多粒子體系的統(tǒng)計(jì)理論初步課件

多粒子體系的統(tǒng)計(jì)理論初步平衡態(tài)下的宏觀量與微觀量的關(guān)系。平衡態(tài)下的物理量的分布（能量、速率等）非平衡態(tài)下的熱現(xiàn)象（熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散等）1謝謝觀賞2019-6-29多粒子體系的統(tǒng)計(jì)理論初步平衡態(tài)下的宏觀量與微觀量的關(guān)系。1謝§1.經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的概念一.理想氣體微觀模型：2.除碰撞外，分子間相互作用力及重力可忽略，分子視為自由運(yùn)動(dòng)。3.分子間、分子與器壁間為完全彈性碰撞。

實(shí)際氣體在溫度較高，壓強(qiáng)較低時(shí)可視為理想氣體。1.分子間平均距離＞＞分子線度，視為質(zhì)點(diǎn)。

理想氣體是大量自由的、無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的彈性粒子組成的多粒子體系。2謝謝觀賞2019-6-29§1.經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的概念一.理想氣體微觀模型：2.除碰撞外，分子二、平衡態(tài)

在不受外界影響的條件下，物體的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間變化的狀態(tài)——平衡態(tài)①不受外界影響，是指外界對系統(tǒng)不作功、不傳熱。②宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間變化，是指物體的宏觀可觀測性質(zhì)確定不變。③熱動(dòng)平衡3謝謝觀賞2019-6-29二、平衡態(tài)在不受外界影響的條件下，物體的宏觀性質(zhì)不三.宏觀量與微觀量1.宏觀量：描述體系宏觀性質(zhì)的物理量，與宏觀態(tài)相對應(yīng)，可由實(shí)驗(yàn)測量。2.微觀量：描述個(gè)別粒子特性的物理量。四.統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性和漲落現(xiàn)象1.統(tǒng)計(jì)規(guī)律伽耳頓板實(shí)驗(yàn)大量小球落下的分布——宏觀態(tài)每個(gè)小球落下的位置——微觀態(tài)4謝謝觀賞2019-6-29三.宏觀量與微觀量1.宏觀量：描述體系宏觀性質(zhì)的物理量，與宏2.漲落現(xiàn)象

一個(gè)宏觀態(tài)下的微觀態(tài)是不確定的、變化的，各種微觀態(tài)以一定的概率出現(xiàn)，宏觀態(tài)即是對應(yīng)的微觀態(tài)的統(tǒng)計(jì)平均值。

各次實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論統(tǒng)計(jì)平均值之間存在偏差，為統(tǒng)計(jì)規(guī)律的特點(diǎn)之一。

一個(gè)宏觀態(tài)包含有大量的微觀態(tài)，宏觀態(tài)不是微觀態(tài)簡單的疊加，而是服從一種新的規(guī)律——統(tǒng)計(jì)規(guī)律。5謝謝觀賞2019-6-292.漲落現(xiàn)象一個(gè)宏觀態(tài)下的微觀態(tài)四.統(tǒng)計(jì)規(guī)律的定量分析以伽耳頓板實(shí)驗(yàn)為例：Δxihi則落在第個(gè)i槽中的小球數(shù)

ΔN=CΔxihixi

第i個(gè)槽的位置坐標(biāo)為xi，槽的寬度為△xi

在此槽中小球的高度為hi，C

為單位面積內(nèi)的小球數(shù)。6謝謝觀賞2019-6-29四.統(tǒng)計(jì)規(guī)律的定量分析以伽耳頓板實(shí)驗(yàn)為例：Δxihi則落在第小球總數(shù)小球落入第

i個(gè)槽的概率令Δx→0，則有7謝謝觀賞2019-6-29小球總數(shù)小球落入第i個(gè)槽的概率令Δx→0，則有7謝謝觀設(shè)：則：或

小球沿x的分布函數(shù)，小球落入x附近單位區(qū)間的概率（概率密度）。8謝謝觀賞2019-6-29設(shè)：則：或小球沿x的分布函數(shù)，小球落入x附近歸一化條件：五.等概率假設(shè)

