2021年高考數(shù)學(xué)真題和模擬題分類匯編：15 推理與證明（含解析）

2021年高考真題和模擬題分類匯編

數(shù)學(xué)

專題15推理與證明

一'選擇題部分

1.（2021?貴州畢節(jié)三模?文T9.）如圖，有甲、乙、丙三個(gè)盤子和放在甲盤子中的四塊大小不

相同的餅，按下列規(guī)則把餅從甲盤全部移到乙盤中：①每次只能移動(dòng)一塊餅；②較大的餅

不能放在較小的餅上面，則最少需要移動(dòng)的次數(shù)為（）

【答案】C.

【解析】假設(shè)中盤中有n塊餅，從甲盤移動(dòng)到乙盤至少需要所次，則3=1,

當(dāng)n22時(shí)，可先將較大的餅不動(dòng)，將剩余的n-1塊餅先移動(dòng)到丙盤中，至少需要移動(dòng)外

.1次，

再將最大的餅移動(dòng)到乙盤，需要移動(dòng)1次，

最后將丙盤中所有的丙移動(dòng)到乙盤中，至少需要移動(dòng)外」次，

由上可知，an—2ani+l,且。i=l,

所以。2=2。1+1=3,03=202+1=7,04=203+1=15,

則最少需要移動(dòng)的次數(shù)為15次.

2.（2021?貴州畢節(jié)三模?文T5.）“干支紀(jì)年法”是中國(guó)歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法，甲、

乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、

未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字

開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃?、乙丑、丙寅、…?/p>

癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，共得到60個(gè)組

合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡.2021年是“干支紀(jì)年法”中的辛丑年，那么2015

年是“干支紀(jì)年法”中的（）

A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D.乙未年

【答案】D.

【解析】由題意可知，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，

子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”，

2021年是“干支紀(jì)年法”中的辛丑年,

則2020年為庚子，2019年為己亥，2018年為戊戌，2017年為丁酉，2016年為丙申，2015

年為乙未.

3.(2021?江西九江二模?理T9.)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)是萬物的本源，因此極為重視

數(shù)的理論研究，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙?；蛐∈?，并將它們排列成各種形狀進(jìn)行研

究.形數(shù)就是指平面上各種規(guī)則點(diǎn)陣所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，是畢哥拉斯學(xué)派最早研究的重要內(nèi)容之

一.如圖是三角形數(shù)和四邊形數(shù)的前四個(gè)數(shù)，若三角形數(shù)組成數(shù)列四邊形數(shù)組成數(shù)列

｛b,,｝,記cn=bn+l"n+i,則數(shù)列｛.｝的前10項(xiàng)和為()

【答案】D.

2

【解析】由題意可得，a/l+2+3+…+n皿羅-，bn=l+3+5+-+(2n-l)=n，

1_________1_________2(11.

所以“b^.1-a?,1(ds2(n+1)(n+2)n(n+l)nn+1,

皿皿(n+1)------------

設(shè)數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S”

所以S=2(1444+…2^7)

n223nn+1n+1

所以s4普

ox-v<T9

4.(2021?山東濰坊二模?T6.)關(guān)于函數(shù)f(x)=\"a',其中a,bER,給出下

b-x,x32

列四個(gè)結(jié)論：

甲：6是該函數(shù)的零點(diǎn)；

乙：4是該函數(shù)的零點(diǎn)；

丙：該函數(shù)的零點(diǎn)之積為0;

T：方程f(x)有兩個(gè)根.

若上述四個(gè)結(jié)論中有且只有一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，則該錯(cuò)誤結(jié)論是()

A.甲B.乙C.丙D.]

【答案】8.

【解析】當(dāng)xe[0,2]時(shí)，/(x)=2*-a為增函數(shù),

當(dāng)xw[2,+8)時(shí)，/(x)=b-x為減函數(shù),故6和4只有一個(gè)是函數(shù)的零點(diǎn),

即甲乙中有一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，一個(gè)結(jié)論正確，而丙、丁均正確.

