2021年上海市寶山區(qū)中考數(shù)學三模試卷（解析版）

2021年上海市寶山區(qū)中考數(shù)學三模試卷

一、選擇題（共6小題）.

1.下列計算正確的是（）

A.（2a）2=2出B.a6-7-a3—a3

C.a3*a2=a6D.3a2+2a3=5a5

2.下列方程有實數(shù)根的是（）

A.%二2_=0B.A/X-1=-2C.x2-x+1=0D.2x2+x-1=0

x-1

3.如果函數(shù)y=3x+m的圖象一定經(jīng)過第二象限，那么，〃的取值范圍是（）

A./n>0B.m20C.m<0D.

4.如圖，反映的是某中學九（1）班學生外出乘車、步行、騎車人數(shù)的扇形分布圖，其中乘

A.九（1）班外出的學生共有42人

B.九（1）班外出步行的學生有8人

C.在扇形圖中，步行學生人數(shù)所占的圓心角的度數(shù)為82°

D.如果該中學九年級外出的學生共有500人，那么估計全年級外出騎車的學生約有140

人

5.一個正多邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn)45°后，就與原正多邊形第一次重合，那么這個正多邊形

（）

A.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形

B.是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

D.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形

6.下列命題中正確的是（）

A.對角線相等的梯形是等腰梯形

B.有兩個角相等的梯形是等腰梯形

C.一組對邊平行的四邊形一定是梯形

D.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形一定是等腰梯形

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.計算：~2=?

8.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：爐一9足=.

9.化簡:—-±-=.

xx+1

10.函數(shù)yf/4-2x的定義域是.

11.已知：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（2,-3）,那么％=.

12.將一次函數(shù)），=本+3的圖象沿著〉軸向下平移5個單位，那么平移后所得圖象的函數(shù)

解析式為.

13.一布袋里裝有4個紅球、5個黃球、6個黑球，這些球除顏色外其余都相同，那么從這

個布袋里摸出一個黃球的概率為.

14.如果一組數(shù)”，2,4,0,5的中位數(shù)是4,那么?？梢允牵ㄖ恍?/p>

寫出一個滿足要求的數(shù)）.

15.已知：在平行四邊形ABC。中，設(shè)族=:AD=b,那么瓦=（用

向量Z、E的式子表示）.

16.在四邊形ABC。中，8。是對角線，NABD=NCDB,要使四邊形A8CD是平行四邊形

只須添加一個條件，這個條件可以是（只需寫出一種情況）.

17.某中學組織九年級學生春游，有機名師生租用45座的大客車若干輛，共有2個空座位，

那么租用大客車的輛數(shù)是（用，"的代數(shù)式表示）.

18.在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,以點A為圓心，1為半徑作將0A繞著點C

順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0<a<90°）,若OA與直線8C相切，則Na的余弦值

為.

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

122v+9

19.先化簡，再求值：（pH—-,其中x=2+?.

2V

x+2x-2X+2X

3x2-y2-y+3=o①

20.解方程組：<

2x-y=l②

A

21.如圖，在梯形ABC。中，AD〃BC,AB=CD=5,對角線8。平分NABC,cosC=—.

5

(1)求邊BC的長；

(2)過點4作AELBZ),垂足為點E,求cotNDAE的值.

22.某賓館有客房200間供游客居住，當每間客房的定價為每天180元時，客房恰好全部住

滿；如果每間客房每天的定價每增加10元，就會減少4間客房出租.設(shè)每間客房每天的

定價增加x元，賓館出租的客房為y間.求：

(1)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果某天賓館客房收入38400元，那么這天每間客房的價格是多少元？

23.如圖，已知在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點。在邊BC上，以AD為邊作正

方形ADEF,聯(lián)結(jié)CF,CE.

(1)求證：FC1.BC,

24.如圖，在直角坐標平面xOy內(nèi)，點A在x軸的正半軸上，點B在第一象限內(nèi)，且

=90°,ZBOA=30°,OB=4.二次函數(shù)y=-N+bx的圖象經(jīng)過點A,頂點為點C.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點C的坐標；

(2)設(shè)這個二次函數(shù)圖象的對稱軸/與。8相交于點。，與x軸相交于點E,求理的值；

DC

(3)設(shè)P是這個二次函數(shù)圖象的對稱軸/上一點，如果△POA的面積與△OCE的面積

相等，求點P的坐標.

