2021年遼寧省錦州市中考數(shù)學試卷（解析版）

2021年遼寧省錦州市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共8道小題，每小題2分，共16分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.（2分）（2021?錦州）—2的相反數(shù)是（）

A.--B.-C.-2D.2

22

2.（2分）（2021?錦州）據(jù)相關研究，經過40加加完全黑暗后，人眼對光的敏感性達到最高

點，比黑暗前增加25000倍，將數(shù)據(jù)2500（）用科學記數(shù)法表示為（）

A.25x10?B.2.5xlO4C.0.25x10sD.0.25xlO6

3.（2分）（2021?錦州）如圖所示的幾何體是由5個完全相同的小正方體搭成的，它的左視

圖是（）

A.18,B.18,C.7,8D.7,

5.（2分）（2021?錦州）如圖，AMHBN,ZACB=90°,ZMAC=35°,則NCBN的度數(shù)

是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

6.（2分）（2021?錦州）二元一次方程組「'，''印。的解是（）

（x=2y

[x=2[x=1fx=4（x=2

A?《B.<C.<D.I

[y=l[y=2[y=21y=4

7.（2分）（2021?錦州）如圖，AA8C內接于OO,A8為OO的直徑，。為。。上一點（位

于他下方），CD交他于點E,若N8Z）C=45。，BC=60,CE=2DE,則CE的長為（

）

A.2>/6B.4及C.3亞D.4>/3

8.（2分）（2021?錦州）如圖，在四邊形ZZEFG中，ZE=ZF=9O。，NDGF=45。,DE=\,

FG=3,RlAABC的直角頂點C與點G重合，另一個頂點3（在點C左側）在射線FG上,

且8C=1,AC=2.將AA8C沿G尸方向平移，點C與點尸重合時停止.設CG的長為x,

A4BC在平移過程中與四邊形QEFG重疊部分的面積為y,則下列圖象能正確反映y與x函

數(shù)關系的是（）

y八

C.01123xD.0123x

二、填空題（本大題共8道小題，每小題3分，共24分）

9.（3分）（2021?錦州）若二次根式07為有意義，則x的取值范圍是—.

10.（3分）（2021?錦州）甲、乙兩名射擊運動員參加預選賽，他們每人10次射擊成績的平

均數(shù)都是9環(huán)，方差分別是52一甲，s?一乙.如果從這兩名運動員中選取成績穩(wěn)定的一人參

賽，那么應選（填“甲”或“乙”）.

11.（3分）（2021?錦州）一個口袋中有紅球、白球共20個，這些球除顏色外都相同，將口

袋中的球攪勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程,

共摸了300次球，發(fā)現(xiàn)有120次摸到紅球，則這個口袋中紅球的個數(shù)約為一.

12.（3分）（2021?錦州）關于x的一元二次方程d+2x-4=0有兩個實數(shù)根，則人的取值

范圍是—.

13.（3分）（2021?錦州）如圖，在AABC中，AC=4,NA=60。，ZB=45°,BC邊的垂

直平分線DE交A8于點￡）,連接C。，則AB的長為.

14.（3分）（2021?錦州）如圖，在矩形中，AB=6,BC=10,以點3為圓心、BC

的長為半徑畫弧交4）于點E,再分別以點C,E為圓心、大于的長為半徑畫弧，兩

2

弧交于點F,作射線BF交CD于點G,則CG的長為.

15.（3分）（2021?錦州）如圖，在平面直角坐標系中，口。43c的頂點A,8在第一象限內，

頂點C在y軸上，經過點A的反比例函數(shù)y=V（x>0）的圖象交3c于點。.若CD=2BD,

X

□Q48c的面積為15,則上的值為

16.（3分）（2021?錦州）如圖，NMOW=30。，點4在射線OM上，過點A作AA-LOM交

射線QV于點用，將△A081沿4四折疊得到AAa用，點4落在射線上；過點&作

人為~LOM交射線ON于點與，將△A。鳥沿&打折疊得到△&A3A，點&落在射線OM

上；…按此作法進行下去，在NA7QN內部作射線O”，分別與46，&旦，人員，…，A“B”

父于點P],6，…,又分別與A,B|,，4員，...,4+i紇，父于點Q],Q?）

。3,…，Q?.若點6為線段A片的中點，04=6,則四邊形A￡Q,,A川的面積為（用

三、解答題（本大題共2道題，第17題6分，第18題8分，共14分）

17.（6分）（2021?錦州）先化簡，再求值：（x-1一一二）+22，其中犬=石-2.

