第七章 解線性方程組的迭代法

第七章解線性方程組的迭代法第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月※

求解線性方程組的迭代法與消去法不同，不能通過有限次算術(shù)運算求得方程組的精確解，而是逐次逼近它，直到滿足精度要求為止。因此，凡是迭代法都有其收斂性與誤差估計的問題。迭代法的迭代格式很多，這里我們只介紹最基本的且是常用的簡單迭代法和塞德爾迭代法?！?.1簡單迭代法及其收斂性一、引例：首先用一個具體例子來說明簡單迭代法的基本思想。第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]解方程組第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月用任意一組近似值代入（7.2）式右端就可以得出一組新的近似值于是，對于給定的初值，是用迭代格式（7.3）可以產(chǎn)生一個近似解的序列下面我們?nèi)〕踔?，由格式?.3）迭代計算的結(jié)果列于表7－1中?！?.3第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月表7－1K000010.30001.50002.000020.80001.76002.660030.91801.92602.864040.97161.97002.954050.98941.98972.982360.99631.99612.993870.99861.99862.997780.99951.99952.999290.99981.99982.9998第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)?shù)螖?shù)增加時，迭代結(jié)果會越來越逼近方程組（7.1）的解，從這個簡單的例子可以看出，用迭代法解線性方程組，基本思想是將聯(lián)立線性方程組的求解歸結(jié)為重復(fù)計算一組彼此獨立的線性表達(dá)式，這就使問題得到了簡化。但迭代法是否能達(dá)到化繁為簡的目的，還要看它是否收斂于方程組的精確解。我們再觀察一下例（7.1）。若分別從中分離出第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月相應(yīng)的建立迭代格式：若仍取初值代入（7.4），逐次得出——7.4第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月繼續(xù)算下去，其結(jié)果的絕對值越來越大，不可能逼近于任何常數(shù)，當(dāng)然更不可能逼近于方程組（7.1）的解。我們稱這樣的迭代格式是發(fā)散的。二、簡單迭代格式：下面我們對一般情形的方程組第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月建立簡單迭代格式，并討論其收斂條件?！?.5設(shè)按一定方式從方程組（7.5）中分離出未知數(shù)將（7.5）改寫成下列等價形式第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月——7.6或簡寫為——7.7由此建立迭代格式——7.8第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月任意選一組初值代入（7.8）進(jìn)行迭代計算，就可得出一個近似解序列（7.8）收斂。這時其極限值則稱迭代格式顯然就是（7.6）的解，從而也是方程組（7.5）的解。按格式（7.6）進(jìn)行迭代以求式（7.5）解的方法稱為簡單迭代法。三、收斂條件：第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月下面討論其收斂條件：迭代序列在什么條件下收斂于方程組（7.5）的精確解。記根據(jù)（7.8）于是第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月則有上式對一切成立，所以有于是于是有★定理：則迭代格式（7.8）對任意給定的初值均收斂。第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.2塞德爾（Seidel）迭代法及收斂性在實際計算中，通常采用一種稍加改進(jìn)的迭代方案——塞德爾迭代法。仍考察例（7.1）。設(shè)將近似值這樣求出的新值準(zhǔn)確些，將他替換老值作進(jìn)一步計算，將代入（7.2）的右端得到一、引例：第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月出于同樣的考慮，這種充分利用新值建立起來的迭代公式——7.9稱作塞德爾（Seidel）格式。仍取初值格式（7.9）的迭代結(jié)果如下：第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月表7－2K000010.30001.56002.684020.88041.94452.953930.98431.99232.993840.99781.99892.999150.99971.99992.9999第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月由上述結(jié)果可明顯看出，塞德爾的迭代格式（7.9）比簡單迭代格式（7.4）收斂速度快。對一般形式的方程組（7.5）其塞德爾格式是——7.10相當(dāng)于簡單迭代法的定理7.1，這里有二、塞德爾迭代格式：三、收斂條件：第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月★定理：（7.10）對任意給定的初值均收斂。

一般地說，塞德爾的迭代格式（7.10）的收斂速度比簡單迭代法的格式（7.8）快。但兩種迭代法的收斂范圍并不完全重合，而只是部分相交。有時候簡單迭代法可能比塞德爾迭代法收斂還快些，甚至可以舉出簡單迭代法收斂而塞德爾迭代法發(fā)散的例子。第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月所以在編制程序時，塞德爾格式（7.10）常常用下面的形式表示：第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.3高斯—塞德爾（Gauss-Seidel）迭代法及其收斂條件一、高斯－塞德爾迭代格式：通常求解的方程組形如（7.5），為要使用迭代法，需先將（7.5）化成便于迭代的形式（7.6），可供選擇的方法很多，常用的一種是從（7.5）的第i個方程第21頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月——7.11方程組（7.11）具有（7.6）的形式，相應(yīng)于（7.10）式，這里有——7.12迭代格式（7.12）稱為求解線性方程組（7.5）的高斯－塞德爾（Gauss-Seidel）格式。第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月二、收斂條件：則方程組（7.5）總可以化成等價的形式（7.11）。為了保證（7.12）的收斂性，需對（7.5）的系數(shù)矩陣提出某些要求。應(yīng)用定理7.1可得★定理：則高斯－塞德爾迭代格式（7.12）對任意給定的初值均收斂。第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月最后需要指出，用迭代法求方程組（7.5）的近似解，究竟算到哪一步為止？一般常用條件——7.13來終止計算（ε是事先給定的精度要求）。第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月§線性方程組的數(shù)值解法小結(jié)№1迭代法：優(yōu)點：計算簡單，編程容易。缺點：求解方程組時，要求系數(shù)矩陣具有某些特性。因此，隨意構(gòu)造一種迭代格式很可能不收斂，或者收斂太慢，使計算量太大而失去實際使用價值?！?消去法：優(yōu)點：可預(yù)估計算時間，理論上可求得精確解。缺點：對于較高階的方程組，計算量太大。第25頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月松弛法例題：給定線性方程組AX=b，其中求解AX=b。問取什么實數(shù)ω可使迭代收斂？什么ω可使迭代收斂最快？復(fù)習(xí)：