五年級(jí)奧數(shù)幾何圓與扇形包含與排除和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱（B級(jí)）學(xué)生版

包含與排除和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱包含與排除和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)捆地球的繩子假設(shè)地球上即無(wú)山，又無(wú)海，完全像一個(gè)大圓球，現(xiàn)在想用一根很長(zhǎng)很長(zhǎng)的繩子，沿著赤道用繩子捆上一圈，問(wèn)繩長(zhǎng)多少？如果繩長(zhǎng)加上1米，繩子圍成一個(gè)大圓圈之后，就要離開(kāi)赤道一段距離，形成圍繞地球的一個(gè)等距離的圓環(huán)，問(wèn)圓環(huán)和地球之間的間隔有多大？（已知地球半徑約為6400千米，取3.14）答案提示：地球赤道長(zhǎng)：（千米），所以繩長(zhǎng)40192千米；一般我們會(huì)想對(duì)于4萬(wàn)多千米來(lái)說(shuō)，僅僅延長(zhǎng)1米，會(huì)有多大的間隔？即使有間隔，恐怕也只能在顯微鏡下才能看見(jiàn)！讓我們來(lái)計(jì)算一下吧！假如繩長(zhǎng)加上1米變?yōu)?0192001米，則有：（米），大約為16厘米，差不多有一支鉛筆長(zhǎng)。簡(jiǎn)直不可思議！知識(shí)框架知識(shí)框架圓的知識(shí)：當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O在平面上旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一端點(diǎn)所畫成的封閉曲線叫做圓，點(diǎn)O叫做這個(gè)圓的圓心.連結(jié)一個(gè)圓的圓心和圓周上任一點(diǎn)的線段叫做圓的半徑.連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做圓的弦；過(guò)圓心的弦叫做圓的直徑.圓的周長(zhǎng)與直徑的比叫做圓周率；圓周上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧.圓周長(zhǎng)=直徑×π=半徑×2π圓面積=π×半徑扇形的知識(shí)：扇形圓心角.我們經(jīng)常說(shuō)的圓、圓、圓等等其實(shí)都是扇形，而這個(gè)幾分之幾表示的其實(shí)是這個(gè)扇形的圓心角占這個(gè)圓周角的幾分之幾．那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是．扇形中的弧長(zhǎng)=.扇形的周長(zhǎng)=+2r.扇形的面積==.弓形的知識(shí)：弦與它所對(duì)的弧所組成的圖形叫做弓形?！疽话銇?lái)說(shuō)，弓形面積扇形面積-三角形面積．(除了半圓)】常用方法：常用的思想方法：①轉(zhuǎn)化思想(復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的)②等積變形(割補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等)③借來(lái)還去(加減法)④外圍入手(從會(huì)求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的”關(guān)系”)包含與排除法：重疊想減就是應(yīng)用了包含與排除的思想，用包含與排除求面積時(shí)，關(guān)鍵是考慮重疊部分的面積如何正確處理，應(yīng)該加上還是減去，要仔細(xì)思考，正確選擇。旋轉(zhuǎn)對(duì)稱：將不規(guī)則圖形或幾個(gè)圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱之后成為一個(gè)或幾個(gè)規(guī)則圖形進(jìn)行面積計(jì)算的方法。重難點(diǎn)重難點(diǎn)重點(diǎn)：利用容斥原理就是重疊相減法求面積。旋轉(zhuǎn)圖形問(wèn)題的重點(diǎn)研究是當(dāng)一個(gè)圖形繞一點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)軌跡掃過(guò)的面積。難點(diǎn)：利用容斥原理如何對(duì)重疊部分的面積進(jìn)行正確的處理。如何利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱對(duì)所求圖形進(jìn)行簡(jiǎn)化。例題精講例題精講如圖，直角三角形的邊長(zhǎng)分別為6，8，10，求陰影部分的面積．(取3)【鞏固】如圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓O的半徑為15，ABE是以C為圓心，AC為半徑的圓?。箨幱安糠置娣e．圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10厘米，寬是4厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少？（用π的式子表示）【鞏固】如右圖，正方形的邊長(zhǎng)為5厘米，則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米，（用π的式子表示）【例3】如圖所示，求陰影部分的面積。（用π的式子表示）【鞏固】(2008年四中考題)已知三角形ABC是直角三角形，，，求陰影部分的面積．（用的式子表示）三個(gè)圓的半徑都是5厘米，三個(gè)圓兩兩相交于圓心，求三塊陰影部分的面積之和?！眷柟獭克膫€(gè)小圓的半徑都是5厘米，大圓半徑為小圓的直徑，求三塊陰影部分的面積之和。（奧林匹克決賽試題）在桌面上放置3個(gè)兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是100平方厘米，蓋住桌面的總面積是144平方厘米，3張紙片共同重疊的面積是42平方厘米.那么圖中3個(gè)陰影部分的面積的和是多少平方厘米.【鞏固】（2010年四中）四個(gè)圓的半徑都是10厘米，三個(gè)圓兩兩相交于圓心，求四塊陰影部分的面積之和。草場(chǎng)上有一個(gè)長(zhǎng)20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長(zhǎng)30米的繩子拴著一只羊(見(jiàn)如圖)．問(wèn)：這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大？(圓周率取)（用π的式子表示）【鞏固】一只狗被拴在底座為邊長(zhǎng)3米的等邊三角形建筑物的墻角上(如圖)，繩長(zhǎng)是4米，求狗所能到的地方的總面積．