數(shù)學(xué)做題心得

前言

百度ID：阿布侃數(shù)學(xué)（阿卜算子詠梅）QQ：545024706群QQ：122515316

教學(xué)十余年，但數(shù)學(xué)僅僅教了六年吧，期間有許多疑難困惑，也有些許心得，現(xiàn)在將做題思路心得寫下，望同仁指正。最精簡的步驟是數(shù)學(xué)愛好者的終極目標(biāo)。

圖形題做題思路歌

遇到中點(diǎn)找中點(diǎn)，平分角找平垂線。直線上面遇直角，垂直相似不要忘。邊邊關(guān)系等不等，全等相似用函數(shù)。梯形底高延兩腰，輔助多做平行線。求角加減和平行，特角外角圓心周。旋轉(zhuǎn)動(dòng)角找相似，圖形對(duì)折用勾股。欲求面積先求邊，切切補(bǔ)補(bǔ)找規(guī)則。坐標(biāo)系中四要素，平行垂直中點(diǎn)距。函數(shù)會(huì)求式與圖，式子聯(lián)立求交點(diǎn)。遇到動(dòng)點(diǎn)多畫圖，主要找到關(guān)鍵點(diǎn)。兩圓相遇連圓心，直徑直角連切點(diǎn)。幾何圖中線段長，加減相似和勾股。同向同張角相等，對(duì)角互補(bǔ)四點(diǎn)共。應(yīng)用題目也畫圖，等量關(guān)系細(xì)心找。