在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論中，波爾茲曼提出：對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，其各個(gè)可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。設(shè)微觀態(tài)的總數(shù)為P，則任一微觀態(tài)出現(xiàn)的概率為1/P。等概率假設(shè)是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的重要出發(fā)點(diǎn)，已為大量實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。9謝謝觀賞2019-6-29歸一化條件：五.等概率假設(shè)在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論中，波爾§2分子平均平動(dòng)動(dòng)能統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律一.氣體分子運(yùn)動(dòng)等概率假設(shè)1.氣體分子在容器中各處出現(xiàn)的概率是均等的。即氣體分子數(shù)密度處處相等。2.氣體分子沿各方向運(yùn)動(dòng)的概率相等，即分子速度在各方向上分量的各種平均值相等。10謝謝觀賞2019-6-29§2分子平均平動(dòng)動(dòng)能統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律一.氣體分子運(yùn)動(dòng)等概率假設(shè)二.壓強(qiáng)公式1.氣體產(chǎn)生壓強(qiáng)的原因氣體壓強(qiáng)不可能由氣體分子的重力產(chǎn)生。壓強(qiáng)是大量分子對容器壁不斷碰撞而產(chǎn)生的。11謝謝觀賞2019-6-29二.壓強(qiáng)公式1.氣體產(chǎn)生壓強(qiáng)的原因氣體壓強(qiáng)不可能由氣體分子的2.公式推導(dǎo)推導(dǎo)思路12謝謝觀賞2019-6-292.公式推導(dǎo)推導(dǎo)思路12謝謝觀賞2019-6-29①求i分子與器壁A碰撞一次時(shí)施于A的沖量②求i分子在△t時(shí)間內(nèi)對A的碰撞次數(shù)③求i分子在△t時(shí)間內(nèi)施于A的沖量13謝謝觀賞2019-6-29①求i分子與器壁A碰撞一次時(shí)施于A的沖量②求i分子在△t時(shí)④N個(gè)分子△t時(shí)間內(nèi)施于A的總沖量⑤壓強(qiáng)分子數(shù)密度X方向速率平方的平均值14謝謝觀賞2019-6-29④N個(gè)分子△t時(shí)間內(nèi)施于A的總沖量⑤壓強(qiáng)分子數(shù)密度X方向速率分子平均平動(dòng)動(dòng)能15謝謝觀賞2019-6-29分子平均平動(dòng)動(dòng)能15謝謝觀賞2019-6-294.壓強(qiáng)公式討論①假設(shè)分子大小、分子力及分子所受重力均可忽略。②宏觀量與微觀量聯(lián)系起來，反映宏觀量的微觀本質(zhì)分子在運(yùn)動(dòng)中遵守力學(xué)定律，在碰撞時(shí)可視為完全彈性小球。③壓強(qiáng)取決于分子數(shù)密度和平均平動(dòng)動(dòng)能值值分子沿各方向運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)目相等,分子速度在各方向分量的各種平均值相同。④壓強(qiáng)是大量分子對器壁沖量的統(tǒng)計(jì)平均效果，單個(gè)分子的壓強(qiáng)沒有意義。16謝謝觀賞2019-6-294.壓強(qiáng)公式討論①假設(shè)分子大小、分子力及分子所受重力均可忽略三.溫度的統(tǒng)計(jì)意義1.宏觀意義：冷熱程度，是決定某一系統(tǒng)與另一系統(tǒng)處于熱平衡的宏觀標(biāo)志。溫標(biāo)—溫度的數(shù)值表示法，量化冷熱程度。攝氏溫標(biāo)(0C):規(guī)定1atm下，純水的冰點(diǎn)為0度，汽點(diǎn)為100度。華氏溫標(biāo)(0F):規(guī)定1atm下，水、冰和氯化銨混合物為00F，水的汽點(diǎn)為2120F。17謝謝觀賞2019-6-29三.溫度的統(tǒng)計(jì)意義1.宏觀意義：冷熱程度，是決定某一系統(tǒng)與另熱力學(xué)溫標(biāo)(K):與測溫物質(zhì)無關(guān)。T=273.15+t絕對0度能否達(dá)到？2.微觀統(tǒng)計(jì)意義分子數(shù)密度玻爾茲曼常數(shù)18謝謝觀賞2019-6-29熱力學(xué)溫標(biāo)(K):與測溫物質(zhì)無關(guān)。T=273.15+分子平均平動(dòng)動(dòng)能公式。

