3．利用斜二測畫法作邊長為2的正方形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測畫法的原則得到直觀圖的對應(yīng)邊長關(guān)系，即可求出相應(yīng)的面積．【詳解】根據(jù)斜二測畫法的原則可知，，對應(yīng)直觀圖的面積為，故選：C．

4．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)條件思考題中平面和直線所可能的各種情況，運(yùn)用有關(guān)的定理逐項(xiàng)分析.【詳解】當(dāng)，時(shí)，可能有，但也有可能或，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，可能有，但也有可能或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在如圖所示的正方體中，取為，為，為平面，為平面，這時(shí)滿足，，，但不成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)，，時(shí)，必有，從而，故選項(xiàng)D正確；故選：D.5．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出向量的坐標(biāo)，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，則，因?yàn)?，則，解得．故選：B.6．要得到函數(shù)的圖象，需（

）A．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）B．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）C．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位．D．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移的規(guī)律可得答案.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，故A錯(cuò)誤；將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到的圖象，故B錯(cuò)誤；將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位得到圖象，故C錯(cuò)誤；D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位得到的圖象，故D正確.故選：D.7．已知正方體的棱長為1，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，若平面BEF截該正方體所得的截面為四邊形，則線段CF的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用面面平行的性質(zhì)結(jié)合平面的基本事實(shí)，探討截面形狀確定F點(diǎn)的位置，推理計(jì)算作答.【詳解】在正方體中，平面平面，而平面，平面，平面平面，則平面與平面的交線過點(diǎn)B，且與直線EF平行，與直線相交，令交點(diǎn)為G，如圖，而平面，平面，即分別為與平面所成的角，而，則，且有，當(dāng)F與C重合時(shí)，平面BEF截該正方體所得的截面為四邊形，，即G為棱中點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)F由點(diǎn)C向點(diǎn)D移動過程中，逐漸增大，點(diǎn)G由M向點(diǎn)方向移動，當(dāng)點(diǎn)G為線段上任意一點(diǎn)時(shí)，平面只與該正方體的4個(gè)表面正方形有交線，即可圍成四邊形，當(dāng)點(diǎn)G在線段延長線上時(shí)，直線必與棱交于除點(diǎn)外的點(diǎn)，而點(diǎn)F與D不重合，此時(shí)，平面與該正方體的5個(gè)表面正方形有交線，截面為五邊形，如圖，因此，F(xiàn)為棱CD上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，截面為四邊形，點(diǎn)G只能在線段（除點(diǎn)M外）上，即,顯然，，則，所以線段的CF的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：作過正方體三條中點(diǎn)的截面，找到過三點(diǎn)的平面與正方體表面的交線是解決問題的關(guān)鍵.8．如圖，扇形中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且.若，則的最大值為（

）

A． B． C． D．1【答案】A【分析】由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合兩角和的正弦公式，求三角函數(shù)的最值即可．【詳解】由題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)扇形半徑為，由，可得，，設(shè)，，由，可得，，，所以，整理得：，則，其中，所以當(dāng)時(shí)，有最大值．故選：A．

二、多選題9．若定義在上的函數(shù)分別滿足下列條件，其中可以得出的周期為2的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)周期性的定義即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對于A，可知的周期為2，故A正確，對于B，由得，故的周期為4，故B錯(cuò)誤，對于C，由得關(guān)于對稱，故C錯(cuò)誤，對于D，，的周期為2，故D正確，故選：AD10．已知，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的運(yùn)算求解，逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：設(shè)，則，所以，，則，故A錯(cuò)誤；，，所以，故B正確；因?yàn)椋?，故C正確；因?yàn)椋?，而，所以，故D正確故選：BCD11．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列各組條件中使得有兩個(gè)解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】AB【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理的知識確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，，，所以有兩個(gè)解，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，為銳角，，，，所以有兩個(gè)解，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由余弦定理得，所以有唯一解.D選項(xiàng)，，，所以有唯一解.故選：AB12．勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的四面體，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動，勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分?如圖所示，若勒洛四面體內(nèi)的正四面體ABCD的棱長為a，則（

）

A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．過三點(diǎn)的截面面積為D．勒洛四面體的體積滿足【答案】ACD【分析】對于A，根據(jù)勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離小于等于，進(jìn)行判斷；對于B，求出，，相減即為能夠容納的最大球的半徑；對于C，找到最大截面，求出截面面積；對于D，勒洛四面體的體積介于正四楊體的體積和正四面體的外接球體積之間，求出正四面體的體積和正四面體的外接球的體積，從而求出答案．【詳解】由題意知：勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值，故A正確；勒洛四面體能容納的最大球，與勒洛四面體的弧面相切，如圖，

其中點(diǎn)為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，為該球的球心，由題意得該球的球心為正四面體的中心，半徑為，連接，易知，，三點(diǎn)共線，設(shè)正四面體的外接球半徑為，由題意得：，解得，，，由題意得，故B錯(cuò)誤；勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體表面的截面，如圖，