圖形題思路思路是所有參考答案中不會(huì)提到的，它類似教科書上的解題分析，要會(huì)順藤摸瓜，由此及彼，一般分為三種，一是由已知尋結(jié)論，二是由結(jié)論合已知，三是由已知結(jié)論推導(dǎo)中間的重合部分，我認(rèn)為最好的辦法是由已知結(jié)論來推導(dǎo)中間的部分，這樣才會(huì)全面去思考一個(gè)問題，因?yàn)橛梢阎玫降男畔⒑徒Y(jié)論得到的信息相近多了，重合的可能性就大了，題也容易弄通順了。數(shù)學(xué)要會(huì)聯(lián)想、分類，也就是由此及彼。例如幾何中求邊相等，要會(huì)加減長度等，中點(diǎn)分線段等，中位線分兩邊等，中位線等底邊一半，等腰三角形兩腰等，平行四邊形對(duì)邊等，等等。函數(shù)與幾何結(jié)合是近年來中考的熱點(diǎn)，求點(diǎn)一般利用圖形的對(duì)稱性來求，求面積一般要想到底邊會(huì)有多個(gè)，高也有多個(gè)，常常還要做底高的輔助線，在函數(shù)中多設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)（x.y），輔助線做x、y軸的垂線最多。要會(huì)分類討論并結(jié)合圖像來思考才能全面的解答問題。中考數(shù)學(xué)考察的是閱讀能力、分析能力、計(jì)算能力、畫圖能力等等。數(shù)學(xué)是要會(huì)畫圖的，必須會(huì)的，畫標(biāo)準(zhǔn)圖是做所有大型的數(shù)學(xué)題的的基本方法，包括應(yīng)用題、幾何題、函數(shù)題、統(tǒng)計(jì)概率題等等。本PPT里的所有題大都是我精選的，一定要結(jié)合口訣練習(xí)，部分題我空間有答案。我寫下的只是最基本的做題思路和方法，因?yàn)橹锌家话憧嫉氖峭ㄓ梅椒āＳ龅街悬c(diǎn)找中點(diǎn)，平分角找平垂線。遇到中點(diǎn)找中點(diǎn)包含兩個(gè)意思。一是找中點(diǎn)所在邊的鄰邊的中點(diǎn)，連接能形成平行線（中位線）這樣就多了角的關(guān)系和邊長的關(guān)系。二是把此中點(diǎn)作為另一邊的中點(diǎn)，如果沒有另一邊一般要做出這個(gè)邊。延長中線等中線。角平分找平垂線也包含三個(gè)意思。一是在角平分線上做垂線，能得到等腰三角形，利用三線合一得到邊角關(guān)系。二是利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。三是過平分線上一點(diǎn)做角一邊的平行線，能得到一個(gè)等腰三角形。直線上面遇直角，垂直相似不要忘。這句話的意思是遇到直線上面有直角的話，直角的兩個(gè)邊上向直線作垂線能得到兩個(gè)相似的三角形，當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)相似的三角形就是全等的三角形了。它有很多變形，如有的時(shí)候是直線穿過直角（共有8種，其余4種沒有畫出來）。這類題的關(guān)鍵是在直角和直線周圍找互余的角，然后找相似三角形。邊邊關(guān)系等不等，全等相似用函數(shù)數(shù)學(xué)證明題中經(jīng)?？疾爝吪c邊的關(guān)系。邊與邊的關(guān)系包括兩種，一是位置關(guān)系，二是數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系一般是平行與垂直（垂直、平行關(guān)系一般畫圖就可以看出，這里不作為重點(diǎn)，重點(diǎn)說數(shù)量關(guān)系）數(shù)量關(guān)系包括相等和不相等，求證相等用等腰三角形、中位線，全等三角形等等。不相等的話要用相似三角形來求證（包括平行線），這時(shí)邊與邊的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系了，一定要小心。邊不在三角形內(nèi)部一定要構(gòu)造三角形梯形底高延兩腰，輔助多做平行線。梯形里的輔助線比較多。過上底兩端向下底做垂線。過上底的一個(gè)端點(diǎn)做一腰的平行線。過上底的一個(gè)端點(diǎn)做一對(duì)角線的平行線。過一腰的中點(diǎn)做另一腰的平行線。過上底一端點(diǎn)和一腰中點(diǎn)的直線和下底延長線相交。做梯形的中位線。延長兩腰使之相交。求角加減和平行，特角外角圓心周。等角有很多，平行線、全等三角形、相似三角形中里面很多。求角要用加減和等量代換，以及特殊圖形中邊角關(guān)系。遇到倍角會(huì)分角，把倍角做外角或做倍角的平分線。還有做平行線來轉(zhuǎn)化角的關(guān)系，例如口訣第一句中的“平分角找平垂線”中的例題。題中無角讓求角，一般都是特殊角，如30°、45°、60°、90°等，外角是利用三角形外角的性質(zhì)，這個(gè)用的比較多?！皥A心周”是指圓內(nèi)的圓心角和圓周角和它們之間的關(guān)系。旋轉(zhuǎn)動(dòng)角找相似，圖形對(duì)折用勾股相似三角形現(xiàn)在是幾何的頂峰。這句話意思很簡單：1、如果兩個(gè)相等的角的頂點(diǎn)重疊和某個(gè)角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)那么在周圍找相似三角形。2、當(dāng)一個(gè)定角在一線段上移動(dòng)也要在附近找相似三角形，沒有三角形的話要構(gòu)造三角形。旋轉(zhuǎn)角和鄰等角，相似全等細(xì)細(xì)找。定角移動(dòng)找相似，沒有注意要構(gòu)造。當(dāng)遇到旋轉(zhuǎn)圖形、旋轉(zhuǎn)角、等角共頂點(diǎn)時(shí)，找相似三角形和全等三角形。

