理想氣體的壓強公式課件

第8章（Thetheoryofmolecularmotionofgas)

(6)氣體動理論熱學(xué)(Thermodynamics)1第8章（Thetheoryofmolecul分子物理學(xué)是從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā),應(yīng)用統(tǒng)計的方法,研究微觀態(tài)和宏觀態(tài)的聯(lián)系,揭示宏觀量的微觀本質(zhì)。熱力學(xué)是從能量守恒和轉(zhuǎn)化的角度來研究熱運動規(guī)律的,不涉及物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)。它根據(jù)由觀察和實驗所總結(jié)出的基本規(guī)律(主要是熱力學(xué)第一定律、第二定律等),用邏輯推理的方法,研究物體的宏觀性質(zhì)及宏觀過程進(jìn)行的方向和限度等。熱學(xué)是研究熱現(xiàn)象的規(guī)律及其應(yīng)用的學(xué)科,它包括分子物理學(xué)和熱力學(xué)兩個方面。2分子物理學(xué)是從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā),應(yīng)用統(tǒng)計的§8-1熱力學(xué)系統(tǒng)平衡態(tài)一.熱力學(xué)系統(tǒng)宏觀物體是由大量分子和原子組成的一個系統(tǒng),這個系統(tǒng)就稱為熱力學(xué)系統(tǒng)。與外界完全隔絕(即與外界沒有質(zhì)量和能量交換)的系統(tǒng),稱為孤立系統(tǒng)。

與外界沒有質(zhì)量交換和但有能量交換的系統(tǒng),稱為封閉系統(tǒng)。與外界既有質(zhì)量交換又有能量交換的系統(tǒng),稱為開放系統(tǒng)。二.理想氣體

嚴(yán)格遵守四條定律(玻意耳定律、蓋-呂薩克定律、查理定律和阿伏伽德羅定律)的氣體,稱為理想氣體。3§8-1熱力學(xué)系統(tǒng)平衡態(tài)一.熱力學(xué)系

在不受外界影響(孤立系統(tǒng))的條件下，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間變化的狀態(tài),稱為平衡態(tài)。

平衡態(tài)不同于系統(tǒng)受恒定外界影響所達(dá)到的定態(tài)。

平衡態(tài)僅指系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間變化,但微觀上分子仍在不停地運動和變化。四.狀態(tài)參量描述平衡態(tài)下系統(tǒng)宏觀屬性的一組獨立宏觀量

狀態(tài)參量。

氣體處于平衡態(tài)的標(biāo)志是狀態(tài)參量P、V、T處處相同且不隨時間變化。三.平衡態(tài)4在不受外界影響(孤立系統(tǒng))的條件下，系統(tǒng)的宏觀性(8-1)單位:SI壓強p:Pa帕斯卡(帕斯卡)。1atm=76cmHg=1.013×105Pa(atmosphere)體積V：m3;1l=10-3m3

溫度T：K(T=273+tC

)M:氣體質(zhì)量(kg);Mmol:摩爾質(zhì)量(kg)。普適氣體恒量:R=8.31(J.mol-1.K-1)§8-2熱力學(xué)第零定律(自學(xué))§8-3理想氣體的狀態(tài)方程5(8-1)單位:SI§8-2熱力學(xué)第零定律(玻耳茲曼常量

k=R/No=1.38×10-23(J.K-1)R=8.31(J.mol-1.K-1)于是理想氣體狀態(tài)方程又可寫為

pV=NkT式中：n=N/V—分子的數(shù)密度?；騪=nkT(8-2)m

分子質(zhì)量,N

氣體分子數(shù)(8-1)6玻耳茲曼常量k=R/No=1.38×10-23(J例題8-1估算在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，每立方厘米的空氣中有多少個氣體分子。

解由公式：p=nkT，標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài):p=1atm=1.013×105Pa,T=273=2.7×1025(個/m3)=2.7×1019(個/cm3)7例題8-1估算在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，每立方厘米的空例題8-2一氧氣瓶的容積V=32l,瓶中氧氣壓強p1=130atm。規(guī)定瓶內(nèi)氧氣的壓強降到p2=10atm時就得充氣,以免混入其他氣體而需洗瓶。一車間每天需用pd=1atm的氧氣Vd=400l,問一瓶氧氣能用幾天?