則勒洛四面體截面面積最大值為三個(gè)半徑為，圓心角為的扇形的面積減去兩個(gè)邊長為的正三角形的面積，即，故C正確；對于D，勒洛四面體的體積介于正四面體的體積和正四面體的外接球的體積之間，

正四面體底面面積為，底面所在圓的半徑為，正四面體的高為，正四面體的體積，設(shè)正四面體的外接球半徑為，則由題意得：，解得，正四面體的外接球的體積為，勒洛四面體的體積滿足，故D正確．故選：ACD．三、填空題13．已知向量，則向量在方向上的投影數(shù)量為.【答案】/【分析】根據(jù)向量，的坐標(biāo)及向量投影的計(jì)算公式，即可求出在方向上的投影數(shù)量的值.【詳解】∵，，∴向量在方向上的投影數(shù)量為：.故答案為：.14．計(jì)算：.【答案】【分析】先利用誘導(dǎo)公式，再利用二倍角的正弦公式和降冪公式求解.【詳解】由題得.故答案為：15．“一部劇帶火一座城”，五一期間，我市的地標(biāo)建筑——中國南北分界線雕塑成為了網(wǎng)紅打卡地，某校數(shù)學(xué)課外興趣小組，擬借助所學(xué)知識測量該建筑的高度.記該雕塑的最高點(diǎn)為點(diǎn)A，其在地面的投影點(diǎn)為點(diǎn)H，在點(diǎn)H南偏西60°方向的點(diǎn)B處測得點(diǎn)A的仰角為60°，在點(diǎn)H正東方向的點(diǎn)C處測得點(diǎn)A的仰角為45°，點(diǎn)B，C相距米，則該雕塑的高度為米.

【答案】40【分析】設(shè)，則，在中，可求，在中，由余弦定理解得的值，即可求解該雕塑的高度．【詳解】由題意可得，，，米，設(shè)，則，在中，由于，可得，所以，在中，由余弦定理，可得，解得，即該雕塑的高度的值為40米．故答案為：40．

16．已知三棱錐中，棱，，的中點(diǎn)分別是M，N，O，，，都是正三角形，則異面直線與所成角的余弦值為.【答案】【分析】根據(jù)異面直線的定義可知，（或其補(bǔ)角）是異面直線MN與AD所成的角，進(jìn)而求出的長度，用余弦定理求得答案.【詳解】如圖，根據(jù)題意可知，因?yàn)槎际钦切?，所以，，連接，設(shè)AC=2，則.易知，在中，由余弦定理：，在中，由余弦定理：，于是.易知，在中，由余弦定理：，在中，由余弦定理：，于是.連接ON，則，于是（或其補(bǔ)角）是異面直線MN與AD所成的角，連接MO，易得MO=NO=1，在中，由余弦定理可得.故答案為：.四、解答題17．已知是虛數(shù)單位，.(1)求；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解，（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件即可求解.【詳解】（1）（2）由條件得，則，化簡得，所以解得18．已知．(1)求；(2)若，且，求．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)已知條件求出tanα，將要求的式子構(gòu)造成關(guān)于正余弦的齊次式，將弦化為切即可求值；(2)根據(jù)角的范圍和的正負(fù)確定的范圍，求出sin()，根據(jù)即可求解.【詳解】（1），；（2），，，又，.19．設(shè)與是兩個(gè)單位向量，其夾角為，且.(1)求；(2)求與的夾角.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)題意，得到，即可求解；（2）根據(jù)題意，分別求得和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）解：由與是兩個(gè)單位向量，其夾角為，可得，因?yàn)榭傻?（2）解：由，，設(shè)與的夾角為，其中，則，所以與的夾角為.20．已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，由周期公式和函數(shù)的單調(diào)性可得答案；（2）利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，原不等式即可得到證明.【詳解】（1），故的最小正周期，令，，解得，.則的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：令，因?yàn)?，所?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.因?yàn)榕c中等號成立的條件不同，所以.21．如圖，已知三棱錐中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且為正三角形.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）若，，求三棱錐的體積.【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）.【分析】(1)先證，可證平面.(2)先證，得，結(jié)合可證得平面.(3)等積轉(zhuǎn)換，由，可求得體積.【詳解】(1)證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以是的中位線，.又，，所以.(2)證明：因?yàn)闉檎切?，為的中點(diǎn)，所以.又，所以.又因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，所?(3)因?yàn)?，，所以，即是三棱錐的高.因?yàn)?，為的中點(diǎn)，為正三角形，所以.由，可得，在直角三角形中，由，可得.于是.所以.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面平行與垂直的證明，體積的計(jì)算.空間中的平行與垂直的證明過程就是利用相關(guān)定義、判定定理和性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)的轉(zhuǎn)換.求三棱錐的體積常采用等積轉(zhuǎn)換的方法，選擇易求的底面積和高來求體積.22．如圖，在中，，．點(diǎn)D在邊BC上，且．