25.已知：如圖，ZVIBC為等邊三角形，AB二蚯,AHA.BC,垂足為點H,點。在線段

HC上，且H￡>=2,點P為射線AH上任意一點，以點尸為圓心，線段尸。的長為半徑作

(1)當x=3時，求OP的半徑長；

(2)如圖1,如果0P與線段AB相交于E、尸兩點，且￡F=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析

式，并寫出它的定義域；

(3)如果與△ABH相似，求x的值(直接寫出答案即可).

參考答案

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）［下列各題的四個選項中，有且只有

一個選項是正確的，請選擇正確選項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上］

1.下列計算正確的是（）

A.（2（?）』2足B.a6-i-a3—a3

C.a3*d2=a6D.3a2+2a3=5a5

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減；合并同類項，系數(shù)相加字母和字母

的指數(shù)不變；同底數(shù)嘉的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加；塞的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，對

各選項計算后利用排除法求解.

解：A、（2a）2=4a2,故本選項錯誤.

B、故本選項正確.

C、。3.“2=”5,故本選項錯誤.

D、3〃與2.3,不能合并同類項故本選項錯誤.

故選：B.

2.下列方程有實數(shù)根的是（）

2

A.—_—=QB.y/x-l=-2C.x2-x+l=OD.2x2+x-1=0

x-1

【分析】根據(jù)分式方程和無理方程的解法如果能求得方程的解說明方程有實數(shù)解，一元

二次方程有實數(shù)根只需得到其根的判別式為非負數(shù).

解：4、分式方程工21=0,

x-l

去分母得：x2+2=0

原方程無解；

B、V774^0

無理方程無解；

C、\'x2-x+1=0中按-4ac=1-4=-3<0

??.x2-x+l=0無實數(shù)根；

D、\'2x2+x-1=0中心-4ac=1+8=9>0,

...此方程有實數(shù)根，

故選：D.

3.如果函數(shù)y=3x+,”的圖象一定經(jīng)過第二象限，那么團的取值范圍是（）

A.m>0B.C./?<0D./?W0

【分析】圖象一定經(jīng)過第二象限，則函數(shù)一定與y軸的正半軸相交，因而〃?>0.

解：根據(jù)題意得：機>0,

故選：A.

4.如圖，反映的是某中學九（1）班學生外出乘車、步行、騎車人數(shù)的扇形分布圖，其中乘

車的學生有20人，騎車的學生有12人，那么下列說法正確的是（）

A.九（1）班外出的學生共有42人

B.九（1）班外出步行的學生有8人

C.在扇形圖中，步行學生人數(shù)所占的圓心角的度數(shù)為82°

D.如果該中學九年級外出的學生共有500人，那么估計全年級外出騎車的學生約有140

人

【分析】先求出九（1）班的總?cè)藬?shù)，再求出步行的人數(shù)，進而求出步行人數(shù)所占的圓心

角度數(shù)，最后即可作出判斷.

解：由扇形圖知乘車的人數(shù)是20人，占總?cè)藬?shù)的50%,所以九（1）班有20?50%=40

人，

所以騎車的占124-40=30%,步行人數(shù)=40-12-20=8人，

所占的圓心角度數(shù)為360。X20%=72°,

如果該中學九年級外出的學生共有500人，那么估計全年級外出騎車的學生約有150人.

故選：B.

5.一個正多邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn)45°后，就與原正多邊形第一次重合，那么這個正多邊形

（）

A.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形

B.是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

D.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形

【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義得出這個正多邊形是正八邊形、再根據(jù)軸對稱圖形

和中心對稱圖形的定義即可解答.

解：?.?一個正多邊形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)45°后，能與原正多邊形重合，

360°+45°=8,

這個正多邊形是正八邊形.

正八邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

故選：C.

6.下列命題中正確的是（）

A.對角線相等的梯形是等腰梯形

B.有兩個角相等的梯形是等腰梯形

C.一組對邊平行的四邊形一定是梯形

D.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形一定是等腰梯形

【分析】根據(jù)等腰梯形的判定定理對各個選項逐一分析即可.