溫度是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度，表示大量分子熱運(yùn)動(dòng)的劇烈程度，對個(gè)別分子溫度沒有意義。19謝謝觀賞2019-6-29分子平均平動(dòng)動(dòng)能公式。溫度是分子平均平§3分子能量的統(tǒng)計(jì)分布質(zhì)點(diǎn)：3個(gè)平動(dòng)自由度(t)火車（看成質(zhì)點(diǎn)）在鐵道上運(yùn)行，自由度為1；輪船（看成質(zhì)點(diǎn)）在大海中航行，自由度為2；飛機(jī)（看成質(zhì)點(diǎn)）在天空中飛行，自由度為3；確定物體位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù).20謝謝觀賞2019-6-29§3分子能量的統(tǒng)計(jì)分布質(zhì)點(diǎn)：3個(gè)平動(dòng)自由度(t)火車（看成剛體：①平動(dòng)：質(zhì)心位置②軸線方位：③轉(zhuǎn)動(dòng)：X、Y、Zα、β、（γ）φ3個(gè)平動(dòng)自由度(t)3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度(r)21謝謝觀賞2019-6-29剛體：①平動(dòng)：質(zhì)心位置②軸線方位：③轉(zhuǎn)動(dòng)：X、Y、Zα、β、雙原子分子單原子分子平動(dòng)自由度t=3平動(dòng)自由度t=3轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r=2三原子分子平動(dòng)自由度t=3轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r=322謝謝觀賞2019-6-29雙原子分子單原子分子平動(dòng)自由度t=3平動(dòng)自由度t=3轉(zhuǎn)動(dòng)自由二、能量均分定理

氣體分子沿x、y、z

三個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能完全相等，可以認(rèn)為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能均勻分配在每個(gè)平動(dòng)自由度上。23謝謝觀賞2019-6-29二、能量均分定理氣體分子沿x、y、z三個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的

在溫度為T的平衡態(tài)下，分子的每個(gè)自由度具有相同的平均動(dòng)能，其大小都等于1.能量按自由度均分定理：單原子分子雙原子分子自由度平均平動(dòng)動(dòng)能平均總動(dòng)能平均勢能平均總能量24謝謝觀賞2019-6-29在溫度為T的平衡態(tài)下，分子的每個(gè)自由度具有相同的平均動(dòng)能2.平均總能量理論實(shí)驗(yàn)對比單原子分子：吻合雙原子分子：不吻合雙原子理論值實(shí)驗(yàn)值低溫10－100K常溫250－1000K高溫2500K25謝謝觀賞2019-6-292.平均總能量理論實(shí)驗(yàn)對比雙原子理論值實(shí)驗(yàn)值低溫常溫高溫25