解抓?。悍肿觽€數(shù)的變化，用pV=NkT求解。使用后瓶中氧氣的分子個數(shù):(設(shè)使用中溫度保持不變)每天用的氧氣分子個數(shù):能用天數(shù)：未使用前瓶中氧氣的分子個數(shù):8例題8-2一氧氣瓶的容積V=32l,例題8-3一長金屬管下斷封閉,上端開口,置于壓強為po的大氣中。今在封閉端加熱達(dá)T1=1000K,而另一端則達(dá)到T2=200K，設(shè)溫度沿管長均勻變化?，F(xiàn)封閉開口端，并使管子冷卻到TE=100K。計算此時管內(nèi)氣體的壓強(不計金屬管的膨脹)。

解初態(tài)(加熱時)是定態(tài),但不是平衡態(tài)。末態(tài)是平衡態(tài)。關(guān)鍵是求出管內(nèi)氣體的質(zhì)量。.......圖8-1x,L

管長對x處的氣體元(dx,dM)可視為平衡態(tài):dxxdM9例題8-3一長金屬管下斷封閉,上端開口.......圖8-1xdxx,S

管橫截面積10.......圖8-1xdxx,S管橫截面積10.......圖8-1xdxx末態(tài):封閉開口端,并使管子冷卻到TE=100K。=0.2po最后得11.......圖8-1xdxx末態(tài):封閉開口端,并使管子冷§8-4理想氣體的壓強和溫度

一.理想氣體的微觀模型(1)分子本身的線度與分子之間的平均距離相比可忽略不計。(2)分子之間距離很大,除碰撞的瞬間外,可不計分子間的相互作用力;如無特殊考慮,重力也可忽略。(3)分子之間以及分子與容器壁之間的碰撞是完全彈性的,即氣體分子的動能不因碰撞而損失。(4)分子在做永不停息的熱運動。無外力場時，處于平衡態(tài)的氣體分子在空間的分布是均勻的；分子沿任一方向運動的概率是相等的，于是可作出如下統(tǒng)計假設(shè)：12§8-4理想氣體的壓強和溫度一.理想氣體二.理想氣體的壓強公式理想氣體處于平衡態(tài)下，氣體在宏觀上施于器壁的壓強,是大量分子對器壁不斷碰撞的結(jié)果。單位時間內(nèi)與器壁A上單位面積碰撞的分子數(shù),顯然就是在此斜柱體中的分子數(shù)：ni

ix

一個分子碰撞一次給器壁A的沖量：

ix

ix圖8-2A........2m

ix

設(shè)容器內(nèi)氣體分子質(zhì)量為m,分子數(shù)密度為n,而單位體積中速度為

i的分子數(shù)為ni?，F(xiàn)沿速度

i方向取一底面為單位面積、高為

ix的斜柱體。13二.理想氣體的壓強公式理想氣體處于平衡態(tài)下，氣體在宏單位時間內(nèi)與器壁A上單位面積碰撞的分子數(shù)：ni

ix

一個分子碰撞一次給A面的沖量：2m

ix

x圖8-3A........

ix

i這些分子單位時間內(nèi)給予器壁A單位面積上的沖量就為：2mni

ix2

對所有可能的速度求和，就得單位時間內(nèi)給予器壁A單位面積上的總沖量：14單位時間內(nèi)與器壁A上單位面積碰撞的分子數(shù)：x圖考慮到，平均來說，

ix0和

ix0的分子各占一半。故單位時間內(nèi)給予器壁A單位面積上的總沖量,x圖8-3A........

ix

i單位時間內(nèi)給予器壁A單位面積上的總沖量：即單位面積上的平均沖力

壓強為:(Fixt=mx,t=1)15考慮到，平均來說，ix0和ix0的x圖8-3A........

ix

i所以壓強：16x圖8-3A........ixi所以壓強：16理想氣體的壓強公式：(8-3)—氣體分子的平均平動動能令壓強：17理想氣體的壓強公式：(8-3)—氣體分子的平均平動動能令壓強三.溫度的統(tǒng)計意義從以上兩式消去p可得分子的平均平動動能為(8-4)可見，溫度是分子平均平動動能的量度。這就是溫度的統(tǒng)計意義。應(yīng)當(dāng)指出，溫度是大量分子熱運動的集體表現(xiàn),只具有統(tǒng)計意義；對于單個分子,說它有溫度是沒有意義的。因p=nkT，18三.溫度的統(tǒng)計意義從以上兩式消去p可得分子的平均平動動能為(四.混合氣體內(nèi)的壓強道爾頓分壓定律設(shè)容器內(nèi)有多種氣體，n=n1+n2+…+ni…+nn,其中ni是第i種氣體的分子數(shù)密度,由壓強公式有于是有p=p1+p2+……+pn