X+lX~+X

18.（8分）（2021?錦州）教育部下發(fā)的《關于進一步加強中小學生睡眠管理工作的通知》

要求，初中生每天睡眠時間應達到9〃.某初中為了解學生每天的睡眠時間，隨機調查了部

分學生，將學生睡眠時間分為A,B,C,力四組（每名學生必須選擇且只能選擇一種情

況）：

A組：睡眠時間＜8/?

3組：84，睡眠時間＜9〃

C組：9人，睡眠時間＜10〃

。組:睡眠時間..10/2

如圖1和圖2是根據(jù)調查結果繪制的不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問

題：

（1）被調查的學生有—人；

（2）通過計算補全條形統(tǒng)計圖；

（3）請估計全校1200名學生中睡眠時間不足9/7的人數(shù).

四、解答題（本大題共2道題，每題8分，共16分）

19.（8分）（2021?錦州）為慶祝建黨100周年,某校開展“唱愛國歌曲，揚紅船精神”大

合唱活動.規(guī)律是：將編號為A,B,C的3張卡片（如圖所示，卡片除編號和內容外，

其他完全相同）背面朝上洗勻后放在桌面上，參加活動的班級從中隨機抽取I張，按照卡片

上的曲目演唱.

（1）七年一班從3張卡片中隨機抽取1張，抽到C卡片的概率為；

（2）七年一班從3張卡片中隨機抽取1張，記下曲目后放回洗勻，七年二班再從中隨機抽

取1張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩個班級恰好抽到同一首歌曲的概率.

20.（8分）（2021?錦州）小江與小杰兩名同學為學校圖書館清點一批圖書，小江清點完600

本圖書比小杰清點完540本圖書少用了5,戒〃.已知小江平均每分鐘清點圖書的數(shù)量是小杰

的倍，求兩名同學平均每分鐘清點圖書各多少本.

五、解答題（本大題共2道題，每題8分，共16分）

21.（8分）（2021?錦州）如圖，山坡上有一棵豎直的樹他，坡面上點0處放置高度為1.6皿

的測傾器CD,測傾器的頂部C與樹底部5恰好在同一水平線上（即此時測得

樹頂部4的仰角為50。.已知山坡的坡度i=l:3（即坡面上點3處的鉛直高度助V與水平寬

度的比），求樹43的高度（結果精確到0.1加.參考數(shù)據(jù)：sin50°?0.77,cos500?0.64,

tan50°?1.19）

22.（8分）（2021?錦州）如圖，四邊形ABCD內接于OO,他為的直徑，過點。作

?！辏?，/1￡）交4）的延長線于點￡；,延長EC,AB交于點F,NECD=NBCF.

（1）求證：CE為0。的切線；

（2）若DE=1,8=3,求OO的半徑.

六、解答題（本題共10分）

23.（10分）（2021?錦州）某公司計劃購進一批原料加工銷售，已知該原料的進價為萬元〃，

加工過程中原料的質量有20%的損耗，加工費機（萬元）與原料的質量x（f）之間的關系為

%=50+0.2x,銷售價y（萬元〃）與原料的質量xQ）之間的關系如圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；

（2）設銷售收入為產（萬元），求產與x之間的函數(shù)關系式：

（3）原料的質量x為多少噸時，所獲銷售利潤最大，最大銷售利潤是多少萬元？（銷售利

潤=銷售收入-總支出）.

七、解答題（本大題共2道題，每題12分，共24分）

24.（12分）（2021?錦州）在AABC中，AC=AB,ABAC=a,。為線段至上的動點，

連接E>C,將DC繞點。順時針旋轉*得到。E,連接CE,BE.

（1）如圖1,當a=60。時，求證：ACAD=ACBE；

（2）如圖2,當tana=±時，

4

①探究4D和3E之間的數(shù)量關系，并說明理由；

②若AC=5,H是BC上一點,在點。移動過程中，CE+四是否存在最小值？若存在，

請直接寫出CE+EW的最小值；若不存在，請說明理由.