第二句的意思是遇到圖形對(duì)折就找直角三角形，然后勾股定理來求邊。欲求面積先求邊，切切補(bǔ)補(bǔ)找規(guī)則。三角面積是基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)題中求面積的很多，要切記求面一定先找邊的量，平行四邊形（長方形、菱形、正方形）都可以切割成兩個(gè)全等的三角形。梯形的對(duì)角線也能把梯形切割成兩個(gè)三角形，并且你研究一下它們的面積公式，可以看出也是在三角形面積公式的基礎(chǔ)上得來的，還有菱形、正方形的另一個(gè)公式，對(duì)角線乘積除以2也是在三角形面積基礎(chǔ)上得來的。在動(dòng)點(diǎn)問題和平面直角坐標(biāo)系中某些圖形很不規(guī)則，且有些是動(dòng)面積，多邊形面積。動(dòng)面積是指面積隨著邊的變化而變化的，多邊形面積一般切補(bǔ)成規(guī)則圖形然后計(jì)算即可。扇形面積公式有兩個(gè)，但近年來中考中求扇形面積很少，這個(gè)公式也不容易記住。坐標(biāo)系中四要素，平行垂直中點(diǎn)距。這句話是說平面直角坐標(biāo)系中有四個(gè)知識(shí)要點(diǎn)，一是兩個(gè)一次函數(shù)圖像平行，解析式的K值相等。二是兩個(gè)一次函數(shù)圖像互相垂直，解析式K值互為負(fù)倒數(shù)。三是任意兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，四是任意兩點(diǎn)間距離公式。除了第一個(gè)是教科書上講的，其余我希望大家能補(bǔ)充一下，考試的時(shí)候可以直接用的。A（x1，Y1）B（X2，Y2）中點(diǎn)坐標(biāo)公式如下左圖，距離公式如下右圖。我簡單講一下中點(diǎn)公式的原理是中位線性質(zhì)，參考著下左圖你應(yīng)該明白的。兩點(diǎn)間距離公式的原理是勾股定理，其實(shí)都是向X軸、Y軸作垂線得到的，構(gòu)成直角三角形。大家一定推導(dǎo)一下，很簡單的。不會(huì)增加記憶負(fù)擔(dān)的。這是2009的河南中考數(shù)學(xué)題利用兩點(diǎn)間距離公式?！菊f明】對(duì)于壓軸題中的動(dòng)點(diǎn)問題、極值問題，先根據(jù)條件“以靜制動(dòng)”，用待定系數(shù)表示各自的坐標(biāo)，如果能構(gòu)成二次函數(shù)，即可通過配方或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求其極值．若要構(gòu)成等腰三角形，則三條邊中有兩條邊相等即可，于是可分EQ=EC，EC=CQ，EQ=EC三種情況討論．若為等邊三角形，則三邊長度相同。函數(shù)會(huì)求式與圖，式子聯(lián)立求交點(diǎn)。一次函數(shù)y=kx+b是中考的必考點(diǎn)，它是直線函數(shù)，根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)確定一條直線的原理，需要兩個(gè)點(diǎn)（0,k）（-b/k，0）就能畫出這條函數(shù)圖象。它與x、y所成的直角三角形面積S=1/2*（b2/lkl）。K值是與x軸的夾角的正切值的絕對(duì)值，符號(hào)由所在象限決定。注意當(dāng)一次函數(shù)K的值為土根號(hào)3、土根號(hào)3/3、土1等時(shí)，圖像與x、y軸的夾角是特殊角(二次函數(shù)也要注意)。b值就是函數(shù)在y軸上的截距，當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)就變成正比例函數(shù)了。反比例函數(shù)圖象是雙曲線，無限接近x、y軸但總不與x、y軸相交。上面由圖像記性質(zhì)最簡單了。函數(shù)要記住三個(gè)方面，一是解析式，二是圖像，三是性質(zhì)，每一個(gè)函數(shù)在一定范圍內(nèi)都有最大值最小值問題，這一點(diǎn)大家要牢記。平面直角坐標(biāo)下中做x、y軸的垂線是最常用的輔助線。正一反一一次二，二次函數(shù)三點(diǎn)求。式子聯(lián)立求交點(diǎn)，連線夾角也常用。這句話的意思是，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)都是知道一個(gè)點(diǎn)就能求出解析式，一次函數(shù)需要兩個(gè)點(diǎn)求出，二次函數(shù)需要三個(gè)點(diǎn)求出。多個(gè)函數(shù)圖象有交點(diǎn)的話用式子聯(lián)立求出交點(diǎn)。二次函數(shù)比較復(fù)雜，有三四種解析式，如果你能熟練掌握并能互相轉(zhuǎn)化，那么就事半功倍了。函數(shù)一定結(jié)合圖像去思考問題，這也是關(guān)鍵啊。函數(shù)的平移口訣：左加右減，下加上減。誰加誰減要注意了，這里是不一樣的。左右用x加減，上下用y加減。例如y=2x2+3x-4向右移動(dòng)6個(gè)單位，向下移動(dòng)8個(gè)單位，那么得到y(tǒng)+8=2（X-6）2+3（x-6）-4，這個(gè)方法包括所有函數(shù)解析式。注意它和坐標(biāo)點(diǎn)的平移不一樣，那個(gè)口訣正好相反。二次函數(shù)要點(diǎn)和函數(shù)圖象的平移平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的方法：切補(bǔ)法一、直接切法。平時(shí)求面積公式包括底乘的一半、邊邊夾角正弦值的一半、海倫公式都不行。那么就用直接切法試試吧。