2022-2023學(xué)年廣東省高三上學(xué)期12月數(shù)學(xué)素質(zhì)評(píng)價(jià)卷一2

廣東省2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月素質(zhì)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)卷一班別：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿學(xué)號(hào)：＿＿＿＿＿一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則(

)A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是(

)A． B． C． D．3．我國(guó)古代建筑的屋頂對(duì)建筑立面起著特別重要的作用，古代建筑屋頂主要有廡殿式、硬山頂、歇山頂、懸山頂、攢尖頂、盝頂、卷棚頂?shù)阮愋?，其中硬山式屋頂造型的最大特點(diǎn)是比較簡(jiǎn)單、樸素，只有前后兩面坡，而且屋頂在山墻墻頭處與山墻齊平，沒有伸出部分，山面裸露沒有變化．硬山式屋頂(如圖1)可近似地看作直三棱柱(如圖2)，其高為10m，到平面的距離為，AB為4m，則可估算硬山式屋頂?shù)捏w積約為(

)A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，若函數(shù)在上的大致圖象如圖所示，則的解析式可能是(

)A． B．C． D．5．已知，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為(

)A． B． C． D．6．已知P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，分別為該橢圓的左、右焦點(diǎn)，B為短軸一端點(diǎn)，如果長(zhǎng)度的最大值為2b，則使為直角三角形的點(diǎn)P共有(

)個(gè)A．8個(gè) B．4個(gè)或6個(gè) C．6個(gè)或8個(gè) D．4個(gè)或8個(gè)7．質(zhì)數(shù)也叫素?cái)?shù)，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林-梅森曾對(duì)“”(p是素?cái)?shù))型素?cái)?shù)進(jìn)行過較系統(tǒng)而深入的研究，因此數(shù)學(xué)界將“”(p是素?cái)?shù))形式的素?cái)?shù)稱為梅森素?cái)?shù)．已知第12個(gè)梅森素?cái)?shù)為，第14個(gè)梅森素?cái)?shù)為，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為(

)(參考數(shù)據(jù)：)A． B． C． D．8．已知，，，下列說法正確的是(

)A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．一組數(shù)據(jù)，，…，是公差為-1的等差數(shù)列，若去掉首末兩項(xiàng)，后，則(

)A．平均數(shù)變大 B．中位數(shù)沒變C．方差變小 D．極差沒變A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為11．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為線段上動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))．則下列結(jié)論正確的是(

)A．當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．記過點(diǎn)P平行于平面的平面為，截正方體截得多邊形的周長(zhǎng)為C．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，異面直線與所成角為D．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為12．已知函數(shù)，，下列判斷中，正確的有(

