2022-2023學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣=（

）A． B．C． D．2【答案】C【分析】求出即得解.【詳解】解：由題意可得，所以，所以.故選：C2．函數(shù)f（x）=lnx-的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，求得，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)，可得，，可得，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了零點(diǎn)的存在定理的應(yīng)用，其中解答中熟記零點(diǎn)的存在定理，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．已知橢圓的方程為，弦AB過橢圓的焦點(diǎn)F1，另一焦點(diǎn)為F2，則△ABF2的周長為（

）A．8 B．10 C．16 D．20【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義計算周長即可.【詳解】由題意可知的周長為20，故選:D.4．如圖所示，點(diǎn)E為的邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖像將用表示，即可得出答案.【詳解】解：.故選：C.5．若直線與直線平行，則實數(shù)的值為（

）A．2或0 B．或1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)直線平行建立等式即可得解，注意檢驗重合.【詳解】由題：直線與直線平行，所以，解得：或.當(dāng)時，兩條直線為與直線重合，所以舍去，當(dāng)時符合題意.故選：C6．橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，設(shè)某條弦過點(diǎn)P且以P為中點(diǎn)，那么這條弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法得到直線斜率和中點(diǎn)之間的關(guān)系，即可得解.【詳解】設(shè)滿足題意的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則，，兩式相減得，即.又直線過，由此可得所求的直線方程為，所以弦所在直線的方程為，故選：B.7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線、分別交雙曲線左、右支于另一點(diǎn)、，，且，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】B【分析】利用定義求出，，根據(jù)雙曲線的對稱性可得為平行四邊形，從而得出，在內(nèi)使用余弦定理可得出與的等量關(guān)系，從而得出雙曲線的離心率.【詳解】由題意，，，，.連接、，根據(jù)雙曲線的對稱性可得為平行四邊形，，，由余弦定理可得，，，故選B.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式，從而求出的值.本題是利用點(diǎn)到直線的距離等于圓半徑構(gòu)造出關(guān)于的等式，最后解出的值.8．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”.“黃金分割”是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的要素之一，它表現(xiàn)了恰到好處的和諧，其比值為，這一比值也可以表示為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知,再根據(jù)二倍角公式化簡整理即可得答案.【詳解】解:因為，,所以,所以故選:C二、多選題9．拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)，用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，定義事件：A=“”，B=“xy為奇數(shù)”，C=“”，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．事件A與B互斥 B．事件A與B是對立事件C．事件B與C相互獨(dú)立 D．事件A與C相互獨(dú)立【答案】BC【分析】根據(jù)對立和互斥事件的定義即可判斷AB，根據(jù)古典概型以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可判斷CD.【詳解】對于，因為，所以與必是一奇一偶，又當(dāng)為奇數(shù)時，與都是奇數(shù)，所以事件和不能同時發(fā)生，即與互斥，故A正確；對于，因為事件和不能同時發(fā)生，但它們可以同時不發(fā)生，如，即與不對立，故B不正確；對于的所有可能的結(jié)果如下表：123456123456，，且，故選項C錯誤；對于，，則有與相互獨(dú)立，故D正確.故選：BC10．已知曲線：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則曲線表示雙曲線B．曲線可能表示一個圓C．若曲線是橢圓，則其長軸長為D．若，則曲線中過焦點(diǎn)的最短弦長為【答案】AD【分析】由雙曲線方程特征知A正確；假設(shè)曲線表示圓，可得所需方程，由方程無解知B錯誤；由曲線表示橢圓可確定，進(jìn)而得到長軸長，知C錯誤；由橢圓過焦點(diǎn)最短弦為通徑，由通徑長為可知D正確.【詳解】對于A，，，，滿足雙曲線方程，A正確；對于B，若曲線表示圓，則，方程無解，則曲線不能表示圓，B錯誤；對于C，恒成立，若曲線表示橢圓，則，則長軸長為，C錯誤；對于D，若，則，則過焦點(diǎn)的最短弦為通徑，通徑長為，D正確.故選：AD.11．以下四個命題表述正確的是（