25.（12分）（2021?錦州）如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=±x+l分別與x軸、y軸

1R

交于點A,C,經過點C的拋物線），=Lx2+bx+c與直線y=±x+l的另一個交點為點o,

44

點。的橫坐標為6.

（1）求拋物線的表達式.

（2）M為拋物線上的動點.

①N為x軸上一點，當四邊形為平行四邊形時，求點〃的坐標；

②如圖2,點M在直線CD下方，直線/CD的情況除外）交直線8于點3,作

直線即關于直線對稱的直線引7,當直線”與坐標軸平行時，直接寫出點M的橫

坐標.

2021年遼寧省錦州市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8道小題，每小題2分，共16分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.（2分）（2022錦州）-2的相反數(shù)是（）

A.--B.-C.-2D.2

22

【解答】解：-2的相反數(shù)是2.

故選：D.

2.（2分）（2021?錦州）據(jù)相關研究，經過40加〃完全黑暗后，人眼對光的敏感性達到最高

點，比黑暗前增加25000倍，將數(shù)據(jù)25000用科學記數(shù)法表示為（）

A.25xl03B.2.5xlO4C.0.25xlO5D.0.25xlO6

【解答】解：將數(shù)據(jù)25000用科學記數(shù)法表示為2.5x104,

故選：B.

3.（2分）（2021?錦州）如圖所示的幾何體是由5個完全相同的小正方體搭成的，它的左視

圖是（）

【解答】解：從左邊看，底層是兩個小正方形，上層的左邊是一個小正方形,

故選：A.

4.（2分）（2022錦州）某班50名學生一周閱讀課外書籍時間如下表所示：

時間,6789

人數(shù)7181510

那么該班50名學生一周閱讀課外書籍時間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.18,B.18,C.7,8D.1,

【解答】解：由統(tǒng)計表給出的數(shù)據(jù)可知閱讀課外書籍的時間為7小時的有18人，出現(xiàn)的次

數(shù)最多，所以眾數(shù)是7,

因為有50個學生，所以第25、26個數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)，又因為25、26個數(shù)分別是7,8,

所以中位數(shù)是.

故選：D.

5.（2分）（2021?錦州）如圖，AM//BN,NACB=90。，ZMAC=35°,則NCBN的度數(shù)

是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【解答】解：過C點作CF//A”,

:.AM//CF//BN,

ZMAC=ZACF,ZCBN=ZFCB,

?.,ZACB=9O°,ZM4C=35。，

NCBN=NFCB=ZACB-ZACF=ZACB-AMAC=90°-35°=55°,

故選：C.

6.（2分）（2021?錦州）二元一次方程組=的解是（）

[x=2y

x=2x=lx=4x=2

A.B.c.D.

y=iy=2y=2y=4

【解答】解：『二囁。①，

[x=2y②

把②代入①得：4y+y=10,

解得：y=2,

把y=2代入②得：x=4,

則方程組的解集為

[y=2

故選：C.

7.（2分）（2021?錦州）如圖，AA8C內接于OO,A3為。O的直徑，。為OO上一點（位

于AB下方），8交AB于點若N8DC=45。，BC=6叵,CE=2DE,則C￡的長為（

）

A.2y[6B.4&C.3百D.

【解答】解：連接8,過點。作于點G,連接4）,

???NBDC=45°,

ZCAO=ZCDB=45°,

??,AB為。。的直徑，

ZACB=ZADB=90°9

.\ZCAB=ZCBA=45°，

???BC=6y/2,

/.AB=6BC=V2,

?；OA=OB,

.\CO±AB,

:.ZCOA=ZDGE=90°f

???NDEG=/CEO,

:.\DGE^\COE,

.DEGE\DG

^CE~~OE~'^"~cd'

???CE=2DE,

設G￡=x,則QE=2x,DG=3,

AG=6—3x,BG=6+3x,

vZz4￡>B=ZAGB=90°,

ZDAG=ZBAD,

../SAGD^MDB,

DG2=AGBG,

9=（6-3x）（6+3%）,

,.?x>0，

x=\/3,

:.OE=2g,

在RtAOCE中，由勾股定理得：

CE=ylOE2+OC2=J12+36=，

故選：D.