(圓周率按計(jì)算)正三角形ABC的邊長(zhǎng)是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使點(diǎn)再次落在這條直線上，那么點(diǎn)在翻滾過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路線總長(zhǎng)度是多少厘米？如果三角形面積是15平方厘米，那么三角形在滾動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的面積是多少平方厘米？（用π的式子表示）【鞏固】如圖，一條直線上放著一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為4CM和3CM的長(zhǎng)方形Ⅰ．它的對(duì)角線長(zhǎng)恰好是5CM．讓這個(gè)長(zhǎng)方形繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后到達(dá)長(zhǎng)方形Ⅱ的位置，這樣連續(xù)做三次，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置．求點(diǎn)A走過(guò)的路程的長(zhǎng)．（用π的式子表示）如圖所示，直角三角形的斜邊長(zhǎng)為10厘米，，此時(shí)長(zhǎng)5厘米．以點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、分別到達(dá)點(diǎn)、的位置．求邊掃過(guò)的圖形即圖中陰影部分的面積．(取3)（用π的式子表示）【鞏固】（2006年數(shù)學(xué)解題能力高年級(jí)初試8題）如下圖，△ABC是一個(gè)等腰直角三角形，直角邊的長(zhǎng)度是1米?，F(xiàn)在以C點(diǎn)為圓點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，那么，AB邊在旋轉(zhuǎn)時(shí)所掃過(guò)的面積是多少平方米（=3.14）如圖30-14，將長(zhǎng)方形ABCD繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD邊掃過(guò)部分的面積．(取3.14)【鞏固】(祖沖之杯競(jìng)賽試題)如圖，是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為，對(duì)角線長(zhǎng)為的正方形，它繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，分別求出四邊掃過(guò)圖形的面積．(2004年第九屆華杯賽初賽)半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為50厘米的大鐵環(huán)的內(nèi)側(cè)作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)小鐵環(huán)沿大鐵環(huán)滾動(dòng)一周回到原位時(shí)，問(wèn)小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈？【鞏固】如圖所示，大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的()倍，當(dāng)小圓在大圓內(nèi)側(cè)(外側(cè))作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)一圈后又回到原來(lái)的位置，小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動(dòng)了幾周？課堂檢測(cè)課堂檢測(cè)1、下圖是一個(gè)直徑為3的半圓，讓這個(gè)半圓以A點(diǎn)為軸沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60度,此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到B’點(diǎn)，求陰影部分的面積。（用π的式子表示）2、如圖，四個(gè)小圓為完全相同的圓，且半徑為2，如圖，求陰影部分的面積。3、長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為10，寬為4，求圖中陰影部分的面積。（π取3）4、直角三角形放在一條直線上，斜邊長(zhǎng)厘米，直角邊長(zhǎng)厘米．如下圖所示，三角形由位置Ⅰ繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置Ⅱ，此時(shí)，點(diǎn)分別到達(dá)，點(diǎn)；再繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置Ⅲ，此時(shí)，點(diǎn)分別到達(dá)，點(diǎn)．求點(diǎn)經(jīng)到走過(guò)的路徑的長(zhǎng)．（用π的式子表示）5、有三個(gè)面積都是S的圓放在桌上,桌面被圓覆蓋的面積是2S+2,并且重合的兩塊是等面積的,直線a過(guò)兩個(gè)圓心A、B,如果直線a下方被圓覆蓋的面積是9,求圓面積S的值.復(fù)習(xí)總結(jié)復(fù)習(xí)總結(jié)在解決圓與扇形的組合圖形時(shí)，先觀察圖形中自己會(huì)求得圖形的面積，然后再分析如何利用這幾個(gè)圖形來(lái)求組合圖形的面積。解決旋轉(zhuǎn)圖形的問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真分析運(yùn)動(dòng)著的物體所經(jīng)過(guò)的路線或范圍。家庭作業(yè)家庭作業(yè)1、如圖所示，圓的半徑為4，BC=10，求陰影部分的面積。（用π的式子表示）2、如圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半徑CB4厘米，求陰影部分的面積．（用π的式子表示）3、在桌面上放置平方厘米，蓋住桌面的總面積是平方厘米，1，2，3，部分的面積和為80，張紙片共同重疊的面積是陰影部分，求陰影部分得面積。4、一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，它的一半是一個(gè)等腰直角三角形，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到如下圖型，求陰影部分得面積。（用π的式子表示）5、(2008年“學(xué)而思杯”數(shù)學(xué)試題)如圖，直角三角形中，為直角，且厘米，厘米，則在將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊掃過(guò)圖形的面積為．()6、如果半徑為25厘