四邊形經(jīng)典證明與計(jì)算題 2014

四邊形經(jīng)典證明與計(jì)算題20141、題目：正方形內(nèi)的垂線和角平分線已知正方形ABCD，P為BC邊上任意一點(diǎn)，且PF垂直于AP，CF平分∠DCE。證明PA=PF。2、題目：正方形內(nèi)的平分線和垂線已知正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段OD上的一點(diǎn)，連接EC，作BF垂直于CE于點(diǎn)F，交OC于點(diǎn)G。(1)證明BG=CE；(2)若AB=4，BF是∠DBC的角平分線，求OG的長度。3、題目：正方形內(nèi)的菱形和直線交點(diǎn)已知正方形ABCD中，以對角線BD為邊作菱形BDFE，使B，C，E三點(diǎn)在同一直線上，連結(jié)BF，交CD于點(diǎn)G。(1)證明CG=CE；(2)若正方形邊長為4，求四邊形CEFG的面積。4、題目：矩形內(nèi)的中點(diǎn)和角平分線已知矩形ABCD中，延長BC至E，使BE=BD，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連結(jié)AF、CF。證明：(1)∠ADF=∠BCF；(2)AF垂直于CF。5、題目：矩形內(nèi)的平分線和中點(diǎn)在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F，G是EF的中點(diǎn)，且AD=5，DC=3。(1)求AG的長度；(2)證明BD=2DG。6、題目：正方形內(nèi)的垂線和中點(diǎn)已知正方形ABCD中，E為AD邊上的中點(diǎn)，過A作AF垂直于BE，交CD于點(diǎn)F，M是AD邊上的一點(diǎn)，且有BM=DM+CD。(1)證明點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；(2)證明∠MBC=2∠ABE。7、題目：直角梯形內(nèi)的垂線和中點(diǎn)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE垂直于AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)E，且AE=AC。(1)證明BG=FG；(2)若AD=DC=2，求AB的長度。8、題目：矩形內(nèi)的垂線和對角線已知矩形ABCD中，AC是對角線。點(diǎn)P為矩形外一點(diǎn)且滿足AP=PC，AP垂直于PC。PC交AD于點(diǎn)N，連接DP，過點(diǎn)P作PM垂直于PD交AD于M。(1)若AB=5，BC=3，求矩形ABCD的面積；(2)若CD=PM，證明AC=AP+PN。9、題目：正方形內(nèi)的垂線和中點(diǎn)已知正方形ABCD，AC為對角線，O為AC的中點(diǎn)，Q為AB上一點(diǎn)，連接CQ，DP垂直于CQ于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)P，連接OP，OQ。證明：(1)△BCQ≌△CDP；(2)OP=OQ。10、題目：正方形內(nèi)的垂線和中點(diǎn)已知正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB上和AD的延長線上，且BE=DF，連接EF，G為EF的中點(diǎn)。證明：（1）CE=CF；（2）DG垂直平分AC。11.正文：（1）如圖1所示，已知點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，連接DP和DA，求證DP=DA。證明：由于P為△ABC的內(nèi)心，所以AP、BP、CP均為△ABC的角平分線，因此∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠BCP，又因?yàn)锳BCD為正方形，所以∠ABP=∠BCP，∠ACP=∠CBP，因此△ABP≌△CBP，△ACP≌△BCP，進(jìn)而得到AP=CP，BP=CP，所以△ADP≌△CDP，從而得到DP=DA。（2）如圖2所示，已知點(diǎn)E在CB邊上，點(diǎn)F在BA的延長線上，AF=CE，點(diǎn)P為△FPE的內(nèi)心，連接DP和DF，求證DP=DF。證明：由于P為△FPE的內(nèi)心，所以EP、FP、DP均為△FPE的角平分線，因此∠EPF=∠DPF，∠FPE=∠DFP，又因?yàn)锳F=CE，所以△AFE≌△CEP，進(jìn)而得到∠AFE=∠CEP，∠AEP=∠CEP，所以∠AFE=∠AEP，從而得到∠DFP=∠DPF，因此△DFP為等腰三角形，進(jìn)而得到DP=DF。（3）如圖3所示，已知點(diǎn)E在CB邊上，點(diǎn)F在BA的延長線上，AF=CE，點(diǎn)P是△FEB中與∠FEB、∠FBE相鄰的兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，連接DP和DF，判斷DP與DF的大小關(guān)系。