這就是說，總壓強等于各氣體分壓強之和，這就是道爾頓分壓定律。19四.混合氣體內(nèi)的壓強道爾頓分壓定律設(shè)例題8-4一容器體積V=1m3,有N1=1×1025個氧分子，N2=4×1025氮分子，混合氣體的壓強p=2.76×105pa,求分子的平均平動動能及混合氣體的的溫度。解由壓強公式所以=8.26×10-21J又混合氣體的的溫度：=400K20例題8-4一容器體積V=1m3,有N1=例題8-5兩瓶不同種類的氣體，溫度、壓強相同，但體積不同，則(1)它們單位體積中的分子數(shù)相同。(2)它們單位體積中的氣體質(zhì)量不相同。(3)它們單位體積中的分子平均平動動能的總和(p=nkT)(

=mn)(Ek=nEt)相同。21例題8-5兩瓶不同種類的氣體，溫度、壓§8-5能量按自由度均分定理

一.氣體分子的自由度

自由度—確定一個物體在空間的位置所需的獨立坐標(biāo)數(shù)目。

單原子氣體分子可視為質(zhì)點,確定它在空間的位置需3個獨立坐標(biāo)，故有3個平動自由度。剛性雙原子氣體分子兩原子之間成啞鈴似的結(jié)構(gòu),確定它的質(zhì)心,要3個平動自由度，確定連線，要2個轉(zhuǎn)動自由度；所以共有5個自由度。C

圖8-422§8-5能量按自由度均分定理一.氣體分確定它的質(zhì)心,要3個平動自由度，確定連線，要2個轉(zhuǎn)動自由度；確定沿連線的振動,要1個振動自由度，所以共有6個自由度。圖8-5

C非剛性雙原子氣體分子相似為彈簧啞鈴似的結(jié)構(gòu),

多原子氣體分子(原子數(shù)n3)

剛性:6個自由度(3個平動自由度,3個轉(zhuǎn)動自由度);非剛性：有3n個自由度,其中3個是平動的,3個是轉(zhuǎn)動的,其余3n-6是振動的。在常溫下,不少氣體可視為剛性分子,所以只考慮平動自由度和轉(zhuǎn)動自由度,但在高溫時,則要視為非剛性分子,還要考慮振動自由度。23確定它的質(zhì)心,要3個平動自由度，圖8-5C非剛性氣體分子自由度小結(jié)i=3(單原子)5(剛性雙原子)6(非剛性雙原子)6(剛性多原子(n3))3n(非剛性多原子(n3))特別是對剛性氣體分子，自由度為i=3(單原子)5(剛性雙原子)6(剛性多原子(n3))氣體分子的自由度：24氣體分子自由度小結(jié)i=3(單原子)5(剛性在上節(jié)中我們已得到分子的平均平動動能二.能量按自由度均分定理可見，分子的平均平動動能是均勻地分配在3個自由度上的，即每個平動自由度上的平均平動動能都相等，都為。25在上節(jié)中我們已得到分子的平均平動動能二.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理：理想氣體處于平衡態(tài)時,其分子在每個自由度上的平均動能都相等，都為。設(shè)某分子有t個平動自由度，r個轉(zhuǎn)動自由度，s個振動自由度，則該分子的總自由度：i=t+r+s;分子的平均總動能：分子的平均振動動能：分子的平均轉(zhuǎn)動動能：分子的平均平動動能：26能量按自由度均分定理：理想氣體處于平衡態(tài)時,分子的平均總能量：對每個振動自由度，由于平均勢能和平均動能相等,故分子不僅有的平均動能,還應(yīng)有的平均振動勢能。因此，(8-5)這里：i=t+r+s，是分子的總自由度。對剛性氣體分子(無振動自由度),平均總能量:(8-6)27分子的平均總能量：對每個振動自由度，由于平三.理想氣體的內(nèi)能對于實際氣體來講,除了分子的各種形式的熱運動動能和分子內(nèi)部原子間的振動勢能外,由于分子間存在著相互作用的保守力,所以分子還具有與這種力相關(guān)的勢能。所有分子的這些形式的熱運動能量和分子間勢能的總和,叫做氣體的內(nèi)能。理想氣體分子間無相互作用,所以理想氣體的內(nèi)能是所有分子的熱運動能量的總和。由于一個(剛性)分子的平均總能量為所以一摩爾理想氣體的內(nèi)能為(Nok=R)28三.理想氣體的內(nèi)能對于實際氣體來講,除了分子的各M千克理想氣體的內(nèi)能為(8-7)例8-6容器內(nèi)盛有單原子理想氣體，測得壓強為p，那么單位體積中的內(nèi)能為多少？解