8.（2分）（2021?錦州）如圖，在四邊形￡>EFG中，ZE=ZF=90°,NDGF=45。,DE=1,

FG=3,RtAABC的直角頂點C與點G重合，另一個頂點8（在點C左側）在射線FG上，

且8C=1,AC=2.將AABC沿GF方向平移，點C與點F重合時停止.設CG的長為x,

AA8c在平移過程中與四邊形小尸G重疊部分的面積為y,則下列圖象能正確反映y與x函

數(shù)關系的是（）

y八

1,??""

05\\

A.01123x

C.ol123x

【解答】解：過點。作，歸，￡尸，

-,■ZDGF=45°,DE=l,FG=3,

:.EH=2,DH=EF=2,

當0<x<l時，重疊部分為等腰直角三角形，且直角邊長為x,

.??該部分圖象開口向上，

當1cx<2時，如圖，

設A夕與0G交與點N,A'C'與DG交與點、M,

則戛疊=S^GMC'-S^GNB'，

設B'K=a,^\NK=2a,

.GC'=x,B'C=1,

:.GB'=x-\,

?.?△GKV是等腰直角三角形，

:.GK=NK,

：.x—\+a=2a,

:.a=x-\?

:.NK=2x-2,

SAGNH=Q(X-D(2X-2)=f—2x+1,

/.S重用=—x2—（x"—2x+1）=——%2+2x—1,

—<0，

2

.?.該部分圖象開口向下，

當2vxv3時，重疊部分的面積為S。％，是固定值，

，該部分圖象是平行x軸的線段，

故選：B.

二、填空題（本大題共8道小題，每小題3分，共24分）

9.（3分）（2021?錦州）若二次根式3有意義,則x的取值范圍是x...-

一2

【解答】解：根據(jù)題意得，2X-3..0,

解得x...

2

故答案為：X..-.

2

10.（3分）（2021?錦州）甲、乙兩名射擊運動員參加預選賽，他們每人10次射擊成績的平

均數(shù)都是9環(huán)，方差分別是$2一甲，$2一乙.如果從這兩名運動員中選取成績穩(wěn)定的一人參

賽，那么應選甲（填“甲”或“乙”）.

【解答】解：???$2一甲,乙，

/.S?_甲，

則甲的成績比較穩(wěn)定，

故答案為：甲.

11.（3分）（2021?錦州）一個口袋中有紅球、白球共20個，這些球除顏色外都相同，將口

袋中的球攪勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程,

共摸了300次球，發(fā)現(xiàn)有120次摸到紅球，則這個口袋中紅球的個數(shù)約為8.

【解答】解：因為共摸了300次球，發(fā)現(xiàn)有120次摸到紅球，

所以估計摸到紅球的概率為，

所以估計這個口袋中紅球的數(shù)量為20x0.4=8（個）.

故答案為8.

12.（3分）（2021?錦州）關于x的一元二次方程1+2萬-4=0有兩個實數(shù)根，則k的取值

范圍是_k...-\_.

【解答】解：根據(jù)題意得△=22-4X（-D.O,

解得

故答案為人…-1.

13.（3分）（2021?錦州）如圖，在A4BC中，AC=4,ZA=6O°,ZB=45°,邊的垂

直平分線DE交A8于點。，連接8,貝ijA3的長為_2+26_.

【解答】解：是BC的垂直平分線，

/.DB=DC,

NDCB=NB=45。,

ZADC=ZDCB+ZB=90°,

?/ZA=60°,

/.ZACD=30°,

AD=-AC=2,

2

由勾股定理得：DC=y/AC2-AD2=742-22=273,

:.DB=DC=26,

AB=AD+DB=2+2上,

故答案為：2+2后.

14.（3分）（2021?錦州）如圖，在矩形ABCZ）中，AB=6,BC=iO,以點8為圓心、BC

的長為半徑畫弧交4）于點E,再分別以點C,E為圓心、大于‘CE的長為半徑畫弧，兩

2

弧交于點尸，作射線戰(zhàn)交CD于點G,則CG的長為—.

-3-

【解答】解：如圖，連接召G,

根據(jù)作圖過程可知：3廠是NEBC的平分線，

,-.ZEBG=ZCBG,

在AEBG和ACBG中，

EB=CB

<ZEBG=NCBG,

BG=BG

:.\EBG=\CBG{SAS）,

GE=GC，

在RtAABE中，AB=6,BE=BC=1O,

AE=^BE--AB'=8,

.-.DE=AD-AE=\0-8=2,

在RtADGE中，DE=2,DG=DC-CG=6-CG,EG=CG,

.-.CG2-22=（6-CG）2,

解得CG=3.