結(jié)論：DP>DF。12.正文：（1）如圖1所示，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD為斜邊AC上的中線，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），得到△EFD，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接BE、CF，判斷BE與CF的位置關(guān)系。結(jié)論：BE與CF相交于點(diǎn)G，且G在AC上。證明：連接AD，易得AD=BD，∠ABD=∠CBD=45°，所以△ABD為等腰直角三角形，進(jìn)而得到AD=BD=AB/√2，因此△ABD的周長為AB+2AD=AB(1+√2)，進(jìn)而得到△EFD的周長為AB(1+√2)，因此EF=AB√2，又因?yàn)锳E=AB/2，所以AF=AB/2+AB√2/2=AB(1+√2)/2，進(jìn)而得到AG=AF/√2=AB(1+√2)/2√2=AB/2(1+√2)，因此G在AC上。（2）如圖1所示，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD為斜邊AC上的中線，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），得到△EFD，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接BF、CE，請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形BFEC能形成哪些特殊四邊形。結(jié)論：在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BFEC能形成平行四邊形、矩形、菱形和正方形。（3）如圖2所示，已知△ABC中，AB≠BC，BD為斜邊AC上的中線，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），得到△EFD，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接BE、CF，直接寫出α為多少度時(shí)（1）中的兩個(gè)結(jié)論同時(shí)成立。結(jié)論：當(dāng)α=90°時(shí)，△ABD為等腰直角三角形，BE與CF相交于點(diǎn)G，且G在AC上；當(dāng)α=135°時(shí)，DP=DF，且BE與CF相交于點(diǎn)H，且H在BD上。13.正文：（1）如圖1所示，已知正方形ABCD，E在AB上，F(xiàn)在BC上，BE=BF，連接EF，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，取DF的中點(diǎn)G，連接EG、CG，猜想線段EG與CG相等且垂直。猜想：EG=CG，且EG⊥CG。（2）如圖2所示，將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，取DF的中點(diǎn)G，連接EG、CG，猜想線段EG與CG相等且平行。猜想：EG=CG，且EG//CG。證明：如圖3所示，連接AF、CD，易得AF=CD=BC，又因?yàn)锽E=BF，所以△ABE≌△CBF，進(jìn)而得到∠ABE=∠CBF，∠AEB=∠CFB，因此AE=CF，進(jìn)而得到△AED≌△CFD，進(jìn)而得到AD=CD=BC，因此AD//BC，又因?yàn)镋F⊥AB，所以EF//CD，進(jìn)而得到EF//AD，因此EF與BD平行，又因?yàn)锽E=BF，所以△BEF為等腰三角形，進(jìn)而得到EF垂直于BF，因此EF垂直于BD，進(jìn)而得到EG⊥CG，又因?yàn)镋F//BD，所以EG//CG，因此EG=CG。（3）如圖4所示，將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，取DF的中點(diǎn)G，連接EG、CG，猜想線段EG與CG相等且垂直。猜想：EG=CG，且EG⊥CG。證明：如圖5所示，連接AF、CD，易得AF=CD，又因?yàn)锽E=BF，所以△ABE≌△CBF，進(jìn)而得到∠ABE=∠CBF，∠AEB=∠CFB，因此AE=CF，進(jìn)而得到△AED≌△CFD，進(jìn)而得到AD=CD，因此AD//BC，又因?yàn)镋F⊥AB，所以EF//CD，進(jìn)而得到EF//AD，因此EF與BD平行，又因?yàn)锽E=BF，所以△BEF為等腰三角形，進(jìn)而得到EF垂直于BF，因此EF垂直于BD，進(jìn)而得到EG⊥CG，又因?yàn)镋F//BD，所以EG//CG，因此EG=CG。15.在三角形ABC中，已知AC為一邊，向外作等邊三角形ABD，且∠ACB=90°，∠CAB=30°。分別以AB和AC為邊作等邊三角形BEF和CDG。