由(8-14)的內(nèi)能公式：所以29M千克理想氣體的內(nèi)能為(8-7)例8-6例8-7容器內(nèi)有co2和o2兩種混合氣體，混合氣體的熱力學(xué)溫度T=290K,總的內(nèi)能E=9.64×105J,總質(zhì)量M=5.4kg，求兩種氣體的質(zhì)量。解

設(shè)co2的質(zhì)量為M1，o2的質(zhì)量為M2，則

M1+M2=M總的內(nèi)能：解得：M1=2.2kg,M2=3.2kg。視為剛性分子。30例8-7容器內(nèi)有co2和o2兩種混合氣例8-8如圖8-6，容器兩邊是同種氣體，左邊的壓強、溫度、體積分別是p1、T1、V，右邊的壓強、溫度、體積分別是p2、T2、V；抽去中間的隔板，讓兩邊的氣體混合(設(shè)混合過程中氣體與外界無能量交換)，求平衡時的壓強和溫度。解

因混合過程中氣體與外界無能量交換，所以混合前后氣體的內(nèi)能不變：又p1V=v1RT1,p2V=v2RT2p(2V)=(v1+v2)RT解得圖8-6P1T1

VP2T2

V......31例8-8如圖8-6，容器兩邊是同種氣體，§8-6麥克斯韋氣體分子速率分布律氣體分子熱運動的一個重要特征是分子間存在頻繁的碰撞(每秒鐘要碰撞約上百億次！)。由于頻繁的碰撞，分子的速率在不斷地改變著。因此，在某一個特定的時刻去觀察某個特定的分子，它的速度具有怎樣的量值和方向，那完全是偶然的，也是毫無意義的。然而在平衡態(tài)下，就大量分子而言，分子的速率分布卻遵循一個確定的統(tǒng)計規(guī)律。這是1859年麥克斯韋首先應(yīng)用統(tǒng)計概念導(dǎo)出的，稱為麥克斯韋速率分布定律。學(xué)習(xí)重點：統(tǒng)計意義32§8-6麥克斯韋氣體分子速率分布律氣體分一.麥克斯韋速率分布定律理想氣體處于溫度T的平衡態(tài)時,在速率區(qū)間

—+d內(nèi)的分子數(shù)為

dN=Nf()d(8-8)這就是麥克斯韋速率分布定律。式中N為分子總數(shù)，f()稱為麥克斯韋速率分布函數(shù)，它為式中：m是氣體分子的質(zhì)量,k是玻耳茲曼常數(shù)。(8-9)33一.麥克斯韋速率分布定律理想氣體處于溫度T的1.麥克斯韋速率分布函數(shù)f()的物理意義由dN=Nf()d

f()表示：在速率

附近的單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。(或叫做：分子速率出現(xiàn)在

附近的單位速率區(qū)間內(nèi)的概率

概率密度。)

—在速率區(qū)間

—+d內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。341.麥克斯韋速率分布函數(shù)f()的物理意義由2.麥克斯韋速率分布曲線(a)速率分布特征：速率可取0—內(nèi)的一切值；但速率很小和很大的分子所占的百分比較小，中等速率的分子最多。(b)曲線有一個最大值，對應(yīng)的速率為—最可幾(概然)速率f()

o圖8-7352.麥克斯韋速率分布曲線(a)速率分布特征：最可幾(概然)速率的物理意義是：在溫度T的平衡態(tài)下，速率在

p附近單位速率區(qū)間內(nèi)的的分子數(shù)最多。(c)曲線下面積的物理意義

—在速率區(qū)間

1—

2

內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。

1

2f()

o圖8-8d36最可幾(概然)速率的物理意義是：在溫度T的平of()

