高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要

高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要Chapter7:DifferentialEquationsI.RelevantConceptsofDifferentialEquations1.Orderofadifferentialequation:Thehighestorderoftheunknownfunction'sderivativeintheequationiscalledtheorderofthedifferentialequation.2.Solutionofadifferentialequation:Afunctionthatmakesthedifferentialequationanidentityiscalledasolutionofthedifferentialequation.Generalsolution:Asolutionthatcontainsthesamenumberofindependentarbitraryconstantsastheorderoftheequationiscalledthegeneralsolutionofthedifferentialequation.Particularsolution:Asolutionthatdeterminesthearbitraryconstantsinthegeneralsolutioniscalledaparticularsolutionofthedifferentialequation.3.Relationshipbetweenparticularsolutionandgeneralsolution:Aparticularsolutioncanbeobtainedbydeterminingtheconstantsinthegeneralsolutionthroughinitialconditions,oritcanbedirectlyobservedfromtheexpressionoftheequation.Therefore,theparticularsolutionisnotalwaysincludedinthegeneralsolution.II.CommonTypesofDifferentialEquationsandTheirSolutions1.Separabledifferentialequationsandtheirsolutions(1)Formoftheequation:g(y)dy=f(x)dx.(2)Solutionmethod:Separationofvariables.(3)Solutionsteps:①Separatethevariablesandwritetheequationasg(y)dy=②IntegratebothsidestogettheimplicitgeneralsolutionG(y)=F(x)+Cintheformof∫g(y)dy=∫f(x)dx;③Maketheimplicitfunctionexplicit.2.Homogeneousequationsandtheirsolutions(1)Formoftheequation:dy=φdx(2)Solutionmethod:Variablesubstitution.(3)Solutionsteps:①I(mǎi)ntroduceanewvariableu=y/x,theny=uxanddy/dx=u+xdu/dx;②Substitutey=uxanddy/dx=u+xdu/dxintotheoriginalequationtogetu+xdu/dx=φ(u);③Separatevariablesandsolvetheequation;④Substituteubacktogetthesolutionintermsofyandx.3.First-orderlineardifferentialequationsandtheirsolutions(1)Formoftheequation:dy/dx+P(x)y=Q(x).Homogeneousfirst-orderlineardifferentialequation:dy/dx+P(x)y=0.Non-homogeneousfirst-orderlineardifferentialequation:dy/dx+P(x)y=Q(x)≠0.(2)Solutionmethods:Forhomogeneousfirst-orderlineardifferentialequation:Separationofvariables.Thegeneralsolutionisy=Ce^(-∫P(x)dx),(C∈R).Fornon-homogeneousfirst-orderlineardifferentialequation:Variationofparameters.Assumey=u(x)e^(-∫P(x)dx)isthegeneralsolution,whereu(x)isanunknownfunction.Differentiateandsubstituteintotheoriginalequationtogetu'(x)e^(-∫P(x)dx)=Q(x)e^(-∫P(x)dx).Integratebothsidesandsolveforu(x),thensubstitutebacktogetthesolutionintermsofyandx.一、平面1.平面的一般式方程為：Ax+By+Cz+D=0，其中(A,B,C)為法向量，D為常數(shù)。2.點(diǎn)M(x1,y1,z1)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)。3.平面π1:Ax1+By1+Cz1+D1=0與平面π2:Ax2+By2+Cz2+D2=0平行的判定為：π1//π2?(A1,B1,C1)//(A2,B2,C2)?A1/A2=B1/B2=C1/C2。4.平面π1:Ax1+By1+Cz1+D1=0與平面π2:Ax2+By2+Cz2+D2=0垂直的判定為：π1⊥π2?(A1,B1,C1)⊥(A2,B2,C2)?A1A2+B1B2+C1C2=0。5.平面π1:Ax1+By1+Cz1+D1≠π2:Ax2+By2+Cz2+D2的夾角為：cosθ=|A1A2+B1B2+C1C2|/√((A1^2+B1^2+C1^2)(A2^2+B2^2+C2^2))。6.平面π1:Ax1+By1+Cz1+D1=0與直線(xiàn)L2:x-x2/m2=y-y2/n2=z-z2/p2的關(guān)系為：π1⊥L2?(A1,B1,C1)⊥(m2,n2,p2)?A1m2+B1n2+C1p2=0。