由兩零點(diǎn)之積為0，則必有一個(gè)零點(diǎn)為0,則/(0)=2°-a=0,得a=l,

若甲正確，則/(6)=0,即b-6=0,b—6,

爐-匕子x<2,由/⑺3,

可得/(x)=《

6-x,x322

f0<x<2(x>2

77R

可得4a5解得x=l0g/或x=g方程/(x)=得有兩個(gè)根，故丁

6H萬

正確.

故甲正確，乙錯(cuò)誤.

二、填空題部分

5.(2021?山西調(diào)研二模?文T14)某校團(tuán)委為高三學(xué)生籌備十八歲成人禮策劃了三種活動(dòng)方案，

分別記作48、C,為使活動(dòng)開展得更加生動(dòng)有意義，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查甲、乙、丙三位同學(xué)對(duì)三種

活動(dòng)方案的喜歡程度.甲說："我不喜歡方案4但喜歡的活動(dòng)方案比乙多."乙說："我不喜歡方

案丙說："我們?nèi)硕枷矚g同一種方案”.由此可以判斷乙喜歡的活動(dòng)方案是.

【答案】C.

【解析】從丙的說法中推測(cè)乙肯定有喜歡的方案，

從甲的說法中推測(cè)甲喜歡2種方案，不喜歡方案A,那么可以確定是8和C,

再?gòu)囊业恼f法中可知，乙只喜歡一種方案，是方案C,

故答案為：C.

根據(jù)三個(gè)人所說內(nèi)容，可以推斷出乙只喜歡一種方案，又丙說："我們?nèi)硕枷矚g同一種方案",

所以可以判斷乙喜歡的活動(dòng)方案.

本題主要考查了簡(jiǎn)單的合情推理，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題.

6.(2021?山東聊城三模打13.)數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,...稱為斐波那契數(shù)列，

是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他寫的《算盤全書》提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從

第三起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前2021項(xiàng)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為.

【答案】1348.

【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

【解析】【解答】由斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)知：從第一項(xiàng)起，每3個(gè)數(shù)中前兩個(gè)為奇數(shù)后一個(gè)偶

數(shù)，等的整數(shù)部分為673,余數(shù)為2,

二該數(shù)列的前2021項(xiàng)中共有673個(gè)偶數(shù),奇數(shù)的個(gè)數(shù)為2021-673=1348.

故答案為:1348

【分析】由斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)經(jīng)過推理即可求得.

三'解答題部分

7.(2021?高考全國(guó)甲卷?理T18)已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S“為｛4｝的前〃項(xiàng)和，

從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛a?｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛、底｝是等差數(shù)列；③%=34.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解析】選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出E，結(jié)合外,S“的關(guān)系求出?！?，利用｛%｝是等差

數(shù)列可證的=3%；

選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出瘋，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；

選②③作條件證明①時(shí)，設(shè)出底=an+b,結(jié)合an,Sn的關(guān)系求出凡，根據(jù)外=可求b，

然后可證｛4｝是等差數(shù)列.

選①②作條件證明③：

設(shè)￡=?！?優(yōu)。＞0),則S“=(an+b\＞

當(dāng)〃=1時(shí)，0=$=+；

當(dāng)〃22時(shí)，an=S“一S"T+-^an-a+b)'=a(2an—a+2b)；

因?yàn)椋?｝也是等差數(shù)列，所以(a+Z?『=a(2a—a+給)，解得8=0；

所以4="(2〃-1),所以生=3。1.

選①③作條件證明②：

因?yàn)間=3卬，｛%｝是等差數(shù)列，

所以公差d=%一％=2q,

所以=nat+—d=TTax,即—y[a^n?

因?yàn)?(腹+1)-y/^隈=,

所以｛冏｝是等差數(shù)列.