解：4對角線相等的梯形是等腰梯形，由全等三角形的判定與性質(zhì)可證明出是等腰梯形,

故本選項正確；

8、有兩個角相等的梯形是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和判定可判斷：直角梯形中有

兩個角相等為90度，但不是等腰梯形，故本選項錯誤；

C、一組對邊平行的四邊形一定是梯形，錯誤，因為沒說明另一組對邊的關(guān)系，有可能也

平行，那么就有可能是平行四邊形，故本選項錯誤；

。、一組對邊平行，另一組對邊相等則有兩種情況，即平行四邊形或等腰梯形，所以不能

說一定是等腰梯形.

故本選項錯誤；

故選：A.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.計算：T=3.

【分析】gi=V9＞即是求9的算術(shù)平方根.

解：根據(jù)題意：g萬=d^=3.

故答案為：3.

8.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：a3-9a2=a2(a-9).

【分析】按照因式分解的定義，提取公因式即可求解.

解：a3-9a2=〃2(〃-9).

故答案為：“2(q-9).

9.化簡：-4—.

2

Xx+1-x+x-

【分析】根據(jù)分式加減的運算法則，將分式通分、化簡即可.

解:原式=X+1

X(x+1)x(x+l)

x+l-x

x(x+l)

1

x(x+l)

1

=2上.

X+x

10.函數(shù)vf/4-7丫的定義域是xW2

【分析】根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)是非負數(shù)可：4-2x^0,求解即可.

解：根據(jù)題意得：4-2x^0,

解得xW2.

故答案為xW2.

11.已知：反比例函數(shù)yX的圖象經(jīng)過點A(2,-3),那么k=-6.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，將點A(2,-3)代入反比例函數(shù)

然后解關(guān)于4的方程即可.

解：根據(jù)題意，得

解得，k=-6.

故答案是：-6.

12.將一次函數(shù)y=%+3的圖象沿著y軸向下平移5個單位，那么平移后所得圖象的函數(shù)

解析式為尸人-2.

【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.

解:將一次函數(shù)），=去+3的圖象沿著y軸向下平移5個單位所得函數(shù)解析式為:y=/x+3

-5,

即尸工-2.

2

故答案為：y--^x-2.

13.一布袋里裝有4個紅球、5個黃球、6個黑球，這些球除顏色外其余都相同，那么從這

個布袋里摸出一個黃球的概率為《.

【分析】由于每個球被摸到的機會是均等的，故可用概率公式解答.

解：?.?布袋里裝有4個紅球、5個黃球、6個黑球，

故答案為：［■.

14.如果一組數(shù)小2,4,0,5的中位數(shù)是4,那么a可以是4（所填答案滿足即可）

（只需寫出一個滿足要求的數(shù)）.

【分析】由于一共5個數(shù)，4一定排在第3個才能是中位數(shù)，所以?？梢栽诘?個或第5

個，從而確定”的取值即可.

解：???這組數(shù)據(jù)有5個數(shù)，且中位數(shù)是4,

???4必須在5個數(shù)從小到大排列的正中間，

即這組數(shù)據(jù)的重新排列是0,2,4,a,5或0,2,4,5,a,

；.心4或心5,

故答案是4（答案不唯一）.

15.已知：在平行四邊形4BCZ）中，設(shè)族=2，AD=b1那么點=—-三-；（用向量1、

E的式子表示）.

【分析】由在平行四邊形ABC。中，可得筋=標=芯，即可得遍=-：CB=-b,又

由取=后+而，即可求得答案?

解：：四邊形ABCO是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC,

?,-BC=AD=b>

vAB=a>

***BA=_a'CB='b'

?■?CA=CB+BA=-b-a-

故答案為：-b-a,

16.在四邊形ABC。中，8。是對角線，NABD=NCDB,要使四邊形ABC。是平行四邊形

只須添加一個條件，這個條件可以是AB=CD或AQ〃BC（只需寫出一種情況）.

【分析】用反推法，如果四邊形ABC。是平行四邊形，會推出什么結(jié)論，那么這些結(jié)論

就是我們要添加的條件.

解：,:NABD=NCDB,：.AB//CD,要使四邊形ABC。是平行四邊形，可添AB=C￡）,

根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可使四邊形ABCQ是平行四邊形；或

添AQ〃BC,根據(jù)由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可使四邊形ABC。是平

行四邊形.