二、直線(xiàn)1.過(guò)點(diǎn)P(x,y,z)，以方向向量s=(m,n,p)的直線(xiàn)的點(diǎn)向式方程為：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p。2.過(guò)點(diǎn)P(x,y,z)，以方向向量s=(m,n,p)的直線(xiàn)的參數(shù)式方程為：x=x0+tm,y=y0+tn,z=z0+tp。3.直線(xiàn)的一般式方程為：(A1x+B1y+C1z+D1=0)∧(A2x+B2y+C2z+D2=0)∧(s=n1×n2)。4.直線(xiàn)方程之間的轉(zhuǎn)化：i)點(diǎn)向式?參數(shù)式ii)一般式→點(diǎn)向式：找點(diǎn)，找方向向量s=n1×n2。5.直線(xiàn)L1:(x-x1)/m1=(y-y1)/n1=(z-z1)/p1與直線(xiàn)L2:(x-x2)/m2=(y-y2)/n2=(z-z2)/p2平行的判定為：L1//L2?s1//s2?m1/m2=n1/n2=p1/p2。6.直線(xiàn)L1:(x-x1)/m1=(y-y1)/n1=(z-z1)/p1與直線(xiàn)L2:(x-x2)/m2=(y-y2)/n2=(z-z2)/p2垂直的判定為：L1⊥L2?s1⊥s2?m1m2+n1n2+p1p2=0。1.直線(xiàn)L1和L2的夾角為cosθ=|m1m2+n1n2+p1p2|/√(m1^2+n1^2+p1^2)√(m2^2+n2^2+p2^2)。2.直線(xiàn)L與平面Π垂直的判定為L(zhǎng)⊥Π?S//N?m(x-x1)+n(y-y1)+p(z-z1)=0。3.直線(xiàn)L與平面Π平行的判定為L(zhǎng)//Π?S⊥N?Am+Bn+Cp=0。4.直線(xiàn)L與平面Π的夾角為sinθ=|Am+Bn+Cp|/√(A^2+B^2+C^2)√(m^2+n^2+p^2)。5.點(diǎn)P(x,y,z)到直線(xiàn)L的距離為d=|AP×s|/|s|，其中s為L(zhǎng)的方向向量。6.曲線(xiàn)C在yoz平面的方程為f(y,z)=0，其繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面為S：f(±√(x^2+y^2),z)=0。7.空間曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為{x=F(t),y=G(t),z=H(t)}，其在xoy平面上的投影曲線(xiàn)為C'：{x=H(x,y),y=G(x,y)}。8.內(nèi)點(diǎn)是指在點(diǎn)集內(nèi)部且不是孤立點(diǎn)的點(diǎn)，聚點(diǎn)可以是點(diǎn)集的邊界點(diǎn)或內(nèi)點(diǎn)，但不可以是點(diǎn)集的外點(diǎn)和點(diǎn)集內(nèi)的孤立點(diǎn)。9.二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的二重極限為limf(x,y)=(x,y)→(x,y)A，連續(xù)性為limf(x,y)=(x,y)→(x,y)f(x,y)。10.二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)指對(duì)其中一個(gè)自變量求導(dǎo)數(shù)，分別記作?z/?x和?z/?y。1.二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一方向上的變化率，因此可以用來(lái)描述曲面的切平面和法線(xiàn)方向。2.偏導(dǎo)數(shù)存在性與全微分存在性的關(guān)系可以用來(lái)判斷一個(gè)函數(shù)是否可微分，進(jìn)而判斷其是否具有局部極值點(diǎn)。3.二元復(fù)合函數(shù)的偏(全)導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)求解多元函數(shù)的最值問(wèn)題，例如求解約束條件下的最優(yōu)解。4.隱函數(shù)微分法可以用來(lái)求解隱含在方程中的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如求解曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程或曲面的法線(xiàn)方程。5.偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用還包括描述曲面的形狀、求解曲面的面積和體積等問(wèn)題。(x,y,z)k，其中i,j,k分別表示三維空間的標(biāo)準(zhǔn)基向量。4).梯度的性質(zhì)：a.梯度向量的方向是函數(shù)值增加最快的方向。b.梯度向量的模長(zhǎng)是函數(shù)在該點(diǎn)的方向?qū)?shù)的最大值。c.梯度向量垂直于等值面。d.若梯度向量不為零，則函數(shù)在該點(diǎn)的等值線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)與梯度向量垂直。e.若梯度向量為零，則該點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)，即函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。1.曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程和法平面方程1）對(duì)于以參數(shù)式方程x=φ(t),y=ψ(t),z=χ(t)表示的曲線(xiàn)，在t=t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M(x,y,z)，其切線(xiàn)方程為x-xy-yz-z=0，其中x'=dφ/dt,y'=dψ/dt,z'=dχ/dt；法平面方程為φ(t)(x-x)+ψ'(t)(y-y)+χ'(t)(z-z)=0。2）對(duì)于以一般式方程F(x,y,z)=0表示的曲線(xiàn)，在點(diǎn)M(x,y,z)處的切線(xiàn)和法平面方程可以通過(guò)求解隱函數(shù)組F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=z-χ(t)=0，然后求出切線(xiàn)的方向向量和法平面的法向量來(lái)得到。