第七講 正則坐標與主振型

第七講正則坐標與主振型第1頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月22第一章振動理論基礎1.1振動系統(tǒng)簡介1.2單自由度系統(tǒng)1.3多自由度系統(tǒng)1.4連續(xù)振動系統(tǒng)1.5隨機振動第2頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月復習：多自由度系統(tǒng)固有頻率和主振型一般的振動系統(tǒng)的n個固有頻率的值互不相等(也有特殊情況)。將各個固有頻率按照由小到大的順序排列為其中最低階固有頻率ω1稱為第一階固有頻率或稱基頻，然后依次稱為二階、三階固有頻率等。

第3頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月對應于ωi可以求得A(i)，它滿足返回首頁A(i)為對應于ωi的特征矢量。它表示系統(tǒng)在以ωi的頻率作自由振動時，各物塊振幅的相對大小，稱之為第i階主振型，也稱固有振型或主模態(tài)。對于任何一個n自由度振動系統(tǒng)，總可以找到n個固有頻率和與之對應的n階主振型第4頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月在主振型矢量中，規(guī)定某個元素的值為1，并進而確定其它元素的過程稱為歸一化。令，于是可得第i階主振型矢量為第5頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例1圖是三自由度振動系統(tǒng)，設k1=k2=k3=k，m1=m2=m，m3=2m，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：選擇x1、x2、x3坐標如圖所示。則系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣分別為將M和K代入頻率方程第6頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月解方程得到求出系統(tǒng)的三個固有頻率為=0代入第7頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月可得主振型第8頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月主坐標和正則坐標主振型的正交性主振型矩陣與正則振型矩陣主坐標和正則坐標第9頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月返回首頁n自由度的振動系統(tǒng)，具有n個固有頻率和與之對應的n階主振型。且這些主振型之間存在著關于質量矩陣和剛度矩陣的正交性。對應于兩邊左乘轉置，然后右乘

相減

第10頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月表明，對應于不同固有頻率的主振型之間，既關于質量矩陣相互正交，又關于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。還可以證明，零固有頻率對應的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關于質量矩陣和剛度矩陣正交。

Ki稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度；Mi稱為第i階主質量或第i階模態(tài)質量。令j=i,第11頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月可見，由于主振型的正交性，不同階的主振動之間不存在動能的轉換，或者說不存在慣性耦合。同樣可以證明第i階固有振動的廣義彈性力在第j階固有振動的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動之間也不存在勢能的轉換，或者說不存在彈性耦合。對于每一個主振動來說，它的動能和勢能之和是個常數(shù)。在運動過程中，每個主振動內部的動能和勢能可以互相轉化，但各階主振動之間不會發(fā)生能量的傳遞。因此，從能量的觀點看，各階主振動是互相獨立的，這就是主振動正交性的物理意義。第12頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個n×n階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即根據(jù)主振型的正交性，可以導出主振型矩陣的兩個性質主質量矩陣主剛度矩陣第13頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月使MP由對角陣變換為單位陣正則振型的正交關系是第i階正則振型第i階固有頻率第14頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月以各階正則振型為列，依次排列成一個n×n階方陣，稱此方陣為正則振型矩陣，即由正交性可導出正則矩陣兩個性質譜矩陣

第15頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月在一般情況下，具有有限個自由度振動系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣都不是對角陣。因此，系統(tǒng)的運動微分方程中既有動力偶合又有靜力偶合。對于n自由度無阻尼振動系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標，使方程中不出現(xiàn)偶合項亦即質量矩陣和剛度矩陣都是對角陣，這樣每個方程可以視為單自由度問題，稱這組坐標為主坐標或模態(tài)坐標。由前面的討論可知，主振型矩陣AP與正則振型矩陣AN，均可使系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣轉換成為對角陣。因此，可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進行坐標變換，以尋求主坐標或正則坐標。第16頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2.正則坐標用正則振型矩陣AN進行坐標變換，設正則坐標矢量前乘以由正則振型矩陣的兩個性質第17頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例5試求例1中系統(tǒng)的主振型矩陣和正則振型矩陣。由質量矩陣

，可求出主質量矩陣解：將在例1中求得的各階主振型依次排列成方陣，得到主振型矩陣第18頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月于是，可得各階正則振型以各階正則振型為列，寫出正則振型矩陣第19頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月由剛度矩陣可求出譜矩陣可寫出以正則坐標表示的運動方程展開式為第20頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月固有頻率相等的情況在前面的討論中，曾假設系統(tǒng)的固有頻率均不相等，而每個固有頻率對應一個主振型。但復雜系統(tǒng)中也會出現(xiàn)兩個或兩個以上頻率相等或相近的情形，這時相對應的主振型就不能唯一地確定。為了說明這一點，假設頻率方程有二重根?？蓪懗鼍€性組合說明對應于ω0的主振型不能唯一地確定

兩個任意常數(shù)第21頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，當系統(tǒng)具有重根時，其等固有頻率的主振型要根據(jù)各振型間的正交性來確定。不僅所選定的A(1)和A(2)之間應滿足對M、K的正交關系，而且還必須滿足與其它振型間關于M、K的正交關系。例6圖示系統(tǒng)是由兩個質量均為m的質點與一無重剛桿組成，且兩質點又分別與彈簧常數(shù)為k的彈簧相連。試求該系統(tǒng)的固有頻率及主振型。第22頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月解：以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標原點，建立坐標x1,x2

。寫出系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣為得到特征矩陣得到頻率方程解出系統(tǒng)的兩個固有頻率，是重根。

第23頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月需由正交化求得。由觀察系統(tǒng)的振動現(xiàn)象可知，剛桿具有兩種運動即平動和轉動。因此可假設然后用兩振型關于M、