我們的研究以常溫下為主。只考慮雙原子分子的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，不考慮振動(dòng)自由度。雙原子分子常溫高溫自由度平均平動(dòng)動(dòng)能平均總動(dòng)能平均勢能平均總能量26謝謝觀賞2019-6-29我們的研究以常溫下為主。只考慮雙原子分子1.氣體的內(nèi)能：所有分子的（N個(gè)分子）各種形式的動(dòng)能和勢能的總和。動(dòng)能：平動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能振動(dòng)動(dòng)能勢能：分子間的勢能分子內(nèi)原子間的勢能2.理想氣體的內(nèi)能：所有分子的（N個(gè)分子）平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的總和。27謝謝觀賞2019-6-291.氣體的內(nèi)能：所有分子的（N個(gè)分子）各種形式的動(dòng)能和勢能的3.注意①自由度數(shù)的確定單原子分子i＝3，雙原子分子i＝5②區(qū)別平均平動(dòng)動(dòng)能、平均總動(dòng)能、平均總能量以及內(nèi)能。一定質(zhì)量理想氣體的內(nèi)能為1mol理想氣體的內(nèi)能為i＝t＋r28謝謝觀賞2019-6-293.注意②區(qū)別平均平動(dòng)動(dòng)能、平均總動(dòng)能、平均總能量以及內(nèi)能。例題：某容器內(nèi)裝有氧氣，m=1mol，P=1atm，t=27℃，求：ρ、n、29謝謝觀賞2019-6-29例題：某容器內(nèi)裝有氧氣，m=1mol，P=1atm，29謝謝四.氣體分子的能量分布——討論分子數(shù)與力場的關(guān)系。

當(dāng)氣體分子處在重力場或帶電離子處在電場中，此時(shí)分子數(shù)的分布與力場有關(guān)，單位體積的分子數(shù)（n）不再均勻。波爾茲曼提出：勢能為零分子數(shù)密度勢能為Ep分子數(shù)密度30謝謝觀賞2019-6-29四.氣體分子的能量分布——討論分子數(shù)與力場的關(guān)系。海平面上壓強(qiáng)31謝謝觀賞2019-6-29海平面上壓強(qiáng)31謝謝觀賞2019-6-29L蘭媚耳實(shí)驗(yàn):§4.氣體分子速率的統(tǒng)計(jì)分布——討論氣體分子數(shù)隨速率的分布情況SP32謝謝觀賞2019-6-29L蘭媚耳實(shí)驗(yàn):§4.氣體分子速率的統(tǒng)計(jì)分布——討論氣體分子數(shù)33謝謝觀賞2019-6-2933謝謝觀賞2019-6-29

平衡態(tài)下，一定量氣體分子總數(shù)為N,分子速率處于區(qū)間的分子數(shù)為dN。一.麥克斯韋速率分布函數(shù)表示速率分布在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。與速率v有關(guān)與速率區(qū)間dv有關(guān)34謝謝觀賞2019-6-29平衡態(tài)下，一定量氣體分子總數(shù)為N,分子速率處于速率分布函數(shù)

速率在v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。歸一化條件35謝謝觀賞2019-6-29速率分布函數(shù)速率在v附近單位速率間隔內(nèi)的分子f(v)vvv+dvv1v2dNN面積=出現(xiàn)在v~v+dv區(qū)間內(nèi)的概率分子出現(xiàn)在v1~v2區(qū)間內(nèi)的概率曲線下的總面積恒等于1二.速率分布曲線（f(v)—v