(1)如圖1，連接線段BE、CD，證明BE=CD；(2)如圖2，連接DE并交AB于點(diǎn)F，證明F為DE的中點(diǎn)。16.在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，且ED=FC，ED、FC交于點(diǎn)G。連接BG，BH平分∠GBC并交FC于點(diǎn)H，連接DH。(1)證明ED⊥FC；(2)證明△DGH為等腰直角三角形。17.如圖，在梯形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，AD//BC，∠ABC=90°，AB=BC，連接ED并過D作DF⊥BC于點(diǎn)F。(1)若∠BEC=75°，F(xiàn)C=3，求梯形ABCD的周長；(2)證明ED=BE+FC。18.在正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延長線上，點(diǎn)F在CB延長線上，且∠EAF=45°。(1)證明DE-EF=BF；(2)若AD=3，∠BAF=15°，求△AEF的面積。19.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，連接DP并過點(diǎn)B作BE⊥DP交DP的延長線于點(diǎn)E，連接AE并過點(diǎn)A作AF⊥AE交DP于點(diǎn)F，連接BF。(1)若AE=2，求EF的長度；(2)證明PF=EP+EB。20.在矩形ABCD中，E為CB延長線上一點(diǎn)，CE=AC，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)。(1)證明BF⊥DF；(2)若AB=8，AD=6，求DF的長度。21.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且∠FCE=∠BCD/2。(1)證明BF=EF-ED；(2)連結(jié)AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度數(shù)。22.在四邊形ABCD中，E為BC邊的中點(diǎn)，連接AE，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，且∠DFA=2∠BAE。(1)若∠D=105°，∠DAF=35°，求∠FAE的度數(shù)；(2)證明AF=CD+CF。23.在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，過B點(diǎn)作BG⊥AE于點(diǎn)G，交AC于H，交CD于點(diǎn)F。(1)證明F為邊BC的中點(diǎn)；(2)若正方形的邊長為4，求CH的長度；(3)若點(diǎn)M在BC上且AM=MC+CD，探究∠MAD與∠BAE的數(shù)量關(guān)系并說明理由。24.在正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，連線AE交對角線BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AE交BC于點(diǎn)G。(1)首先，由于ABCD是正方形，因此BD是對角線，所以BD平分角ABC和ADC。又因?yàn)锳E是對角線BD上的一條線段，所以角FAB=角FCD。又因?yàn)锳F=FC，所以△ABF≌△DCF。因此，角FBA=角FCD，即角FBE=角FDE。又因?yàn)镕G⊥AE，所以角FGE=90°-角FBE=90°-角FDE，即角FGE=角EDF。又因?yàn)锳BCD是正方形，所以角ABD=90°，因此角FBD=90°-角ABD=90°-角CBD。又因?yàn)镕G⊥AE，所以角AFG=90°，因此角FGE+角AFG=90°+角EDF=180°，即角FGE+角FBD=180°。因此，AF=FG。(2)連線EG。由于AE是對角線BD上的一條線段，所以角AEB=角DEB。又因?yàn)锳BCD是正方形，所以角ABD=90°，因此角AEB+角ABD=90°+角DEB，即角AED=90°。又因?yàn)镕G⊥AE，所以角AFG=90°，因此角FGE+角AFG=90°+角EDF=180°，即角FGE+角FBD=180°。因此，△EGB≌△DEC，所以EG=DE+BG。25.在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，過點(diǎn)D作DF⊥DE，與BC延長線交于點(diǎn)F，連接EF與CD交于點(diǎn)G，與對角線BD交于點(diǎn)H。(1)因?yàn)锳BCD是正方形，所以AB=BC=CD=DA。又因?yàn)镈F⊥DE，所以△DEF是等腰直角三角形，因此DE=EF。又因?yàn)锽F=BD=2，所以BE=BD-BF=2-2=0。因此，BE的長為0。(2)連線FH。因?yàn)锳BCD是正方形，所以BD是對角線，所以BD平分角ABC和ADC。又因?yàn)锳E是對角線BD上的一條線段，所以角FAB=角FCD。