圖8-9d整個曲線下的面積,即這一關(guān)系式稱為分布函數(shù)f(

)的歸一化條件。歸一化條件的物理意義是：分子速率在0—

間的概率是1。37of()圖8-9d整個曲線下的面積,即二.三種統(tǒng)計速率1.最可幾(概然)速率

p—與分布函數(shù)f(

)的極大值對應(yīng)的速率。由極值條件df(

)/d

=0可以得到of()

圖8-9(8-10)38二.三種統(tǒng)計速率1.最可幾(概然)速率p—與分

解速率區(qū)間

—+d內(nèi)的分子數(shù):dN=Nf()d速率區(qū)間

—+d內(nèi)的分子速率之和:

dN=N

f()d速率區(qū)間

1—

2內(nèi)分子速率之和:速率區(qū)間

1—

2內(nèi)的分子數(shù):于是速率區(qū)間

1—

2

內(nèi)分子的平均速率為例8-9求速率區(qū)間

1—

2

內(nèi)分子的平均速率。39解速率區(qū)間—+d內(nèi)的分子數(shù):dN=N速率區(qū)間0—

內(nèi)分子(全體分子)的平均速率為完成積分，求得平均速率為

2.平均速率

40速率區(qū)間0—內(nèi)分子(全體分子)的平均速率為完成積分，求得平3.方均根速率

與求平均速率類似：

2=于是方均根速率為

2

2413.方均根速率與求平均速率類似：2=于是例8-10(1)nf()d的物理意義是什么？(n是分子的數(shù)密度)nf()d—表示單位體積中，速率在

—+d內(nèi)的分子數(shù)。

(2)寫出速率不大于最可幾速率

p的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比：

(f()d—速率區(qū)間

—+d內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。此題區(qū)間:0

—

p)=42.9%42例8-10(1)nf()d的物例8-11(1)圖8-10中是同溫度下，H2和O2

的麥克斯韋速率分布曲線，由圖可知，H2的最可幾速率為m/s;O2的最可幾速率為m/s。圖8-10(m/s)f()o1000400010001.03kg/m3

2(2)某氣體的方均根速率=450m/s,壓強p=7×104pa,則該氣體的質(zhì)量密度為。

2

2243例8-11(1)圖8-10中是同溫度下，例8-12圖8-11中是某種氣體在不同溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，已知T2>T1。由圖可知，隨著溫度的升高，曲線高度降低了，這是為什么？圖8-11

f()oT2T1答：當(dāng)溫度升高時,氣體分子的速率普遍增大,速率分布曲線上的最大值也向量值增大的方向遷移,即最可幾(概然)速率增大了;但因曲線下總面積,即分子數(shù)的百分率的總和是不變的,因此分布曲線在寬度增大的同時,高度降低,整個曲線顯得較為平坦些。44例8-12圖8-11中是某種氣體在不同溫例8-13假定N個粒子的速率分布函數(shù)為

求(1)歸一化常數(shù)C;(2)處在f()>的粒子數(shù)。C2o圖8-12

of()解(1)由歸一化條件:45例8-13假定N個粒子的速率分布函數(shù)為(2)處在f()>的粒子數(shù):C2o圖8-12

of()>C2N所以f()>的粒子數(shù):C246(2)處在f()>的粒子數(shù):C2o圖8-12§8-7玻耳茲曼分布定律玻耳茲曼從理論上導(dǎo)出:在溫度為T的平衡態(tài)下,氣體分子處在坐標(biāo)區(qū)間(xx+dx,yy+dy,zz+dz)和速度區(qū)間(

x

x+dx,

y

y+dy,

z

z+dz)內(nèi)的分子數(shù)為1.玻耳茲曼分布律式中:no表示勢能EP為零處單位體積中的分子數(shù)，E=Ek+Ep是分子的總能。特點：幾率因子決定著分子的分布。47§8-7玻耳茲曼分布定律玻耳茲曼從理論上設(shè)處于能態(tài)E1,E2(E1<E2)上的分子數(shù)分別為N1，N2，根據(jù)玻耳茲曼分布律，有由于E2>E1,所以N2<N1。即：通常溫度下,處于低能態(tài)的分子數(shù)總是多于處于高能態(tài)的分子數(shù)。也就是說,按統(tǒng)計分布來看,分子總是優(yōu)先占據(jù)能量較低的狀態(tài)。這叫正常分布。

48設(shè)處于能態(tài)E1,E2(E1<E2)上的+

+

將上式對所有可能的速度