17.某中學組織九年級學生春游，有m名師生租用45座的大客車若干輛，共有2個空座位，

那么租用大客車的輛數(shù)是畔（用，〃的代數(shù)式表示）.

【分析】讓汽車上一共可坐的人數(shù)除以每輛汽車可坐的人數(shù)即為租用大客車的輛數(shù).

解：共有2個空座位，那么一共可以坐（加+2）人，

二租用大客車的輛數(shù)是嚶，

45

故答案為：嚶.

45

18.在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,以點A為圓心，1為半徑作OA,將G）A繞著點C

順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0<a<90°）,若0A與直線BC相切，則Na的余弦值為

1

~3~,

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到NA'OC=90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到or=CA=3,

根據(jù)余弦的定義計算，得到答案.

解：設(shè)將OA繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，點A至點A'時，OA'與直線BC相切相切于點Q,

連接A'D,

則NA'0c=90°,4'0=1,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CA1=C4=3,

/.cosZCAzD=--rfi——,

AyC3

9：AC//ArD,

：.a=ZCArD,

?二/a的余弦值為J,

故答案為：

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

123X+2

19-先化簡,再求值：金口）+二。二,其中X=2+V3.

【分析】首先對括號內(nèi)的分式進行通分，計算分式的加減，然后把除法轉(zhuǎn)化成乘法，然

后計算分式的乘法即可化簡，然后代入數(shù)值進行計算即可求解.

3x+2.x(x+2)

解：原式=

(x+2)(x-2)3x+2

x-2

2F2/2?+3

當x=2+?時，原式=

2+V3-2V33

3x2-y2-y+3=0①

20.解方程組：

2x-y=l②

【分析】先由②得到關(guān)于y,并代入①，從而求得.

解：由②得y=2x-1.③（1分）

把③代入①，得3/-（2r-1）2-（2x-1）+3=0.

整理后，得N-2x-3=0.

解得X|=-1,12=3.

把X1=-1代入③，得yi=-3.

把X2=3代入③，得”=5.

所以，原方程組的解是（1分）

Iy=-31y=5

A

21.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,AB=CD=5,對角線8。平分乙48C,cosC=—.

5

（1）求邊BC的長；

（2）過點4作垂足為點E,求cot/DAE的值.

4

【分析】（1）過點。作垂足為點H.在RtaCDH中，由cosC=W，可求得

CH,再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，得則AD=AB=5.即

可求出BC；

（2）在RtZ\C￡>〃中，可求得進而得出8H,將角ND4E轉(zhuǎn)化成即可得出

答案.

解：（1）過點。作力H_LBC,垂足為點

在RtZXCD”中，由NC44=90°,CD=5,osC=—>

C5

得CH=CD?cosC=5X4=4.（1分）

D

???對角線8。平分NA8C,

；?NABD=NCBD.（1分）

?：AD//BC,

：./ADB=/DBC.

：.ZABD=ZADB.即得AO=A8=5.

于是，由等腰梯形ABC。，可知3C=AO+2C"=13.（1分）

（2）\'AE.LBDfDHLBC,

：.ZBHD=ZAED=90°.

???/ADB=NDBC,

:?/DAE=/BDH.（1分）

在RtACDH中，DH=VCD2-CH2TS2-/=3-（1分）

在中，BH=BC-CH=13-4=9.（1分）

???cot/BDH端出（1分）

22.某賓館有客房200間供游客居住，當每間客房的定價為每天180元時，客房恰好全部住

滿：如果每間客房每天的定價每增加10元，就會減少4間客房出租.設(shè)每間客房每天的

定價增加x元，賓館出租的客房為y間.求：

（1）y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果某天賓館客房收入38400元，那么這天每間客房的價格是多少元？

【分析】（1）設(shè)每間客房每天的定價增加x元，賓館出租的客房為y間，根據(jù)某賓館有

客房200間供游客居住，當每間客房的定價為每天180元時，客房恰好全部住滿；如果

每間客房每天的定價每增加10元，就會減少4間客房出租可列出函數(shù)式.