曲線）36謝謝觀賞2019-6-29f(v)vvv+dvv1v2dNN面積=出現(xiàn)在v~v+dvf(v)vf(vp)vp

分布在vp所在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的幾率最大。1.最概然速率

最概然速率：與分布函數(shù)f(v)的極大值相對應(yīng)的速率。極值條件37謝謝觀賞2019-6-29f(v)vf(vp)vp分布在vp所在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總2.麥克斯韋分布曲線隨溫度變化溫度越高，分布曲線中的最概然速率vp增大，但歸一化條件要求曲線下總面積不變，因此分布曲線寬度增大，高度降低。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T238謝謝觀賞2019-6-292.麥克斯韋分布曲線隨溫度變化溫度越高，分布曲線中的最概然速3.麥克斯韋分布曲線隨質(zhì)量變化分子質(zhì)量越大，分布曲線中的最概然速率vp越小，但歸一化條件要求曲線下總面積不變，因此分布曲線寬度減小，高度升高。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)μ1μ2μ339謝謝觀賞2019-6-293.麥克斯韋分布曲線隨質(zhì)量變化分子質(zhì)量越大，分布曲線中的最概三.兩種速率1.平均速率大量分子速率的統(tǒng)計(jì)平均值對于連續(xù)分布2.方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根40謝謝觀賞2019-6-29三.兩種速率1.平均速率大量分子速率的統(tǒng)計(jì)平均值對于連續(xù)分布都與成正比，與成反比f(v)v41謝謝觀賞2019-6-29都與成正比，f(v)v41謝謝觀賞2019-6例題：溫度300K時(shí)，氧氣分子的最概然速率，平均速率與方均根速率。解：42謝謝觀賞2019-6-29例題：溫度300K時(shí)，氧氣分子的最概然速率，平均速率與方均根§5.分子碰撞的統(tǒng)計(jì)分布一.平均碰撞頻率

單位時(shí)間內(nèi)分子的平均碰撞次數(shù)。碰撞機(jī)構(gòu)的簡單模型

假設(shè)某分子a以平均相對速率u運(yùn)動(dòng)

假設(shè)氣體分子都是直徑為d的剛球（有效直徑）,分子之間的碰撞是完全彈性的43謝謝觀賞2019-6-29§5.分子碰撞的統(tǒng)計(jì)分布一.平均碰撞頻率單位時(shí)間內(nèi)分a●柱體中的分子數(shù)●凡是能夠與a發(fā)生碰撞的分子，其球心必須在半徑為d的圓柱體內(nèi)●平均碰撞頻率●修正后的平均碰撞頻率2.Z的計(jì)算ddddddABC44謝謝觀賞2019-6-29a●柱體中的分子數(shù)●凡是能夠與a發(fā)生碰撞的分子，其球心必2.計(jì)算3.

與P,T的關(guān)系1.定義

分子在連續(xù)兩次碰撞所通過的自由路程的平均值——平均自由程二.平均自由程

的計(jì)算45謝謝觀賞2019-6-292.計(jì)算3.與P,T的關(guān)系1.定義分子在連續(xù)兩次碰撞所§6.氣體的輸運(yùn)過程——從非平衡態(tài)過渡到平衡態(tài)的過程二.熱傳導(dǎo)現(xiàn)象一.擴(kuò)散現(xiàn)象三.粘滯現(xiàn)象四.滲透現(xiàn)象46謝謝觀賞2019-6-29§6.氣體的輸運(yùn)過程——從非平衡態(tài)過渡到平衡態(tài)的過程二.熱一.擴(kuò)散現(xiàn)象1.微觀解釋：接觸層密度的區(qū)別，使進(jìn)入雙方的分子數(shù)不同，出現(xiàn)質(zhì)量遷移。2.基本規(guī)律——菲克定律接觸時(shí)間接觸面積擴(kuò)散系數(shù)密度梯度質(zhì)量輸運(yùn)方向3.實(shí)質(zhì)：密度不一致引起分子質(zhì)量的輸運(yùn)47謝謝觀賞2019-6-29一.擴(kuò)散現(xiàn)象1.微觀解釋：接觸層密度的區(qū)別，使進(jìn)入雙方的分子1.微觀解釋：接觸層通過交換分子，使分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能發(fā)生遷移。二.熱傳導(dǎo)現(xiàn)象3.實(shí)質(zhì)：溫度不一致引起分子熱運(yùn)動(dòng)能量的輸運(yùn)2.基本規(guī)律——傅立葉定律熱導(dǎo)率接觸面積接觸時(shí)間溫度梯度熱量傳遞方向48謝謝觀賞2019-6-291.微觀解釋：接觸層通過交換分子，使分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能發(fā)生遷移。1.實(shí)驗(yàn)規(guī)律接觸面積粘滯系數(shù)流速梯度2.實(shí)質(zhì)：氣體內(nèi)定向動(dòng)量的輸運(yùn)