選②③作條件證明①：

設(shè)#^=。〃+伏。＞())，則S“=(an+b^，

當(dāng)胃=1時(shí)，4=&=(a+Z?)2；

當(dāng)時(shí)、an=S〃-S〃_]=(Q〃+b『一(〃鹿一=a(2an—a+2b^；

因?yàn)?=3q,所以a（3a+2＞）=3（a+"）,解得力=0或二=-才；

當(dāng)匕=0時(shí)，q=。2,q=02（2〃-1）,當(dāng)〃22時(shí)，?！?4一|=2/滿足等差數(shù)列的定義，此

時(shí)｛4｝為等差數(shù)列；

當(dāng)i?=■-”■時(shí)，Js~=an+b=an—a,=不合題意，舍去.

3、3、3

綜上可知｛4｝為等差數(shù)列.

8.（2021?江蘇鹽城三模?T18）請(qǐng)?jiān)冖?；②；③這3個(gè)條件中選擇1個(gè)條件，補(bǔ)全下面的命題使

其成為真命題，并證明這個(gè)命題（選擇多個(gè)條件并分別證明的按前1個(gè)評(píng)分）.

命題：已知數(shù)列｛%｝滿足為+i=&2,若，則當(dāng)”》2時(shí)，斯》2"恒成立.

【考點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式求解與不等式的證明

【解析】選②.

證明：由斯+l=a/,且，所以斯＞0,

n~~1

n-1

所以愴斯+1=3斯,lgan=2lg2,an=T,...5分

當(dāng)”22時(shí);只需證明2"T》〃，

.n?,H+1n1-n八

令兒=#7，則為+1一小=一#7=-....1°分

所以為W岳=1,所以2"f》〃成立.

綜上所述,當(dāng)0=2且〃》2時(shí),小22"成立.……12分

注：選②為假命題，不得分，選③參照給分.

9（2021?河南開封三模?理T17）已知數(shù)列■”｝滿足處=-2,an+l=2a?+4.

（1）求〃2，。3，。4；

（2）猜想｛如｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

（3）求數(shù)列｛|m|｝的前〃項(xiàng)和S〃.

【解析】（1）由已知，易得42=0,43=4,01=12.

（2）猜想

.a+i+4

因?yàn)樗?1=2m+4,所以m+計(jì)4=2（〃〃+4）,.....-=2?

a『4

則｛斯+4｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

所以an+4=2"，所以=an=2n-4.

（3）當(dāng)k=1時(shí)，〃i=-2V0,S]=|〃i|=2；

當(dāng)時(shí)，小20,

2n2n

所以Sn=-ai+a2+--+an=2+(2-4)+*-+(2-4)=2+2+--+2-4(n-l)=

笊)-4(n-D=2血-4n+2，

2tLN

又”=1時(shí)滿足上式.

ttF1

所以，當(dāng)〃eN*時(shí)，Sn=2-4n+2.

10.(2021?浙江杭州二模?理T20.)已知數(shù)列｛&｝,(仇｝,滿足為=2"一2,b2k-\=ak(Z：eN*),

bik-1>b?k，岳&+i成等差數(shù)列.

(1)證明：｛歷仆是等比數(shù)列；

n+2

(2)數(shù)列｛Cn｝滿足Cn=8n(n+1)個(gè)2一丁’記數(shù)列｛?｝的前“項(xiàng)和為S”求S,.

【解答】證明：(1)由數(shù)列｛斯｝,｛仇｝,滿足%=2"b2k-\=ak(AeN*),

所以b2b1=2i

由于岳*」，b2k,Mw成等差數(shù)列.

故b2k=3?2卜3,

b91r

整理得丁之二2(常數(shù))，

b2k-2

所以數(shù)列：(歷R是以g為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列；

(2)由于：｛治人｝是以g為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列；

4

所以b2n=3?20-3,

則b2n-b2nH=3'2nr3-2n-2=2n-3,

―_n+2________n+2_2(n+l)-n_]_1

11nn-1n

""8n(n+l)(b2n-b2n-nCn+l)"n(n+l)'2-n-2(n+l)-2

(心1),

二11111________1

n2°2-21+2^213-22+"+n-2n-1(n+l)-2n，

=1--------------

(n+l)-2n-

11.(2021?浙江麗水湖州衢州二模?T20.)已知數(shù)列｛.“｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若0=2,

42+43是。3與44的等差中項(xiàng).數(shù)列