）A．直線恒過點(diǎn)（-3，-3）B．圓上有且僅有3個點(diǎn)到直線的距離都等于1C．圓與圓恰有三條公切線，則m=4D．已知圓，過點(diǎn)P（3，4）向圓C引兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB方程為【答案】BCD【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)、點(diǎn)到直線距離、圓與圓的位置關(guān)系，相交弦所在直線方程等知識對選項進(jìn)行分析，由此確定正確選項.【詳解】A選項，，，所以定點(diǎn)為，A錯誤.B選項，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓心到直線的距離為，所以圓上有且僅有3個點(diǎn)到直線的距離都等于1，B選項正確.C選項，圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為，由于、有三條公切線，所以兩個圓外切，所以，，C選項正確.D選項，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為.，以為直徑的圓的方程為，即，則所在直線方程為，.D選項正確.故選：BCD12．拋物線的焦點(diǎn)為F，P為其上一動點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動到時，，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的方程為B．存在直線，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱C．的最小值為6D．當(dāng)直線過焦點(diǎn)F時，以AF為直徑的圓與y軸相切【答案】ACD【分析】根據(jù)得到故,A正確，中點(diǎn)在拋物線上，B錯誤,，C正確，計算D正確，得到答案.【詳解】,故，,故,A正確；設(shè),設(shè)中點(diǎn)，則，相減得到,即,因為A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱，所以,故,故,點(diǎn)在拋物線上，不成立，故不存在，B錯誤；過作垂直于準(zhǔn)線于,則，當(dāng)共線時等號成立，故C正確；如圖所示：為中點(diǎn)，故,故為直徑的圓與軸相切，故D正確；故選：ACD.三、填空題13．已知α為銳角，且cos(α＋)＝，則sinα＝．【答案】【詳解】．點(diǎn)睛：本題考查三角恒等關(guān)系的應(yīng)用．本題中整體思想的應(yīng)用，將轉(zhuǎn)化成，然后正弦的和差展開后，求得，代入計算即可．本題關(guān)鍵就是考查三角函數(shù)中的整體思想應(yīng)用，遵循角度統(tǒng)一原則．14．過點(diǎn)引圓切線，則切線長是.【答案】3【分析】根據(jù)切線的垂直關(guān)系即可由勾股定理求解.【詳解】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，得到圓心坐標(biāo)為，圓的半徑，，切線長是，故答案為：315．若圓與圓相切，則的值為【答案】或【解析】根據(jù)兩圓的方程，先得到圓心坐標(biāo)和半徑，由兩圓相切，討論內(nèi)切和外切兩種情況，即可得出結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為；由整理得，則圓的圓心為，半徑為；因為兩圓相切，若兩圓外切，則有，即，解得；若兩圓內(nèi)切，則有或，即或（舍），解得.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查由兩圓相切求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.16．一個球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高.球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高.2022北京冬奧會的吉祥物“冰墩墩”（如圖1）深受廣大市民的喜愛，它寓意著創(chuàng)造非凡、探索未來，體現(xiàn)了追求卓越、引領(lǐng)時代，以及面向未來的無限可能它的外形可近似抽象成一個球缺與一個圓臺構(gòu)成的組合體（如圖2），已知該圓臺的底面半徑分別和，高為，球缺所在球的半徑為，則該組合體的體積為．

