一元二次方程的幾何問(wèn)題(含詳細(xì)答案解析)

一元二次方程的幾何問(wèn)題(含詳細(xì)答案解析)一元二次方程的幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題1.如圖，A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，AD=6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D移動(dòng)。求：(1)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm；(2)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm。2.如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)。求：(1)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于6cm？(2)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長(zhǎng)度等于5cm？(3)在(1)中，△PQB的面積能否等于8cm？請(qǐng)說(shuō)明理由。3.等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運(yùn)動(dòng)，已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D。求：(1)△PCQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，S△PCQ=S△ABC？(3)作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度是否改變？請(qǐng)證明你的結(jié)論。4.如圖所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)。求：(1)當(dāng)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒，使△PBQ的面積等于8cm；(2)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，問(wèn)幾秒后，△PBQ的面積為1cm？5.在邊長(zhǎng)為12cm的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒鐘1cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以每秒鐘2cm的速度移動(dòng)。若P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，其中任意一點(diǎn)到達(dá)目的地后，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。求：(1)經(jīng)過(guò)6秒后，BP=6cm，BQ=12cm；(2)經(jīng)過(guò)幾秒后，△BPQ是直角三角形？(3)經(jīng)過(guò)幾秒△BPQ的面積等于18cm2？6.如圖所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向C點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)。(1)如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)2秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm2；(2)如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且點(diǎn)P到B點(diǎn)后又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn)，點(diǎn)Q到點(diǎn)C后又繼續(xù)在CA邊上前進(jìn)，則經(jīng)過(guò)4秒鐘后，△PCQ的面積等于12.6cm2。7.如圖，長(zhǎng)方形ABCD（長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，每個(gè)角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1厘米/秒的速度向D移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，問(wèn)：(1)當(dāng)t=1秒時(shí)，四邊形BCQP面積是4.5cm2；(2)當(dāng)t=4秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q距離是3cm；(3)當(dāng)t=2秒時(shí)，以點(diǎn)P、Q、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。2.題目描述：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,0)、B(5,0)、C(5,7)，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)。根據(jù)此情況，解決以下問(wèn)題：(1)如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于6cm？(2)如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長(zhǎng)度等于5cm？(3)在(1)中，△PQB的面積能否等于8cm？說(shuō)明理由。2.解題過(guò)程：(1)設(shè)P，Q分別從A，B出發(fā)x秒后，△PBQ的面積為6，則BP=5-x，BQ=2x。根據(jù)△PBQ的面積公式，得到(5-x)×2x/2=6，化簡(jiǎn)后得到x^2-5x+6=0，解得x=2或x=3。因此，2或3秒后，△PBQ的面積等于6cm。(2)設(shè)P，Q分別從A，B出發(fā)t秒后，PQ的長(zhǎng)度為5cm。由勾股定理可知，BP^2+PQ^2=BQ^2，即(5-t)^2+25=4t^2。化簡(jiǎn)后得到4t^2-10t=0，解得t=0或t=2.5。顯然，t=0不符合題意，因此2.5秒后，PQ的長(zhǎng)度等于5cm。