3

故答案為：

3

15.（3分）（2021?錦州）如圖，在平面直角坐標系中，nOABC的頂點4,8在第一象限內，

頂點C在y軸上，經過點A的反比例函數(shù)y=K（x>0）的圖象交BC于點O.若CD=2BD,

X

□awe的面積為15,則2的值為18.

【解答】解：過點。作ONLy軸于N,過點B作軸于M,

設OC=a,CN=2b,MN=b,

?.七au?c的面積為15,

a

:.ND=-BM=—,

3a

:.A,力點坐標分別為("，3b),(―,a+2b),

aa

1510?、

..—,3b——z(a+2b),

aa

,2

:.b=—a,

5

,15?15c2

/.k,=—,3b=—?3x—。=18,

aa5

故答案為：18.

16.（3分）（2021?錦州）如圖，N/WQV=30。，點4在射線OM上，過點從作交

射線ON于點餐，將沿A4折疊得到△A44，點4落在射線。0上；過點兒作

右修_1。用交射線ON于點名，將AAz。生沿折疊得到△446，點A?落在射線OM

上；…按此作法進行下去，在NMON內部作射線O”，分別與4聲，4生，…，AnB?

交于點［,P［，Pj<…勺，又分力ll與，...>A,+iB”,交于點。1,Q2，

。3，…，Q?.若點6為線段AA的中點,OA=&，則四邊形AZ24」的面積為

5x/3-4"-2

用含有〃的式子表

3

【解答】解：由折疊可知，（M=A4=6,

又49//A屈,

:./^OA]PI^/\OA2P2,叢OP\B\S40P[B],

.=OA=oq=勺4=1

"A,P2O&OP?P,B22'

又點《為線段A5的中點，

「.Al=44，

??.\p2=P2B2,

則點鳥為線段4修的中點，

同理可證，[、巴,.月依次為線段4層、々乩、…4紇的中點.

?:\BX//A2B2,

.A）=i

"P2A22'

則△片42的eq上的高與△￡44的42上的高之比為1:2,

◎的[用上的高為，

同理可得△g&Q2的鳥鳥上的高為g&A…，

由折疊可知A2A3=2G,43At=t

?.?ZMON=30。，

A8]=tan30°xO\=1,

/.A,=2,人紜=4,???

=-xV3xl——x—x—^3，

2223

同理，S四邊形=Sj必小-SA鼻

=-x2V3x2——xlx—x2\/3，

223

⑷々

3--

故答案為：S,，，。.

3

三、解答題（本大題共2道題，第17題6分，第18題8分，共14分）

17.（6分）（2021?錦州）先化簡，再求值：（x-1一一L）+與2,其中》=百一2.

X+lX~+X

【解答】解：原式=1T-3x巫W

x+1x-2

=x（x+2）.

把x=6-2代入，原式=（6一2）（6-2+2）=3—26.

18.（8分）（2021?錦州）教育部下發(fā)的《關于進一步加強中小學生睡眠管理工作的通知》

要求，初中生每天睡眠時間應達到9〃.某初中為了解學生每天的睡眠時間，隨機調查了部

分學生，將學生睡眠時間分為A,B,C,。四組（每名學生必須選擇且只能選擇一種情

況）：

A組：睡眠時間＜8〃

3組：8%,睡眠時間＜97?

C組：9/2,,睡眠時間＜10〃

。組：睡眠時間.』（）/?

如圖1和圖2是根據(jù)調查結果繪制的不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問

題：

（1）被調查的學生有200人;

（2）通過計算補全條形統(tǒng)計圖；

（3）請估計全校1200名學生中睡眠時間不足9〃的人數(shù).

【解答】解：（1）本次共調查了90+45%=200（人），

故答案為：200；

（2）3組學生有：200-20-90-30=60（人），

補全的條形統(tǒng)計圖如圖2所示：

（3）1200X20-60=480（人），

200

即估計該校學生平均每天睡眠時間不足9/?的有480人.

四、解答題（本大題共2道題，每題8分，共16分）

19.（8分）（2021?錦州）為慶祝建黨100周年,某校開展“唱愛國歌曲，揚紅船精神”大

合唱活動.規(guī)律是：將編號為A,B,C的3張卡片（如圖所示，卡片除編號和內容外，

其他完全相同）背面朝上洗勻后放在桌面上，參加活動的班級從中隨機抽取1張，按照卡片

上的曲目演唱.