如下左圖首先是在坐標(biāo)系中△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都知道坐標(biāo)。（1）過A點(diǎn)作垂直X軸的垂線將三角形分成兩個(gè)三角形。（2）求出BC直線的解析式，再求出AD的距離。（3）然后AD乘以C點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去B點(diǎn)的橫坐標(biāo)再乘以二分之一就是△ABC的面積了。這個(gè)方法的原理很簡單，是把△ABC的面積切成兩個(gè)以AD為底的三角形，這兩個(gè)三角形高的和等于C點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去B點(diǎn)的橫坐標(biāo)。（這個(gè)方法應(yīng)用在A為動(dòng)點(diǎn)問題最好了）。直接切法還有一種是做Y軸的垂線，大家可以試試。二、間接補(bǔ)法。如下右圖將已知點(diǎn)向x、y軸做垂線構(gòu)成直角梯形，然后總面積減去補(bǔ)充上的兩個(gè)三角形（或是兩個(gè)直角梯形）的面積可得。這個(gè)方法是輔助線多但記憶量小，計(jì)算數(shù)值多。欲求面積先求邊，切切補(bǔ)補(bǔ)找規(guī)則。切補(bǔ)法方法不固定，要靈活掌握。注意：在平面直角坐標(biāo)系中的輔助線是向x、y軸做垂線，某直線的平行線等。在計(jì)算線段長時(shí)要用右邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)減左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)，上面點(diǎn)的縱坐標(biāo)減下面點(diǎn)的縱坐標(biāo)，這樣得到的線段才能都是正值，計(jì)算面積就不用考慮符號(hào)的問題了。來兩道小題大家看看學(xué)過就練練平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)坐標(biāo)的方法互為對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于軸和原點(diǎn)原則是：關(guān)誰誰不變，關(guān)于原點(diǎn)它都變。再例如：右圖求菱形一般也有三個(gè)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出AB直線上MA=AC的兩個(gè)M點(diǎn)。再利用菱形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)求出第三個(gè)M點(diǎn)。求F點(diǎn)就簡單了。如下左圖：已知三點(diǎn)坐標(biāo)A（1,2）B（2,0），C（-1，0）求以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的另外一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。ABC三個(gè)點(diǎn)是我隨意寫的，不具有特殊性。解答1：中點(diǎn)法。首先最好是先畫圖，其次根據(jù)中點(diǎn)公式求出BC的中點(diǎn)（1/2,0）最后再根據(jù)中點(diǎn)公式結(jié)合A(1,2)求出第一個(gè)D(0,-2),剩下還按照中點(diǎn)公式結(jié)合C(-1,0)和B(2,0)求出第二、三個(gè)D點(diǎn)。（中點(diǎn)公式可以口算的噢）解答2是網(wǎng)上的做法：利用平行四邊形的性質(zhì)，平行對(duì)邊的兩組點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)差相等，易求第4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)。這個(gè)是最簡單的方法，不會(huì)記得要問我。遇到動(dòng)點(diǎn)多畫圖，主要找到關(guān)鍵點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)一直是個(gè)難點(diǎn)，需要你有超強(qiáng)的畫圖能力和分類討論能力，根據(jù)題意來畫出符合題意的圖像。根據(jù)動(dòng)點(diǎn)、拐點(diǎn)，分類、分步驟。動(dòng)點(diǎn)問題都是化動(dòng)為靜，注意動(dòng)點(diǎn)取值范圍。例：等邊三角形ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1（運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒。

1、線段MN在運(yùn)動(dòng)過程中，t為何值時(shí)，MNQP為矩形，并求出MNQP的面積。

2、線段MN在運(yùn)動(dòng)的過程中，MNQP面積為S，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍。（注意：梯形在移動(dòng)時(shí)不是一直是梯形的。）兩圓相遇連圓心，直徑直角連切點(diǎn)。近年來中考出現(xiàn)兩圓的問題較少，兩圓相交連圓心和公共弦，兩圓相切做公切線。圓是數(shù)學(xué)題中的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)殡[含條件較多，輔助線較多。有直徑一定要想到他所對(duì)的圓周角為90°，同理90°所對(duì)的弦是直徑，有弦要做弦心距，