初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)專(zhuān)題經(jīng)典整理版

初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)專(zhuān)題經(jīng)典[整理版]《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)一、圓的概念圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。圓的外部可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，圓的內(nèi)部可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。軌跡形式的概念：以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡。另外，到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（也叫中垂線(xiàn)）；到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線(xiàn)；到直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是平行于這條直線(xiàn)且到這條直線(xiàn)的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線(xiàn)；到兩條平行線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是平行于這兩條平行線(xiàn)且到兩條直線(xiàn)距離都相等的一條直線(xiàn)。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分為三種情況：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外。點(diǎn)在圓內(nèi)的條件是d<r，點(diǎn)在圓上的條件是d=r，點(diǎn)在圓外的條件是d>r。三、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系分為三種情況：直線(xiàn)與圓相離，直線(xiàn)與圓相切，直線(xiàn)與圓相交。直線(xiàn)與圓相離的條件是d>r，直線(xiàn)與圓相切的條件是d=r，直線(xiàn)與圓相交的條件是d<r。四、圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系分為五種情況：外離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含。外離的條件是d>R+r，外切的條件是d=R+r，相交的條件是R-r<d<R+r，內(nèi)切的條件是d=R-r，內(nèi)含的條件是d<R-r。五、垂徑定理垂徑定理是指垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1包括四個(gè)定理，其中共5個(gè)結(jié)論，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論。推論2是指圓的兩條平行弦所夾的弧相等。例題1、基本概念下面四個(gè)命題中正確的一個(gè)是：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。A.垂徑定理1.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑，平分一條弧的直線(xiàn)垂直于這條弧所對(duì)的弦，弦的垂線(xiàn)必過(guò)這條弦所在圓的圓心，在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和它所對(duì)弦的直線(xiàn)必過(guò)這個(gè)圓的圓心。2.正確的命題是：過(guò)弦的中點(diǎn)的直線(xiàn)必過(guò)圓心，弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)連線(xiàn)垂直平分弦，且過(guò)圓心，弦的垂線(xiàn)平分弦所對(duì)的弧。B.度數(shù)問(wèn)題1.已知在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，如果油的最大深度為16cm，那么油面寬度AB是多少厘米。2.已知在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，如果油面寬度是48cm，那么油的最大深度為多少厘米。3.已知在⊙O中，弦AB=CD，且AB⊥CD，垂足為H，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F。(1)求證：四邊形OEHF是正方形。(2)若CH=3，DH=9，求圓心O到弦AB和CD的距離。C.相交問(wèn)題如圖，已知⊙O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的長(zhǎng)。D.平行問(wèn)題在直徑為50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求AB與CD之間的距離。E.同心圓問(wèn)題如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB，交小圓于C、D兩點(diǎn)，設(shè)大圓和小圓半徑分別為a,b，求證：AD×BD=a-b。F.平行與相似已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F。求證：EC=FD。G.圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱(chēng)1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：①∠AOB=∠DOE；②AB=DE；EC=FD。九、切線(xiàn)的性質(zhì)與判定定理切線(xiàn)的判定定理：如果一條直線(xiàn)過(guò)半徑外端且垂直于半徑，那么它就是切線(xiàn)。這個(gè)定理有兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可。例如，在圖7-107中，因?yàn)镸N垂直于OA且MN過(guò)半徑OA外端，所以MN是⊙O的切線(xiàn)。切線(xiàn)的性質(zhì)定理：切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。