（1）七年一班從3張卡片中隨機抽取1張，抽到C卡片的概率為-；

一3一

（2）七年一班從3張卡片中隨機抽取1張，記下曲目后放回洗勻，七年二班再從中隨機抽

取1張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩個班級恰好抽到同一首歌曲的概率.

【解答】解：（1）小明隨機抽取1張卡片，抽到卡片編號為C的概率為

3

故答案為：

3

（2）畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結果數(shù)，其中兩個班級恰好選擇一首歌曲的有3種結果，

所以兩個班級恰好抽到同一首歌曲的概率為3=L.

93

20.（8分）（2021?錦州）小江與小杰兩名同學為學校圖書館清點一批圖書，小江清點完600

本圖書比小杰清點完540本圖書少用了5mm.已知小江平均每分鐘清點圖書的數(shù)量是小杰

的倍，求兩名同學平均每分鐘清點圖書各多少本.

【解答】解：設小杰平均每分鐘清點圖書x本，則小江平均每分鐘清點圖書1.25x本，

解得：x=12,

經檢驗，x=12是原方程的解，且符合題意,

.-.1.25x=1.25xl2=15.

答：小杰平均每分鐘清點圖書12本，小江平均每分鐘清點圖書15本.

五、解答題（本大題共2道題，每題8分，共16分）

21.（8分）（2021?錦州）如圖，山坡上有一棵豎直的樹他，坡面上點O處放置高度為1.6/〃

的測傾器CD,測傾器的頂部C與樹底部B恰好在同一水平線上（即BC//MN）,此時測得

樹頂部4的仰角為50。.已知山坡的坡度i=l:3（即坡面上點B處的鉛直高度8N與水平寬

度的比），求樹43的高度（結果精確到0.1加.參考數(shù)據(jù)：sin50°?0.77,cos50°?0.64,

tan50°?1.19）

【解答】解：?.■山坡8W的坡度i=l:3,

=1:3=tanM,

?；BC//MN,

/.NCBD=ZM,

CD

tanZ.CBD==tanM=1:3,

BC

??.3C=3C￡>=4.8（M，

AR

在RtAABC中，tanZACB=—=tan50°?1.19,

BC

AB?1.19BC=1.19x4.8=5.7（/n）,

即樹他的高度約為5.7m.

22.（8分）（2021?錦州）如圖，四邊形ABCD內接于OO,為0。的直徑，過點C作

。后工/^交仞的延長線于點石，延長EC,A8交于點E,NECD=NBCF.

（1）求證：CE為0。的切線；

（2）若DE=1,8=3,求OO的半徑.

【解答】（1）證明：如圖1,連接OC,

.OB=OC,

:.ZOCB=ZOBC,

?.?四邊形內接于OO,

:.NCDE=NOBC,

.CEYAD,

ZE=ZCDE+ZECD=90°,

?;ZECD=ZBCF,

/.NOCB+NBCF=90。,

ZOCE=90°,即OCJLE尸，

???oc是oo的半徑，

.?.CE為OO的切線；

（2）解：如圖2,過點。作OG_LAE于G,連接OC,OD,則NOGE=90。，

?:NE=NOCE=90P,

四邊形OGEC是矩形，

.\OC=EG,OG=EC,

設。。的半徑為x,

RMCDE中，8=3,DE=\,

EC=732-l2=2x/2,

OG=2\/2,GD=x—l,OD—x,

由勾股定理得：OD2=OG2+DG2,

:.x2=（2同+（*-1）2,

解得：x=4.5,

.?.OO的半徑是.

六、解答題（本題共1（）分）

23.（10分）（2021?錦州）某公司計劃購進一批原料加工銷售，已知該原料的進價為萬元〃，

加工過程中原料的質量有20%的損耗，加工費加（萬元）與原料的質量x（f）之間的關系為

/n=50+0.2x,銷售價y（萬元〃）與原料的質量x⑺之間的關系如圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；

（2）設銷售收入為P（萬元），求P與x之間的函數(shù)關系式；

（3）原料的質量x為多少噸時，所獲銷售利潤最大，最大銷售利潤是多少萬元？（銷售利

潤=銷售收入-總支出）.

