8.6.2+直線與平面垂直第2課時(shí)課件-2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步8.6.2直線與平面垂直教學(xué)目標(biāo)

了解直線與平面垂直的定義（重點(diǎn)）01

理解直線與平面垂直的判定定理，并會(huì)用其判斷直線與平面垂直（難點(diǎn)）02能

理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡(jiǎn)單的線面角問題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）03

能利用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明（重點(diǎn)）04學(xué)科素養(yǎng)

直線與平面垂直的定義，直線與平面垂直的判定定理數(shù)學(xué)抽象

直線與平面垂直的定義，直線與平面垂直的判定定理直觀想象

用判定定理判斷直線與平面垂直邏輯推理

直線與平面所成角的概念，并能解決簡(jiǎn)單的線面角問題數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)建模01知識(shí)回顧RetrospectiveKnowledge直線與平面垂直的相關(guān)定義：

一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α．直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．

注：畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖8.6-9所示.垂足垂面垂線點(diǎn)到平面的距離：

過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．

如圖，PP′⊥平面α，P′為垂足，線段PP′的長(zhǎng)度即為點(diǎn)P到平面α的距離.直線與平面垂直的判定定理：

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．符號(hào)語言：五個(gè)條件缺一不可圖形語言：lmαnP

定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”的互相轉(zhuǎn)化.02知識(shí)精講

ExquisiteKnowledge

如圖8.6-14，一條直線l與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足．

過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．平面的斜線斜足斜線在平面上的射影斜線與平面所成的角

如果AB是平面α內(nèi)的任意一條不與直線AO重合的直線，那么直線PA與直線AB所成的角和直線PA與這個(gè)平面所成的角的大小關(guān)系是什么？

平面的斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中，斜線與平面所成的角最?。?/p>

PA與直線AB所成的角大于直線PA與這個(gè)平面所成的角．直線與平面所成的角的取值范圍

：

一條平面的斜線與所成的角θ的取值范圍是0°<θ<90°；

一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；

一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°．綜上，直線與平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°．【例4】在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求直線A'B和平面A'DCB'的所成的角．

求斜線和平面所成的角的一般步驟：1．作：在斜線上選擇恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)點(diǎn)，作平面的垂線，確定垂足，連接斜足

和垂足，得到斜線在平面內(nèi)的射影，斜線和其射影所成的角，即為

斜線和平面所成的角；2．證：證明(1)中所作出的角就是所求直線與平面所成的角；

（注：關(guān)鍵證明線面垂直，即證得斜線在面內(nèi)的射影）3．求：通過解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小．【練習(xí)】過△ABC所在平面α外一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．線段PA，PB，PC，PO中，線段PO最短；B．若PA=PB=PC，則OA=OB=OC；C．若OA=OB=OC，則PA=PB=PC；D．若PA=PB=PC，則PA，PB，PC和平面α所成的角相等．【性質(zhì)】過平面外一點(diǎn)，作平面的垂線段和斜線段

（1）垂線段和斜線段中，垂線段最短；

（2）若斜線段長(zhǎng)相等，則斜線在面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等；

（3）若斜線在面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線段長(zhǎng)相等．ABCD【練習(xí)】過△ABC所在平面α外一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，1．若PA=PB=PC，則點(diǎn)O為△ABC的

心；2．若PA=PB=PC，∠C=90°，則點(diǎn)O是AB邊的

點(diǎn)；3．若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O為△ABC的

心．【練習(xí)】正四面體的側(cè)棱與底面所成的角的正弦值為：

.下面我們研究直線與平面垂直的性質(zhì)，即探究在直線a與平面α垂直的條件下能推出哪些結(jié)論．根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，我們可以探究直線a與平面α內(nèi)的直線的關(guān)系．但由定義，a與α內(nèi)的所有直線都垂直．所以可以探究a，α與其他直線或平面的關(guān)系．我們知道，在平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，在空間中是否有類似的性質(zhì)呢?

（1）如圖8.6-16，在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系?

（2）如圖8.6-17，已知直線a，b和平面α．如果a⊥α，b⊥α，那么直線a，b一定平行嗎?圖8.6-16bαa圖8.6-17垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．互相平行平行證明：假設(shè)a與b不平行，記b∩α＝O．

過O作直線b′∥a，則b與b′是交于點(diǎn)O的兩條不同的直線．

記b與b′確定的平面為β．

設(shè)α∩β＝c，則有a⊥c，b⊥c．

∵b′∥a，∴b′⊥c．

這與“平面β內(nèi)，過一點(diǎn)O有且僅有一條直線與c垂直”相矛盾．

β直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．【練習(xí)】判斷下列結(jié)論()()()()()√√√√√【例5】如圖，直線

l//α．求證：直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等．證明：過直線l上任意兩點(diǎn)A，B，分別作平面α的垂線AA1，BB1，由直線和平面垂直的性質(zhì)定理可知AA1∥BB1．設(shè)AA1和BB1確定的平面為β，易知α∩β＝A1B1．∵l∥α，

∴l(xiāng)∥A1B1．∴四邊形AA1B1B為矩形．∴AA1＝BB1．垂足分別為A1，B1．因?yàn)橹本€A，B為直線l任意的兩點(diǎn)，所以直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等．【練習(xí)】在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A'B'C'D'中，求點(diǎn)B到平面ACD'的距離．03拓展提升ExpansionAndPromotion已知：平面α的一條斜線l在平面α上的射影為l′，a?α求證：（1）若a⊥l′，則a⊥l；

（2）若a⊥l，則a⊥l′．04歸納總結(jié)SumUp

如圖8.6-14，一條直線l與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足．

過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．平面的斜線垂足斜線在平面上的射影斜線與平面所成的角

求斜線和平面所成的角的一般步驟：1．作：在斜線上選擇恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)點(diǎn)，作平面的垂線，確定垂足，連接斜足

和垂足，得到斜線在平面內(nèi)的射影，斜線和其射影所成的角，即為

斜線和平面所成的角；2．證：證明(1)中所作出的角就是所求直線與平面所成的角；

（注：關(guān)鍵證明線面垂足，即證得斜線在面內(nèi)的射影）3．求：通過解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大?。揪毩?xí)】過△ABC所在平面α外一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．線段PA，PB，PC，PO中，線段PO最短；B．若PA=PB=PC，則OA=OB=OC；C．若OA=OB=OC，則PA=PB=PC；D．若PA=PB=PC，則PA，PB，PC和平面α所成的角相等．【性質(zhì)】過平面外一點(diǎn)，作平面的垂線段和斜線段

（1）垂線段和斜線段中，垂線段最短；

（2）若斜線段長(zhǎng)相等，則斜線在面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等；