(3)設(shè)P，Q分別從A，B出發(fā)t秒后，△PQB的面積為8，則BP=5-t，BQ=2t。根據(jù)△PQB的面積公式，得到(5-t)×2t/2=8，化簡(jiǎn)后得到2t^2-5t+8=0。由于判別式Δ=5^2-4×2×8=-31<0，因此△PQB的面積不可能等于8cm。3.點(diǎn)評(píng)：(1)在解決問(wèn)題時(shí)，需要根據(jù)題意列出方程，并通過(guò)解方程來(lái)得到答案。(2)在解決問(wèn)題時(shí)，需要運(yùn)用勾股定理、面積公式等基本幾何知識(shí)。(3)在解決問(wèn)題時(shí)，需要注意排除無(wú)解的情況，如判別式小于0。3.等腰三角形ABC的直角邊AB=BC=10cm，點(diǎn)P、Q從A、C同時(shí)出發(fā)，以相同速度1cm/秒作直線運(yùn)動(dòng)，已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，Q沿BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D。設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△PCQ的面積為S。(1)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式。(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，S△PCQ=S△ABC？(3)作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度是否改變？證明你的結(jié)論。分析：P沿AB向右運(yùn)動(dòng)，Q沿BC向上運(yùn)動(dòng)，速度都為1cm/s，S=QC×PB，因此求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出S與t的關(guān)系。另外，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡不僅在B點(diǎn)左側(cè)運(yùn)動(dòng)，達(dá)到一定時(shí)間后會(huì)運(yùn)動(dòng)到右側(cè)，因此一些問(wèn)題可能會(huì)有兩種可能出現(xiàn)的情況，需要分條回答。解答：(1)當(dāng)t<10秒時(shí)，P在線段AB上，此時(shí)CQ=t，PB=10-t。因此，當(dāng)t>10秒時(shí)，P在線段AB的延長(zhǎng)線上，此時(shí)CQ=t，PB=t-10。因此，(2)因?yàn)镾△PCQ=S△ABC，所以當(dāng)t<10秒時(shí)，S△PCQ=1/2×(10-t)×t=5t-1/2t^2當(dāng)t>10秒時(shí)，S△PCQ=1/2×(t-10)×(20-t)=-(1/2)t^2+15t-100因此，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，S△PCQ=S△ABC。(3)當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變。證明：過(guò)Q作QM⊥AC，交直線AC于點(diǎn)M。易證△APE≌△QCM，因此AE=PE=CM=QM=t。又因?yàn)镋M=AC=10，所以DE=5。因此，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變。同理，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，DE=5。綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變。點(diǎn)評(píng)：做此類(lèi)題應(yīng)首先找出未知量與已知量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用已知量來(lái)表示未知量，許多問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。在這篇文章中，我們需要解決三個(gè)問(wèn)題。首先，我們需要求出在點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)的情況下，經(jīng)過(guò)幾秒，使△PBQ的面積等于8cm。其次，我們需要確定線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分，如果可以，需要求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；如果不行，需要說(shuō)明理由。最后，我們需要在點(diǎn)P沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)的情況下，求出幾秒后，△PBQ的面積為1cm2或2cm2。對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，我們可以設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，使△PBQ的面積等于8cm，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，我們可以設(shè)經(jīng)過(guò)y秒，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分，然后根據(jù)面積之間的等量關(guān)系和判別式求解即可。最后，對(duì)于第三個(gè)問(wèn)題，我們可以分三種情況進(jìn)行討論，具體來(lái)說(shuō)是：①點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB上（＜x＜4）；②點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在射線CB上（4＜x＜6）；③點(diǎn)P在射線AB上，點(diǎn)Q在射線CB上（x＞6）。根據(jù)題意，我們可以設(shè)經(jīng)過(guò)m秒或n秒，然后依題意列出方程求解即可。解答部分：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，使△PBQ的面積等于8cm，根據(jù)等量關(guān)系：△PBQ的面積等于8cm，列出方程求解即可得到x=2或x=4，經(jīng)檢驗(yàn)，x=2或x=4均符合題意，因此經(jīng)過(guò)2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm。