二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

在現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中，我們會遇到各種不同的不等式，需要用不同的數(shù)學(xué)模型來刻畫和研究它們。前面我們學(xué)習(xí)了一元二次不等式及其解法，這里我們將學(xué)習(xí)另一種不等關(guān)系的模型。創(chuàng)設(shè)情境先看一個實(shí)際例子：

一家銀行的信貸部計劃年初投入25000000元用于企業(yè)和個人貸款，希望這筆資金至少可帶來30000元的收益，其中從企業(yè)貸款中獲益12﹪，從個人貸款中獲益10﹪，那么，信貸部應(yīng)該如何分配資金呢？

這個問題中存在一些不等關(guān)系，我們應(yīng)當(dāng)用什么不等式模型來刻畫它們呢？？

設(shè)用于企業(yè)貸款的資金為x元，用于個人貸款資金為y元.由資金總數(shù)為25000000元，得到

x+y≦25000000.

由于預(yù)計企業(yè)貸款創(chuàng)收12﹪，個人貸款創(chuàng)收10﹪，共創(chuàng)收30000元以上，所以（12﹪)x+(10﹪)y≥30000,

即

12x+10y≥3000000①②引導(dǎo)探究一

最后考慮到用于企業(yè)貸款和個人貸款的資金數(shù)額都不能是負(fù)數(shù)，于是

x≥0,y≥0.

將①，②，③合在一起，得到分配資金應(yīng)該滿足的條件：

③

求出這個不等式組的解集，就可以知道分配資金的多少了。

滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值所構(gòu)成有序數(shù)對（x,y)，所有這樣的有序數(shù)對（x,y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集。也可以看成直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合。這就要用到下面的知識：3.3.1二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

溫故而知新：？你還能知道，二元一次不等式(組）所表示的平面區(qū)域嗎

一元一次不等式（組）的解集可以表示為數(shù)軸上的區(qū)域。那么你能表示出：不等式組＞0，＜4.的解集在數(shù)軸上的區(qū)域嗎？-304我們先研究一個具體的二元一次不等式＜6的解集所表示的圖形。Oxy-6-336369

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，x-y=6表示一條直線，平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線x-y=6分成三類：在直線上的點(diǎn)；在直線x-y=6左上方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)和右下方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。引導(dǎo)探究二

研究平面內(nèi)的點(diǎn)A，P可以發(fā)現(xiàn)：在直角坐標(biāo)系中，以二元一次不等式x-y＜6的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l的左上方；反過來，直線l左上方點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式x-y＜6,因此在平面直角坐標(biāo)系中，不等式x-y＜6表示直線x-y=6左上方的平面區(qū)域，如圖，類似地，二元一次不等式x-y＞6表示直線x-y=6右下方的平面區(qū)域，直線x-y=6叫做這兩個區(qū)域的邊界，這里，我們把直線x-y=6畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界。Oxy-6-336369引導(dǎo)探究三

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中二元一次不等式Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域。我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包含邊界直線。不等式Ax+By+C≥0表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實(shí)線。

對于直線Ax+By+C=0同側(cè)的所有點(diǎn)，把它的坐標(biāo)（x,y)代入Ax+By+C,所得的符號都相同，因此只需在直線Ax+By+C=0的同一側(cè)取某個特殊點(diǎn)（x0,y0)作為測試點(diǎn)，由Ax0+By0+C的符號就可以斷Ax+By+C＞0表示的直線Ax+By+C=0哪一側(cè)的平面區(qū)域。歸納應(yīng)用

解：先做出邊界，因為這條線上的點(diǎn)都不滿足，所以畫成虛線。＜4

取原點(diǎn)（0,0)，代入因此

0+4×0-4=-4<0所以原點(diǎn)（0，0）在表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式表示的區(qū)域如圖所示。-4<0＜4-4經(jīng)典例題例1畫出不等式表示的平面區(qū)域.＜40xy141（0，0）練習(xí)1）用平面區(qū)域表示下面不等式組的解集.2）畫出不等式表示的平面區(qū)域。3）畫出不等式組表示的平面區(qū)域。注意邊界??！y36xoxy04848123x+y-12=0X-2y=0x=3x+y=0x-y+5=0063xy··

例1、要將兩種大小不同的鋼板截成Ａ．Ｂ．Ｃ三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：A規(guī)格Ｂ規(guī)格Ｃ規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123今需要Ａ．Ｂ．Ｃ三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，請用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述要求。鋼板類型規(guī)格類型解：設(shè)需要截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則圖形表示如右0x41220y412202x+y=15X+2y=18X+3y=27

例2、一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t,硝酸鹽18；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t，硝酸鹽15t。現(xiàn)庫存磷酸鹽10t,硝酸鹽66t,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。解：設(shè)x,y分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件平面區(qū)域如圖所示。0xy1245510154x+y=1018x+15y=66課后小結(jié):1.二元一次不等式（組）的解集表示相應(yīng)直線的某一側(cè)的平面區(qū)域;2.在直線Ax+By+C=0的同一側(cè)取某個特殊的點(diǎn)（x0,y0)作為測試點(diǎn)，由Ax0+By0+C的符號就可以Ax+By+C＞0表示的直線Ax+By+C=0哪一側(cè)的平面區(qū)域;3.采用“選點(diǎn)法”來確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，要注意：若直線不過原點(diǎn)，通常選（0，0）點(diǎn);若直線過原點(diǎn)，通常選（1，0）、（-1，0）、（0，1）、(0,-1)等特殊點(diǎn)代入檢驗并判斷。_4.畫平面區(qū)域時，要注意邊界是畫成實(shí)線還是虛線。＋鞏固練習(xí)：1.用不等式（組）表示下列陰影部分所對應(yīng)的區(qū)域.6x+5y=22x0y-0xy-15246３－４xy02.在平面在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組A.-1B.1C.2D.3（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積等于