（2）38400是利潤，根據(jù)價格和住房的關(guān)系可列方程求出解

解：（1）設(shè)每間客房每天的定價增加x元，賓館出租的客房為y間，

根據(jù)題意，得：

y=200-4X令，

9

??y=-^x+200-

D

（2）設(shè)每間客房每天的定價增加x元

根據(jù)題意，得（180+x）（咯x+200）=38400?

0

整理后，得N-32（k+6000=0.

解得xi=20,X2=300.

當x=20時，x+180=200（元）.

當x=300時，x+180=480(元).

答：這天的每間客房的價格是200元或480元.

23.如圖，已知在△ABC中，/BAC=90°,AB=AC,點。在邊BC上，以AD為邊作正

方形ADEF,聯(lián)結(jié)CF,CE.

(1)求證：FCA.BC；

(2)如果BD=4C,求證：CD=CE.

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AO=AF,ZFAD=90°=ZBAC,求出NE4C=

NBAD,證出推出/8=NFC4即可；

(2)根據(jù)△A8￡)絲ZVIC/，推出BD=CF=AC,求出/D4C=NEFC,根據(jù)SAS推出△

D4CgZ\EFC即可.

【解答】證明：(1)；四邊形AQEF是正方形，

：.AD=AF,ZFAD=900=ZBAC,

：.ZFAD-NDAC=ZBAC-ZDAC,

：.ZFAC^ZBAD,

在△A3。和△ACF中

，AB=AC

-ZBAD=ZFAC>

AD=AF

AAABD^AACF(SAS),

：.ZB=ZFCA,

'."ZBAC=90°,

；.NB+/ACB=90°,

AZACB+ZACF=90°,

：.FCLBC.

(2)V/\ABD^/\ACF,

:.BD=CF,

\'BD=AC,

J.AC^CF,

：.ZCAF^ZCFA,

；四邊形AOEF是正方形，

：.AD=EF,ZDAF=ZEFA=90°,

：.ZDAF-NCAF=NEFA-ZCFA,

；.NDAC=NEFC,

在△￡>AC和△￡：人?中

，AD=EF

-ZDAC=ZEFC>

AC=CF

:.△DACaXEFC(SAS),

：.CD=CE.

24.如圖，在直角坐標平面xOy內(nèi)，點A在x軸的正半軸上，點B在第一象限內(nèi)，且/OAB

=90°,N8OA=30°,08=4.二次函數(shù)y=-/+公的圖象經(jīng)過點A,頂點為點C.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點C的坐標；

(2)設(shè)這個二次函數(shù)圖象的對稱軸/與0B相交于點D與x軸相交于點E,求理的值；

DC

(3)設(shè)P是這個二次函數(shù)圖象的對稱軸/上一點，如果△POA的面積與△OCE的面積

相等，求點P的坐標.

【分析】（1）由NOAB=90°,在直角三角形OAB中求得點A,代入函數(shù)式解得.

（2）直角三角形。48中求得AB的長度，由拋物線的對稱軸可知OE=AE.求

得DE,進而求得CD,從而求得.（3）利用三角形OCE和三角形POA的面積相等即求

得.

解：（1）VZOAfi=90°,ZBOA=30°,0B=4,

.".0A=0B'cos30°=2V3.

（2?，0）.（1分）

?.?二次函數(shù)y=-9+加的圖象經(jīng)過點A,

，-（2“）2+2V§b=0-

解得b=2?.

二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2?x?

頂點C的坐標是（?,3）.（1分）

（2）VZOAfi=90°,ZBOA=30°,OB=4,

；.AB=2.（1分）

由OE是二次函數(shù)y=-x2+2舊x的圖象的對稱軸，

可知OE〃AB,OE=AE.

...叫理」.即得OE=].（1分）

AB0A2

又,：C（?,3）,：.CE=3.

即得C￡>=2.（1分）

（3）根據(jù)題意，可設(shè)P（?,n）.

OE=yOA=V3>CE—3,

focE比E?CE=|V§.。分）

SAPOA=|oA-PE=-1-x2y|n|=岑畫

解得n=±|".（1分）

.?.點P的坐標為Pi（?,-1）>Pi（A/3-.

25.已知：如圖，ZVIBC為等邊三角形，48=&百，AHLBC,垂足為點〃，點力在線段

HC上，且?。?2,點P為射線AH上任意一點，以點尸為圓心，線段尸。的長為半徑作