（2）設(shè)經(jīng)過(guò)y秒，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分，根據(jù)面積之間的等量關(guān)系和判別式，我們可以列出方程，得到y(tǒng)=5或y=1/2，但是由于y=1/2不符合題意，因此線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分。（3）分三種情況：①點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB上（＜x＜4）；②點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在射線CB上（4＜x＜6）；③點(diǎn)P在射線AB上，點(diǎn)Q在射線CB上（x＞6）。對(duì)于第一種情況，設(shè)經(jīng)過(guò)m秒，根據(jù)題意列出方程求解得到m=5+√7或m=5-√7，但是由于m=5-√7不符合題意，因此m=5+√7。對(duì)于第二種情況，設(shè)經(jīng)過(guò)n秒，根據(jù)題意列出方程求解得到n=5。對(duì)于第三種情況，由于△PBQ的面積為1cm2或2cm2，因此可以直接根據(jù)△PBQ的面積公式求解得到答案。在邊長(zhǎng)為12cm的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒鐘1cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以每秒鐘2cm的速度移動(dòng)。若P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，其中任意一點(diǎn)到達(dá)目的地后，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，求：（1）經(jīng)過(guò)6秒后，BP=6cm，BQ=12cm；（2）經(jīng)過(guò)幾秒后，△BPQ是直角三角形？（3）經(jīng)過(guò)幾秒△BPQ的面積等于cm2？解答：（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間，可得AP=6cm，BQ=12cm。由等邊三角形的性質(zhì)，得AB=BC=12cm，因此BP=12-6=6cm。故答案為：6、12。（2）由等邊三角形的性質(zhì)，得AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°。當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，∠BPQ=30°，因此BP=2BQ。設(shè)BP=x，則BQ=x/2。根據(jù)勾股定理，得x2+(12-x)2=(x/2)2，解得x=8。又因?yàn)锽P=x=8，因此經(jīng)過(guò)8秒后，△BPQ是直角三角形。（3）作QD⊥AB于D，則∠QDB=90°，∠DQB=30°，DB=BQ=x。在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ=x√3/2。因此，△BPQ的面積為1/2×BP×DQ=1/2×8×(2√3)=8√3cm2。故經(jīng)過(guò)約4.62秒，△BPQ的面積等于8√3cm2。在△PBM中，BM=8-2y，PM=y，BP=6-y，根據(jù)勾股定理得到PM的長(zhǎng)度為√(6-y)^2+y^2，因此有S△PCQ=1/2*8*(6-y)+1/2*(√(6-y)^2+y^2)*(2y-8)=12.6，解得y=5.5；③6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），如圖（3）過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，BD=BC=8，因此QD=√(14-y)^2+8^2，CQ=2y-8，根據(jù)三角形的面積公式得到S△PCQ=1/2*CQ*QD=12.6，解得y=7.5；綜上所述，經(jīng)過(guò)5.5秒或7.5秒后，△PCQ的面積等于12.6cm。所以CE=QB=2cm，BE=QC=4cm，由勾股定理可得PE=√(PB^2-BE^2)=√(4^2-4^2)=0，EQ=√(QB^2-PB^2)=√(2^2-4^2)=-2，所以PQ=PE+EQ=0-2=-2cm，距離為2cm，不符合題意；如圖2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ=90°，∵∠A=∠D=90°，∴四邊形APDE是矩形，所以AE=PD=2cm，DE=AP=2cm，由勾股定理可得QE=√(AQ^2-AE^2)=√(6^2-2^2)=√32，EQ=√(PQ^2-PE^2)=√(3^2-2^2)=√5，所以PQ=PE+EQ=2+√5，距離為3cm，符合題意；（3）如圖3，分情況討論：當(dāng)PQ=DQ時(shí)，如圖4，由等腰三角形的性質(zhì)可知PC=CQ=1cm，所以PM=PC-CM=1-√(2^2-1^2)=1-√3，代入公式CQ×PM=12.6，解得t=5-√3秒；當(dāng)PD=PQ時(shí)，如圖5，由等腰三角形的性質(zhì)可知PC=CQ=1cm，所以PM=PC-CM=1-√(3^2-1^2)=1-√8，代入公式CQ×PM=12.6，解得t=5-√8秒；當(dāng)PD=QD時(shí)，如圖6，由等腰三角形的性質(zhì)可知PC=CQ=1cm，所以PM=PC-CM=1-1/√2，代入公式CQ×PM=12.6，解得t=5-2/√2秒．答：當(dāng)t=5-√3秒或5-√8秒或5-2/√2秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q距離是3cm．已修改，如下：已知矩形BCQE中，BC=2cm，BE=CQ=t。又AP=2t，則PE=6-3t。在直角三角形PQE中，由勾股定理可得：(6-3t)+4=9，解得t=2/3。如圖2，作PE⊥CD于E，則∠PEQ=90°。因?yàn)椤螧=∠C=90°，所以四邊形BCQE是矩形，因此PE=BC=2cm，BP=CE=6-2t。又因?yàn)镃Q=t，所以QE=t-(6-2t)=3t-6。在直角三角形PEQ中，由勾股定理可得：(3t-6)+4=9，解得t=2/3。如圖3，當(dāng)PQ=DQ時(shí)，作QE⊥AB于E，則∠PEQ=90°。因?yàn)椤螧=∠C=90°，所以四邊形BCQE是矩形，因此QE=BC=2cm，BE=CQ=t。又因?yàn)锳P=2