由此可以得出兩個(gè)推論：一是過(guò)圓心垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)，二是過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)圓心。這三個(gè)定理及推論也稱(chēng)為二推一定理，因?yàn)橹灰榔渲袃蓚€(gè)條件，就能推出最后一個(gè)。切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。例如，在圖7-107中，如果PA、PB是的兩條切線(xiàn)，那么PA=PB，且OP平分∠BPA。利用切線(xiàn)性質(zhì)計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)度例如，在圖中，已知AB是⊙O的直徑，P為延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又PC=4，⊙O的半徑為3，求OD的長(zhǎng)。根據(jù)切線(xiàn)性質(zhì)可知，CD=PC=4，因?yàn)锳B是直徑，所以O(shè)D=OA-AD=3-2=1。利用切線(xiàn)性質(zhì)計(jì)算角的度數(shù)例如，在圖中，已知AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)與AE的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F，且AF=BF，求∠A的度數(shù)。根據(jù)切線(xiàn)性質(zhì)可知，∠ACD=∠ABF=90°，因?yàn)锳B是直徑，所以∠ACB=180°，又∠ACE=90°，所以∠A=∠ACE-∠ACB=90°-180°=-90°。利用切線(xiàn)性質(zhì)證明角相等例如，在圖中，已知AB為⊙O的直徑，過(guò)A作弦AC、AD，并延長(zhǎng)與過(guò)B的切線(xiàn)交于M、N，求證：∠MCN=∠MDN。因?yàn)锳B是直徑，所以∠ACD=∠ABM=90°，所以四邊形ABCD是一個(gè)矩形。因?yàn)镸N是切線(xiàn)，所以∠MNC=∠MDC，所以∠MCN=∠MDN。利用切線(xiàn)性質(zhì)證線(xiàn)段相等例如，在圖中，已知AB是⊙O的直徑，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E，求證：CD=CE。因?yàn)锳B是直徑，所以∠ACD=∠ABD=90°，所以四邊形ABCD是一個(gè)矩形。因?yàn)镃D是切線(xiàn)，所以∠DCO=∠DBC，所以三角形ADE和三角形ACO相似，因此CE/CO=AD/AC，即CE=CD。利用切線(xiàn)性質(zhì)證兩直線(xiàn)垂直例如，在圖中，已知△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E，求證：DE⊥AC。因?yàn)锳B是直徑，所以∠ACD=∠ABD=90°，所以四邊形ABCD是一個(gè)矩形。因?yàn)镈E是切線(xiàn)，所以∠DEC=∠DBC，所以三角形ADE和三角形ACO相似，因此∠ADE=∠ACO=45°，所以DE⊥AC。十一、圓冪定理相交弦定理：如果圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線(xiàn)段的乘積相等。例如，在⊙O中，因?yàn)橄褹B、CD相交于點(diǎn)P，所以PA×PB=PC×PD。推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成比例中項(xiàng)。例如，在⊙O中，因?yàn)橹睆紸B垂直于CD，所以CE=AE×BE。切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。例如，在圖中，如果PA是切線(xiàn)，PB是割線(xiàn)，那么PA/PC=PB/PO。（2）面積公式：SA2nR；2、圓柱：（1）側(cè)面積公式：S2rh；（2）體積公式：Vr2h；3、圓錐：（1）側(cè)面積公式：Srl；（2）體積公式：V1/3r2h。例1.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過(guò)A作半圓切線(xiàn)，切點(diǎn)為F，交CD于E，求DE：AE的值。解：首先，連接OF，OE，AF，AE，DE，如圖1所示。由于BC為直徑，所以∠OBC＝90°，∠OAC＝90°，因此，△OAF和△OED都是直角三角形。由于OF為半圓O的直徑，所以O(shè)F＝R＝1/2。由于AE是半圓O的切線(xiàn)，所以∠OAE＝90°，因此，△OAE也是直角三角形。根據(jù)勾股定理，得：OE＝√(OF2EF2)＝√(1/4(1AE)2)；AE＝√(OF2AF2)＝√(1/4(1OE)2)；DE＝AEAD＝AE1。將OE的值代入AE的式子中，得：AE＝√(1/4(1√(1/4(1DE)2))將AE的值代入DE的式子中，得：DE＝√(1/4(1√(1/4(1√(1/4(1DE)2)))解得DE＝0.158，AE＝0.843。因此，DE：AE＝0.187：1。例2.⊙O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。解：首先，連接OE，如圖2所示。由于AE＝6cm，BE＝2cm，所以AB＝AE＋EB＝8cm。由于CD是弦，所以CE＝CD－DE。根據(jù)割線(xiàn)定理，得：CE＝CDAE/BE－AB/BE＝76/2－8/2＝10cm。因此，CE＝10cm。例3.如圖3，P是⊙O外一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，PAB是⊙O的割線(xiàn)，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是___________cm。解：首先，連接OB，如圖3所示。由于PC是切線(xiàn)，所以∠OCP＝90°。由于PAB是割線(xiàn)，所以根據(jù)割線(xiàn)定理，得：PCPB＝PAPA＝(PA)25(R2OP2)。由于PA：PB＝1：4，所以PA＝10cm，PB＝40cm。將PC，PA，PB的值代入上式，得：(10)25(100OP2)。解得OP＝6cm。因此，圓心O到AB的距離是6cm。公式1：nR2=lR（2）扇形面積公式：S=360/2n×R2×sin（l/R）公式2：圓柱側(cè)面展開(kāi)圖面積：S=2πrh，表面積：S=2πr2+2πrh，體積：V=πr2h公式3：圓錐側(cè)面展開(kāi)圖面積：S=πRr+πr2，表面積：S=S側(cè)+S底=πRr+πr2+πr√(h2+r2)，體