又因?yàn)锳F=FC，所以△ABF≌△DCF。因此，角FBA=角FCD，即角FBE=角FDE。又因?yàn)镋F⊥DF，所以角FED=90°-角FDE，即角FED=90°-角FBE，即角FED=90°-角FCD。又因?yàn)锳E是對角線BD上的一條線段，所以角AEB=角DEB。又因?yàn)锳BCD是正方形，所以角ABD=90°，因此角AEB+角ABD=90°+角DEB，即角AED=90°。又因?yàn)镋F⊥DF，所以角DEF=90°，因此角FED+角DEF=180°，即角FED+90°=180°，即角FED=90°。因此，角AED+角FED=180°，即角AED=90°-角FED，即角AED=90°-(90°-角FCD)=角FCD。因此，△ADE≌△FCB，因此AE=FC=BG。又因?yàn)镋F⊥DF，所以角FED=90°，因此角FEG+角GED=90°，即角FEG+角FCD=90°。因此，△FEG與△FCD相似，因此FH=HE+HD。26.在三角形ABC中，AC=BC，點(diǎn)D在三角形ABC的外部，且AD⊥BD，AD交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CG⊥CD，交AD于點(diǎn)G。若CG=BD，則AB=AC+CE。連接AG，BG，DG。因?yàn)锳C=BC，所以角ACB=角BCA，即角ACB=45°。又因?yàn)锳D⊥BD，所以角ADB=90°。因此，角GDC=45°。又因?yàn)镃G⊥CD，所以角DCG=90°。因此，角GCD=45°。因此，角GCB=45°。又因?yàn)镃G=BD，所以角CBG=45°。因此，角ABG=90°-角CBG=45°。又因?yàn)锳C=BC，所以角ABC=90°-角ACB=45°。因此，△ABG是等腰直角三角形，因此AB=AG=BG=AC+CE。27.在矩形ABCD外一點(diǎn)E，DE⊥BD于點(diǎn)D，DE=CE，BD的垂直平分線交AD于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G，連接EF交BD于點(diǎn)H。(1)因?yàn)镈E⊥BD，所以角BDE=90°。又因?yàn)镈E=CE，所以角DEC=45°。因此，角BDC=135°。又因?yàn)锽D的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)E，所以角EBD=45°。因此，角EBG=90°。又因?yàn)镋F⊥BD，所以角EFG=90°。因此，△EFG與△EBG相似，因此EH=HG。又因?yàn)锽D的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)E，所以角EBD=45°。因此，角FBD=45°。又因?yàn)锽D的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)F，所以角FBG=45°。因此，角ABG=45°+45°=90°。(2)因?yàn)镈E⊥BD，所以角BDE=90°。又因?yàn)镈E=CE，所以角DEC=45°。因此，角BDC=135°。又因?yàn)锽D的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)E，所以角EBD=45°。因此，角EBG=90°。又因?yàn)镋F⊥BD，所以角EFG=90°。因此，△EFG與△EBG相似，因此EH=HG。又因?yàn)镋F⊥BD，所以角EFG=90°。因此，角HFG=45°。又因?yàn)镋F是矩形ABCD的對角線，所以角AFB=90°。因此，角AFG=45°。因此，△AFG是等腰直角三角形，因此AH=AG=CE+EH=CE+HG。28.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，連接DE，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，且CF⊥DE，點(diǎn)M為線段CF上的一點(diǎn)，使得DM=BE，CM=BC。證明：∠DCM=1/3∠DMF。連接BM，AM，CN，DN。因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以AB∥CD，因此∠DCM=180°-∠MCF。又因?yàn)镃F⊥DE，所以∠FDE=90°，因此∠DMF=2∠FDE=180°-2∠MCF。因此，∠DCM=1/3∠DMF。29.在菱形ABCD中，點(diǎn)E在BC延長線上，連接AE，使得∠B=∠E，過點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H。證明：AH=CE+EH。連接BD，因?yàn)锳BCD是菱形，所以AB=BC=CD=DA，因此∠ABC=∠ACB=30°。又因?yàn)椤螧=∠E，所以∠ABE=∠BCE=30°。因此，△ABE與△CBE相似，因此AE/CE=BE/BE=1，因此AE=CE。又因?yàn)镈H⊥