二項(xiàng)式定理（公開(kāi)課）課件

二項(xiàng)式定理

制作：胡貴平

X二項(xiàng)式定理制作：胡貴平X復(fù)習(xí)引入:451．乘積?a1?a2?a3??b1?b2?b3??c1?c2?c3?c4?c5?有___項(xiàng).

展開(kāi)下面式子

222(a+b)=a

+2ab+b

33223(a+b)=a+3ab+3ab+b

那么將(a+b)4，(a+b)5...展開(kāi)后，它們的各項(xiàng)是什么呢？

復(fù)習(xí)引入:451．乘積?a1?a2?a3??b1?b2?2

對(duì)(a+b)展開(kāi)式的分析2

(a+b)＝(a+b)(a+b)展開(kāi)后其項(xiàng)的形式為：a2

，

ab

，

b2這三項(xiàng)的系數(shù)為各項(xiàng)在展開(kāi)式中出現(xiàn)的次數(shù).考慮b:020每個(gè)都不取b的情況有C2

種,則a前的系數(shù)為C2

恰有1個(gè)取b的情況有C21種，則ab前的系數(shù)為C21222恰有2個(gè)取b的情況有C2

種，則b前的系數(shù)為C22220

21

22(a+b)=a+2ab+b

＝C2a+C2ab+C2b

33223(a+b)=a+3ab+3ab+b03122233=C3a+C3ab+C3ab+C3b2對(duì)(a+b)展開(kāi)式的分析2(a+b)＝(a+b)(a4

(a+b)＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？

問(wèn)題

4

1)．(a+b)展開(kāi)后各項(xiàng)形式分別是什么？a4a3ba2b2ab3b42)．各項(xiàng)前的系數(shù)代表著什么？

各項(xiàng)前的系數(shù)

代表著這些項(xiàng)在展開(kāi)式中出現(xiàn)的次數(shù)

4(a+b)＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b3)．你能分析說(shuō)明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？

432234

aabababb每個(gè)都不取b的情況有1種,即C40,則a4前的系數(shù)為C40恰有1個(gè)取b的情況有C41種，則a3b前的系數(shù)為C412222恰有2個(gè)取b的情況有C4

種，則ab前的系數(shù)為C4333恰有3個(gè)取b的情況有C4

種，則ab前的系數(shù)為C4恰有4個(gè)取b的情況有C44種，則b4前的系數(shù)為C444則(a+b)

＝C40a4

＋C41

a3b

＋C42

a2b2＋C43

ab3

＋C44

b43)．你能分析說(shuō)明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？43223二項(xiàng)展開(kāi)式定理

?a?b?n?Ca?Cab???Cannn0nn1nn?1knn?kbk

???Cb?n?N*?0n0每個(gè)都不取b的情況有1種,即Cn,則a前的系數(shù)為Cn1n-11恰有1個(gè)取b的情況有Cn種，則ab前的系數(shù)為Cn恰有2個(gè)取b的情況有Cn2

種，則an-2b2前的系數(shù)為Cn2......恰有k個(gè)取b的情況有Cnk

種，則an-kbk前的系數(shù)為Cnk......恰有n個(gè)取b的情況有Cnn

種，則bn前的系數(shù)為Cnn二項(xiàng)展開(kāi)式定理?a?b?n?Ca?Cab???Cannn0右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式

Cnk

an-kbk：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，記作Tk+1

k

Cn：二項(xiàng)式系數(shù)注

①項(xiàng)數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式共有n+1項(xiàng)

②

指數(shù):a的指數(shù)從n逐項(xiàng)遞減到0,是降冪排列；

b的指數(shù)從0逐項(xiàng)遞增到n，是升冪排列。

n122

kk

n如(1+x)=1+Cnx+Cnx+

…+Cnx+…+

x右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式Cnkan-kb1??例1求?2x??的展開(kāi)式.x??6分析:先化簡(jiǎn)再運(yùn)用公式

解

16152433=3[(2x)?C6(2x)?C6(2x)?C6(2x)x11??2x?1??6?2x??????3?2x?1?x??x?x?66?C(2x)?C(2x)?C]60121=64x?192x?240x?160??2?3xxx3246256661??例1求?2x??的展開(kāi)式.x??6分析:先化簡(jiǎn)再運(yùn)用1?練習(xí)

展開(kāi)?1????x?4234?1?1?1?2?1?3?1?4?1?解:?1???1?C4???C4???C4???C4???x??x??x??x??x?4641?1??2?3?4xxxx41?練習(xí)展開(kāi)?1????x?4234?1?1?1?2?1?7例2(1)求(1+2x)的展開(kāi)式的第4項(xiàng)

第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

第4項(xiàng)的系數(shù)

注：1)注意區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的概念

r二項(xiàng)式系數(shù)：Cn；

項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積

2)求二項(xiàng)式系數(shù)或項(xiàng)的系數(shù)的一種方法是將二項(xiàng)式展開(kāi)

7例2(1)求(1+2x)的展開(kāi)式的第4項(xiàng)第4項(xiàng)的二項(xiàng)式7例2(1)求(1+2x)的展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)

解

?92?求???x?1?x??的展開(kāi)式中x3的系數(shù).(1)(1+2x)7的展開(kāi)式的第4項(xiàng)是

T3+1=C73?17-3?(2x)3=35×23×x3

=280x37例2(1)求(1+2x)的展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)解?97例2(1)求(1+2x)的展開(kāi)式的第4項(xiàng)

1??3?2?求?x??的展開(kāi)式中x的系數(shù).x??9分析:

先求出x3是展開(kāi)式的哪一項(xiàng),再求它的系數(shù)

1???2??x??的展開(kāi)式的通項(xiàng)是x??r1?rr9?r?r9?2rC9x??????1?C9x?x?99-2r=3r=3333x系數(shù)是(-1)C9=-847例2(1)求(1+2x)的展開(kāi)式的第4項(xiàng)1??3?2?練習(xí)

求（x+a)12的展開(kāi)式中的倒數(shù)第4項(xiàng)

解:(x+a)12的展開(kāi)式有13項(xiàng),倒數(shù)第4項(xiàng)是它的第10項(xiàng)

912?999?1?C12xa?220x3a9.T練習(xí)求（x+a)12的展開(kāi)式中的倒數(shù)第4項(xiàng)解:(x+a練習(xí)

?x3?求???的展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)x??3r919?r?r29x9?r3rr19?rr解:Tr?1?C()()?C9()3x33x1由9-r-r?0得r?6.2619?66T7?C9()3?22683練習(xí)?x3?求???的展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)x??3r919?r?r練習(xí)

x39(?)的展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)

求

3x解:展開(kāi)式共有10項(xiàng),中間兩項(xiàng)是第5、6項(xiàng)。

x9?4343T5?T4?1?C()()?42x3x49x9?535T6?T5?1?C()()?42x3x5932練習(xí)x39(?)的展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)求小結(jié)

1）注意二項(xiàng)式定理中二項(xiàng)展開(kāi)式的特征

2）區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)，項(xiàng)的系數(shù)

3）掌握用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式系數(shù)，項(xiàng)的系數(shù)及項(xiàng)

小結(jié)1）注意二項(xiàng)式定理中二項(xiàng)展開(kāi)式的特征2）區(qū)別二項(xiàng)式系探究：

100若將

除以9，則得到的余數(shù)是多少？

88100?（9