)A．存在，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)B．存在常數(shù)a，使為奇函數(shù)C．若在區(qū)間上最大值為，則的取值范圍為或D．存在常數(shù)a，使在上單調(diào)遞減三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在的二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則所有項(xiàng)的系數(shù)和等于______14．已知函數(shù)，則______．15．若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，若，則______．16．若不等式對(duì)任意恒成立，則a的取值范圍是_______________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)△ABC中，，，，．(1)若，，求的長(zhǎng)度；(2)若為角平分線，且，求△ABC的面積．18．(本小題滿分12分)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且是與的等比中項(xiàng)，數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，對(duì)任意總有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．19．(本小題滿分12分)還原糖不達(dá)標(biāo)會(huì)影響糖果本身的風(fēng)味，同時(shí)還原糖偏高又會(huì)使糖果吸潮，易使糖果變質(zhì)，不耐貯存，影響糖果的質(zhì)量．還原糖主要有葡萄糖、果糖、半乳糖、乳糖、麥芽糖等．現(xiàn)采用碘量法測(cè)定還原糖含量，用0.05mol/L硫代硫酸鈉滴定標(biāo)準(zhǔn)葡萄糖溶液，記錄耗用硫代硫酸鈉的體積數(shù)(mL)，試驗(yàn)結(jié)果見下表．葡萄糖溶液體積24681012硫代硫酸鈉體積0.902.503.504.706.007.24參考數(shù)據(jù)：217.2824.84364(1)由如圖散點(diǎn)圖可知，與有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，試求關(guān)于的線性回歸方程；(2)某工廠抽取產(chǎn)品樣本進(jìn)行檢測(cè)，所用的硫代硫酸鈉溶液大約為2.90mL，則該樣本中所含的還原糖大約相當(dāng)于多少體積的標(biāo)準(zhǔn)葡萄糖溶液?附：回歸方程中，，．20．(本小題滿分12分)某校積極開展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E，F(xiàn)，G分別是邊長(zhǎng)為4的正方形的三邊AB，CD，AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段EF折起，連接AB，CG就得到了一個(gè)“芻甍”(如圖2)．(1)若O是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；(2)若二面角的大小為，求平面與平面ABE夾角的余弦值．21．(本小題滿分12分)已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l交C的左支于A，B兩點(diǎn)．(1)若，求l的方程；(2)若點(diǎn)，直線AP交直線于點(diǎn)Q．設(shè)直線QA，QB的斜率分別，，求證：為定值．22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)(，)(1)若曲線在處的切線的斜率為，求a的值；(2)若，在上存在唯一零點(diǎn)，求b的值．答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678CBBDCBCC二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9101112BCBCDACDBC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．114．15．16．1．【答案】C【詳解】由，得或，又，得，即，顯然，，所以，．故選：C．2．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的虛部為．故選：B．3．【答案】B【詳解】如圖，過作于，又在直三棱柱中，到平面的距離為，即，又，，所以該柱體體積為．故選：B．4．【答案】D【詳解】易知為偶函數(shù)，由，則為奇函數(shù)，由圖象可知，該函數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，所以是非奇非偶函數(shù)，A，B不符合題意，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，無意義，所以C不符合題意．故選：D．5．【答案】C【詳解】依題意得，，故在方向上的投影向量的坐標(biāo)為．故選：C．6．【答案】B【詳解】當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，可得滿足的點(diǎn)P有2個(gè)；當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，可得滿足的點(diǎn)P有2個(gè)；因?yàn)锽為短軸一端點(diǎn)，令，長(zhǎng)度的最大值為2b，所以說明橢圓與圓有且僅有短軸另一端點(diǎn)這唯一交點(diǎn)，設(shè)，所以，即，所以，聯(lián)立，得，又，所以，又，所以，所以，所以即，當(dāng)時(shí)，P為下頂點(diǎn)，此時(shí)最大為直角，根據(jù)對(duì)稱滿足的點(diǎn)P有2個(gè)，當(dāng)時(shí)，P為下頂點(diǎn)，此時(shí)為銳角，滿足的點(diǎn)P有0個(gè)，所以使為直角三角形的點(diǎn)P共有4個(gè)或6個(gè)，故選：B．7．【答案】C【詳解】依題意得，令，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得，所以，所以，結(jié)合選項(xiàng)知與最接近的數(shù)為．故選：C．8．【答案】C【詳解】設(shè)，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，又在單調(diào)遞增，所以，即，所以b>a；設(shè)，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，所以；綜上所述，．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．【答案】BC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，對(duì)于選項(xiàng)B，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，去掉，后的中位數(shù)仍為，即中位數(shù)沒變，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)公差為d，則原數(shù)據(jù)的方差為去掉，后的方差為即方差變小，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，原數(shù)據(jù)的極差為，去掉，后的極差為，即極差變小，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A：，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，，可得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則，，可得，B正確；，累加得，時(shí)也符合；累加得，時(shí)也符合，所以，C正確；對(duì)于D，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，又，所以，D正確．故選：BCD．11．【答案】ACD【詳解】對(duì)A，由于，顯然平面，又，所以P在任何位置時(shí)到平面的距離相等，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)B，由P在上且，故截面為，所以截面周長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，由于為正方形，所以，又，所以，故C正確；對(duì)D，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，，所以在正方體中平面，由，，所以，，則外接圓直徑，則三棱錐的外接球的直徑，所以三棱錐的外接球表面積為，故D正確．故選：ACD．12．【答案】BC【詳解】由，如圖，所以函數(shù)的圖象與直線不可能有4個(gè)交點(diǎn)，所以不存在使函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值為；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若最大值為，則有，即，由，所以，解得；綜上，在區(qū)間上最大值為，則a的取值范圍為或，C選項(xiàng)正確；．故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【答案】【詳解】由的二項(xiàng)式系數(shù)和為，得，所以的所有項(xiàng)的系數(shù)和為．故答案為：．14．【答案】【詳解】由已知，，則，所以，，所以．故答案為：．15．【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，即，因?yàn)?，且的半徑?，故弦的弦心距為，即圓心到直線的距離為，故，解得，即，故．故答案為：．16．【答案】【詳解】由，令，，則，顯然為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故存在使得，即，所以當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，所以，即，所以，．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)解：(1)因?yàn)?，，所以，………………?分又因?yàn)樵凇鰽BC中，，，，所以，……3分所以，即；…………………4分(2)在△ABC中，，…………………5分又因?yàn)?，?分所以，所以，所以，……9分所以．…………10分18．(本小題滿分12分)解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，依題意有，即，得或，………2分故的通項(xiàng)公式為或(其中)，………………3分因?yàn)?，所以，，………?分所以，………………5分且，滿足，所以；………………6分(2)因?yàn)?，所以，所以，…………………?分所以，………9分所以……10分顯然隨n的增大而增大，從而恒成立，…………………11分所以，故的最小值為．…………12分19．(本小題滿分12分)解：(1)由表中數(shù)據(jù)可知，，……………………2分，………………4分所以，…………6分所以，………………8分故y關(guān)于x的線性回歸方程為；………9分(2)把代入中，有，解得，…………11分故該樣本中所含的還原糖大約相當(dāng)于5mL的標(biāo)準(zhǔn)葡萄糖溶液．…………………12分20．(本小題滿分12分)解：(1)取線段CF中點(diǎn)H，連接OH，GH，………1分由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且，所以O(shè)是線段BF與CE的中點(diǎn)，所以且，…………………2分又由圖1可知，且，且，所以在圖2中，且，………3分所以且，所以四邊形AOHG是平行四邊形，則，……………4分由于平面GCF，平面GCF，所以平面GCF；……………5分(2)由圖1，，，折起后在圖2中仍有，，所以為二面角的平面角，即，…………………6分以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為x軸和y軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，又，則，，，………7分所以，，…………………8分設(shè)平面OAB的一個(gè)法向量，由，得，取，則，，于是平面的一個(gè)法向量，………10分易知平面ABE的一個(gè)法向量，…………11分所以，所以平面ABE與平面OAB夾角的余弦值為．………………12分21．(本小題滿分12分)解：(1)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線為，與雙曲線C的左支有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，舍去；………1分當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)，……………2分由于過點(diǎn)F作直線l交C的左支于A，B兩點(diǎn)，而雙曲線漸近線為，故直線的斜率或，解得，………3分設(shè)，，聯(lián)立，消x得，……………………4分所以，，……………………5分又，則，所以，得，所以，解得，所以l的方程為；……………6分(2)由直線，得，………7分則，所以，………………9分又，，所以，…………………10分所以．……12分22．(本小題滿分12分)解：(1)由，則，………