第一節(jié)定積分概念

第一節(jié)定積分概念第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)定積分概念

為了解決具有可加性的連續(xù)分布的非均勻量的求和問題，人們從大量實(shí)際問題的研究中抽象出來的具有重大理論意義的定積分概念———計(jì)算一個(gè)取和式的極限。第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、定積分概念的引入1.曲邊梯形的面積

閉曲線圍成圖形的面積，通?？梢曰癁閮蓚€(gè)（或多個(gè)）曲邊梯形面積的代數(shù)和。所以求任意閉曲線圍成圖形面積的過程可以統(tǒng)一，歸結(jié)到求曲邊梯形的面積上來。第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

曲邊梯形是由三條直邊和一條曲線邊圍成的“梯形”(見右圖）。曲線由定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)給出，三條直邊分別是：第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)例一：計(jì)算曲邊梯形面積的方法

首先將曲邊梯形劃分成若干窄曲邊梯形，再用矩形面積近似替代窄曲邊梯形面積，然后通過求和逼近的途徑解決。第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⑴分割：將總量劃分為若干部分量在區(qū)間上，任意插入個(gè)分點(diǎn)：各區(qū)間長度為：第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⑵近似：用局部線性化的方法求部分量的近似值。在子區(qū)間上任取一點(diǎn)以為底

為高的窄矩形面積為第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月作為第個(gè)窄曲邊梯形面積的近似值。第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⑶求和：以部分量近似值之和作為總量的近似值。

將得到的個(gè)窄曲邊梯形面積近似值的和作為曲邊梯形面積 的近似值第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⑷逼近：無限細(xì)分，求和式極限，由近似值過渡到精確值。

設(shè)最大子區(qū)間長度為，即令，所有的子區(qū)間長度都將趨于零，此時(shí)，和式面積曲邊梯形面積第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義:

時(shí)和式的極限為曲邊梯形的面積，即第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)例二：計(jì)算直線運(yùn)動(dòng)中變力做功的方法

設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿軸做直線運(yùn)動(dòng)，與運(yùn)動(dòng)方向平行的力作用于質(zhì)點(diǎn)，力的大小是變化的，可以表示為質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，即按物理學(xué)概念，恒力的功定義為：第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

如何在恒力做功定義的基礎(chǔ)上，確定變力在質(zhì)點(diǎn)由移動(dòng)到全過程中所做的功呢？問題：第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

我們可以類似于曲邊梯形面積的計(jì)算，將整個(gè)過程分為很多子過程，變力在全過程中所做的功等于它在所有子過程中做功的代數(shù)和。

即在足夠短的子過程中近似認(rèn)為力為恒力，從而利用恒力做功的定義求解總功。第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

故在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)區(qū)間上，任意插入 個(gè)分點(diǎn)：將區(qū)間劃分為個(gè)子區(qū)間：各子區(qū)間長度分別為：第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月在子區(qū)間上任取一點(diǎn)

按恒力做功的定義，用質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)所受的力與這個(gè)子區(qū)間的長度的乘積近似表示變力在這個(gè)子過程中所做的功.

因此，變力在全過程中所做功的近似值為第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)，定義變力在全過程中對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為

上述兩個(gè)問題分屬幾何學(xué)和力學(xué)，沒有直接聯(lián)系，但是分析方法相同，若抽去問題的具體內(nèi)容，抓住變量在區(qū)間上積累的共同本質(zhì)，就可以概括出定積分的概念：第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⑴函數(shù)在區(qū)間上的定積分，是函數(shù)在區(qū)間上的積累，或者說是這個(gè)變化過程在區(qū)間產(chǎn)生的總效果。⑵解決定積分的基本方法是局部線性化方法和極限方法的結(jié)合。定積分概念包含以下兩方面內(nèi)容：第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、定積分定義

設(shè)函數(shù),在區(qū)間上,任意插入個(gè)分點(diǎn)：把分成個(gè)子區(qū)間區(qū)間長度分別為第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

在區(qū)間上任取一點(diǎn),將函數(shù)值與子區(qū)間長度的乘積 取和有——稱為Riemann和記第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果不論分點(diǎn)對(duì)區(qū)間如何分割，也不論在子區(qū)間上如何選取點(diǎn)，只要 時(shí)，Riemann和趨于確定的常數(shù)，則稱此極限值為函數(shù)在該區(qū)間上的定積分，記為——稱為Riemann和的極限第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月——稱為Riemann和的極限式中，稱為積分變量，稱為被積函數(shù)， 稱為被積表達(dá)式；稱為積分區(qū)間， 分別稱為積分下限和上限。第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月但是，如果Riemann和的極限存在就不再與分割方式和選法有關(guān)了。

應(yīng)該指出，的極限過程必然是，而不一定有。注意：⑴Riemann和隨區(qū)間的分割方式，以及在子區(qū)間上的選法不同而不同。第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⑵當(dāng)Riemann和的極限存在時(shí)，定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間 有關(guān)，與積分變量的字母表示無關(guān)，即(3)這里需要注意：定積分是個(gè)數(shù)值。第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月三、函數(shù)可積的充分條件如果存在，則稱函數(shù)可積分。

函數(shù)在區(qū)間上可積的充分條件由下述定理給出：第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1

如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上可積。定理2

如果函數(shù)在區(qū)間上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間 上可積。注：表示在區(qū)間