【解答】解：（1）設y與x之間的函數(shù)關系式為y=+

將（20,15）,（30,12.5）代入,

1.組［20%+6=15

“傳：［30it+/7=12.5，

k---

解得：4，

ft=20

與x之間的函數(shù)關系式為y=-；x+20；

（2）設銷售收入為P（萬元），

411,

P=（l-2Q°/o）xy=-（--x+20）x=--x2+16x,

.?.「與彳之間的函數(shù)關系式為「二-1丁+胎》；

5

（3）設銷售總利潤為W（萬元），

,1，一,??

/.W=P-6.2x—m=--x"+16x—6.2x—（504-0.2x）,

整理，可得：W+史x—50,

55

1,

W=-g(x-24)2+65.2,

—<0>

5

.?.當x=24時，W有最大值為，

.??原料的質量為24噸時，所獲銷售利潤最大，最大銷售利潤是萬元.

七、解答題(本大題共2道題，每題12分，共24分)

24.(12分)(2021?錦州)在AABC中，AC=AB,ZBAC=a,。為線段43上的動點,

連接。C,將DC繞點。順時針旋轉a得到連接CE,BE.

(1)如圖1,當a=60。時，求證：ACAD三ACBE；

(2)如圖2,當tana=±時，

4

①探究A力和BE之間的數(shù)量關系，并說明理由；

②若AC=5,”是BC上一點，在點。移動過程中，CE+四是否存在最小值？若存在,

請直接寫出CE+￡W的最小值；若不存在，請說明理由.

【解答】(1)證明：如圖1中，

?.?a=60°,AC=AB,

.?.AABC是等邊三角形，

:.CA=CB,ZACB=60°,

■：將8繞點。順時針旋轉a得到DE,

：.DC=DE,ZCDE=6O°,

.?.△CDE是等邊三角形，

:.CD=CE,ZDCE=ZACB=60°，

/.ZACD=ABCE,

.■.AG4Z)=ACB￡(SAS).

(2)解：①結論：絲=亞.

BE2

如圖2中，過點C作CKJ_AB于K.

???tanZC4AT=—

AK4

.?.可以假設CK=3左，AK=4k,則AC-AB=5攵，BK=AB—AK=k,

.?.BC=NBK?+CK?=Mk,

?.?ZA=/CDE,AC=AB,CD=DE,

??.ZACB=ZABC=ZDCE=ZDEC，

:ZCBS^DCE,

ACCB

?.---=---,

CDCE

ACCD

CBCE

??,ZACB=NDCE,

:.ZACD=ZBCE,

.?.AACD^ABCE,

ADAC5k>/10

"BE~BC~Mk~2,

②如圖2中，過點。作石交3石的延長線于J.作點。關于的的對稱點R,連接R?,

ER,過點R作RT上BC于T.

?/AC=5，

由①可知，47=4,CH=3,BC=M，

MCAD^MCE,CK.LAD,CJ工BE,

（全等三角形對應邊上的高的比等于相似比）,

CJBC2

5

.?.點E的運動軌跡是線段BE,

-.C,A關于BE對稱，

;.CR=2CJ=2^,

5

BJ=>JBC2-CJ2=J面）2-（^^^=,

???SXCBR=；CRBJ=；CBRT,

6回4M

X

.RT-^~?.24710

V1025

???EC+EH=ER+EH..RT,

24710

?.JDC十匕口..：------，

25

.?.￡C+￡H的最小值為型

25

25.（12分）（2021?錦州）如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=1x+l分別與無軸、y軸

交于點A,C,經過點C的拋物線y+fec+c與直線y=』x+l的另一個交點為點。，

44

點D的橫坐標為6.

（1）求拋物線的表達式.

（2）M為拋物線上的動點.

①N為x軸上一點，當四邊形CDWN為平行四邊形時，求點M的坐標；

②如圖2,點A7在直線C￡>下方，直線OM（OM//C。的情況除外）交直線CD于點8,作

直線處關于直線對稱的直線80,當直線8。與坐標軸平行時，直接寫出點”的橫

坐標.

【解答】解：（1）令x=0,貝y=二x+1=1,

4

.?.C點坐標為（0,1）,

令y=0,則%+1=0,

4

X=—，

3

4

一.A點坐標為（--，0）,

3

3