其中，切線(xiàn)方程為x-xy-yz-z=0，其中x'=1/Fx(M),y'=1/Fy(M),z'=-1/Fz(M)；法平面方程為Fx(M)(x-x)+Fy(M)(y-''y)+Fz(M)(z-z)=0。2.曲面的切平面方程和法線(xiàn)方程1）對(duì)于以一般式方程F(x,y,z)=0表示的曲面，在點(diǎn)M(x,y,z)處的切平面線(xiàn)方程為Fx(M)(x-x)+Fy(M)(y-''y)+Fz(M)(z-z)=0，其中Fx(M),Fy(M),Fz(M)分別為F(x,y,z)在點(diǎn)M處的偏導(dǎo)數(shù)；法方程為x-xy-yz-z=0，其中x'=Fx(M),y'=Fy(M),z'=-Fz(M)。2）對(duì)于以特殊式方程F(x,y,z)=f(x,y)-z=0表示的曲面，在點(diǎn)M(x,y,z)處的切平面線(xiàn)方程為fx'(x,y)(x-x)+fy'(x,y)(y-y)-(z-z)=0，其中fx'(x,y),fy'(x,y)分別為f(x,y)在點(diǎn)M處的偏導(dǎo)數(shù)；法方程為x-xy-yz-z=0，其中x'=fx'(x,y),y'=fy'(x,y),z'=-1。3.方向?qū)?shù)與梯度：1）方向?qū)?shù)可以表示為函數(shù)在某一方向上的導(dǎo)數(shù)，其存在條件為函數(shù)在該點(diǎn)可微分，并且在該方向上的方向余弦存在。2）方向?qū)?shù)可以用方向余弦的和來(lái)表示，其中方向余弦是函數(shù)在該方向上的偏導(dǎo)數(shù)與該方向長(zhǎng)度的比值。3）梯度是函數(shù)在某一點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)組成的向量，其方向是函數(shù)值增加最快的方向，模長(zhǎng)是函數(shù)在該點(diǎn)的方向?qū)?shù)的最大值。4）梯度向量垂直于等值面，若梯度向量不為零，則函數(shù)在該點(diǎn)的等值線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)與梯度向量垂直；若梯度向量為零，則該點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)，即函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：①在點(diǎn)M(x,y,z)處，函數(shù)f(x,y,z)增加最快的方向是梯度gradf(x,y,z)的方向，減小最快的方向則是其相反方向。②在點(diǎn)M(x,y,z)，函數(shù)f(x,y,z)沿任意方向的方向?qū)?shù)的最大值為gradf(x,y,z)。極值、條件極值：1.函數(shù)z=f(x,y)的極值在其駐點(diǎn)或不可偏導(dǎo)點(diǎn)取得。2.求函數(shù)極值的步驟：（1）對(duì)函數(shù)z=f(x,y)求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組得到所有駐點(diǎn)(x_i,y_i)。（2）對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)(x_i,y_i)，計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)=f_xx(x_i,y_i),B=f_xy(x_i,y_i),C=f_yy(x_i,y_i)。（3）計(jì)算B^2-AC，根據(jù)符號(hào)判定f(x_i,y_i)是否是極值。求函數(shù)z=f(x,y)在附加條件φ(x,y)下的條件極值的方法：建立拉格朗日函數(shù)F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，對(duì)自變量x,y求偏導(dǎo)，解出的x,y即為可能的極值點(diǎn)。重積分：一、二重積分的相關(guān)性質(zhì)：1.有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)域D上二重積分存在。2.若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上二重積分存在，則其在D上的二重積分唯一確定。格林公式設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線(xiàn)C所圍成，C取正向，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有格林公式：$$\oint_CPdx+Qdy=\iint_D\left(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy}\right)dxdy$$其中，可用第二型曲線(xiàn)積分計(jì)算該曲線(xiàn)所圍成區(qū)域的面積。設(shè)有界閉區(qū)域D由取正向的光滑曲線(xiàn)C所圍成，則區(qū)域D的面積為：$$\sigma=\iint_Ddxdy=\frac{1}{2}\oint_{C}(-ydx+xdy)$$注：函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)。曲面積分第一型曲面積分的計(jì)算：若曲面S的方程是$z=z(x,y)$，且在xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈，函數(shù)f(x,y,z)在S上連續(xù)，則第一型曲面積分為：$$\iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_Df(x,y,z(x,y))\sqrt{1+\left(\frac{\partialz}{\partialx}\right)^2+\left(\frac{\partialz}{\partialy}\right)^2}dxdy$$第二型曲面積分的計(jì)算：若正向曲面S的方程是$z=z(x,y)$，且在xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈，函數(shù)R(x,y,z)在S上連續(xù)，則第二型曲面積分為：$$\iint_SR(x,y,z)dxdy=\iint_DR(x,y,z(x,y))\sqrt{1+\left(\frac{\partialz}{\partialx}\right)^2+\left(\frac{\partialz}{\partialy}\right)^2}dxdy$$同理可得：$$\iint_SP(x,y,z)dydz=\iint_D