【答案】/【分析】求出球缺的高，根據(jù)球缺的體積公式以及圓臺的體積公式，即可求得答案.【詳解】由題意知圓臺的體積為，如圖可知，則球心到圓臺上底面的距離為，

故球缺的高為，故球缺的體積為，所以組合體的體積為，故答案為：．四、解答題17．《中華人民共和國民法典》于2021年1月1日正式施行.某社區(qū)為了解居民對民法典的認(rèn)識程度，隨機(jī)抽取了一定數(shù)量的居民進(jìn)行問卷測試(滿分：100分)，并根據(jù)測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計該組測試成績的平均數(shù)和第57百分位數(shù)；（3）該社區(qū)在參加問卷且測試成績位于區(qū)間和的居民中，采用分層隨機(jī)抽樣，確定了5人.若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為該社區(qū)民法典宣講員，設(shè)事件“兩人的測試成績分別位于和”，求.【答案】（1）；（2）平均數(shù)，第57百分位數(shù)為；（3）.【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1可求得；（2）用頻率分布直方圖中每組數(shù)據(jù)中間值乘以該組頻率相加即得均值，第57百分位數(shù)，即頻率對應(yīng)的值，先估算其在哪一組中，然后再根據(jù)比例求解；（3）確定位于區(qū)間和的人數(shù)，把人進(jìn)行編號，用列舉法寫出任取2人的所有基本事件，并得出事件含有的基本事件，計數(shù)后可得概率．【詳解】解：（1）由已知，解得.（2）測試成績的平均數(shù).測試成績落在區(qū)間的頻率為，落在區(qū)間的頻率為，所以設(shè)第57百分位數(shù)為，有，解得.（3）由題知，測試分?jǐn)?shù)位于區(qū)間?的人數(shù)之比為，所以采用分層隨機(jī)抽樣確定的5人，在區(qū)間中3人，用，，表示，在區(qū)間中2人，用，表示.從這5人中抽取2人的所有可能情況有：，，，，，，，，，，共10種.其中“落在區(qū)間和”有6種.所以.18．在①，②，③，這三個條件中任選一個補(bǔ)充在橫線上，回答下面問題.在中，已知內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若___________.(1)求A的值；(2)若邊長，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換即可求解，（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）若選①：由及正弦定理有：，由于，所以，由于，即所以所以；若選②：，由正弦定理得，即，，又，所以；若選③：，由正弦定理得，即，，，由于，所以；（2）由余弦定理得：，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則，則面積的最大值為19．如圖，在四棱錐中，平面為中點(diǎn)且.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接.因為中，為中點(diǎn)，所以且.又因為且，所以且.所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面平面，所以平面.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，所以平面的法向量為設(shè).又，，設(shè)面的一個法向量為，則有：，可求得平面的一個法向量為.設(shè)二面角大小為，則，所以，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的證明，考查了利用空間向量夾角公式求二面角的余弦值問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力.20．已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心C在直線上.(1)求圓C的方程：(2)若過點(diǎn)的直線m被圓C截得的弦長為，求直線m的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）利用幾何法聯(lián)立直線剛才得圓心，即可求解，（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓的弦長公式即可求解.【詳解】（1）因為，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率，因此線段的垂直平分線方程是，即.圓心的坐標(biāo)是方程組的解.解得，所以圓心的坐標(biāo).圓的半徑長所以圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（2）因為直線被圓截得的弦長為，所以圓到直線的距離.①當(dāng)直線的斜率不存在時，，符合題意.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，即.所以，解得.直線的方程為或21．如圖，已知圓，Q是圓上一動點(diǎn)，AQ的垂直平分線交直線CQ于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程：(2)過點(diǎn)A作傾斜角為的直線l交軌跡E于B，D兩點(diǎn)，求|BD|的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)定義得出雙曲線的方程；（2）設(shè)方程聯(lián)立方程組應(yīng)用弦長公式計算弦長即可.【詳解】（1）由題意得在的延長線上，，在的延長線上，，軌跡是以為焦點(diǎn)，實軸長為的雙曲線,軌跡的方程為.（2）設(shè)切線的方程為，代入，消元得.設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則所以.22．已知拋物線C：，P是C上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PO為半徑的圓（O為原點(diǎn)）交C的準(zhǔn)線l于A，B兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線C的方程.(2)過點(diǎn)P作直線PM，PN分別交C于M，N兩點(diǎn)，且使∠MPN的平分線與y軸垂直，問：直線MN的斜率是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由.【答案】(1)(2)直線的斜率為定值【分析】（1）根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程