曲線曲面造型技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用

曲線曲面造型技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用

3d-man技術(shù)起源于航空業(yè)。由于飛機(jī)形狀復(fù)雜，有許多自由曲線，因此3d-man技術(shù)最初與自由曲線建模技術(shù)密切相關(guān)。許多年來(lái),人們不斷探索方便、靈活、實(shí)用的曲線曲面造型構(gòu)造方法。從提出樣條函數(shù)至今50年間,曲線曲面造型經(jīng)歷了參數(shù)樣條方法、Coons曲面、Bezier曲線曲面和B樣條,形成了以有理B樣條曲面(RationalB-splinesurface)參數(shù)化特征設(shè)計(jì)和隱式代數(shù)曲面(Implicitalgebraicsurface)表示這兩類方法為主體,以插值(interpolation)、擬合(fitting)、逼近(approximation)這3種手段為骨架的幾何理論體系。隨著生產(chǎn)的發(fā)展,B樣條顯示出明顯的不足,同時(shí)由于NURBS方法具有可以精確地表示二次規(guī)則曲線曲面,通過(guò)權(quán)因子易于控制和實(shí)現(xiàn),并可以在四維空間的直接推廣等的突出優(yōu)點(diǎn),國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)于1991年頒布了關(guān)于工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的STEP國(guó)際標(biāo)準(zhǔn),將NURBS方法作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學(xué)描述方法,從而使NURBS方法成為曲面造型技術(shù)發(fā)展趨勢(shì)中最重要的基礎(chǔ)。1曲線曲線設(shè)計(jì)技術(shù)的研究現(xiàn)狀從研究的領(lǐng)域來(lái)看,曲面造型技術(shù)已從傳統(tǒng)的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接,擴(kuò)充到曲面變形、曲面重建、曲面簡(jiǎn)化、曲面轉(zhuǎn)換和曲面等距性。1.1改變曲面的設(shè)計(jì)方法傳統(tǒng)的NURBS曲面模型僅允許調(diào)整控制頂點(diǎn)或權(quán)因子來(lái)局部改變曲面形狀,最多利用層次細(xì)化模型在曲面特定點(diǎn)進(jìn)行直接操作;一些簡(jiǎn)單的基于參數(shù)曲線的曲面設(shè)計(jì)方法,如掃掠法(Sweeping)、蒙皮法(Skinning)、旋轉(zhuǎn)法和拉伸法也僅允許調(diào)整生成曲線來(lái)改變曲面形狀。計(jì)算機(jī)動(dòng)畫業(yè)和實(shí)體造型業(yè)迫切需要發(fā)展與曲面表示方式無(wú)關(guān)的變形方法或形狀調(diào)配方法,于是產(chǎn)生了自由變形(FFD)、基于彈性變形或熱彈性力學(xué)等物理模型的變形法、基于求解約束的變形法、基于幾何約束的變形法等曲面變形技術(shù),以及基于多面體對(duì)應(yīng)關(guān)系或基于圖像形態(tài)學(xué)中Minkowski和操作的曲面形狀調(diào)配技術(shù)。1.2曲面重建算法在精致的轎車車身設(shè)計(jì)或人臉類雕塑曲面的動(dòng)畫制作中,常先用油泥制模,再作三維型值點(diǎn)采樣。在醫(yī)學(xué)圖像可視化中,也常用CT切片來(lái)得到人體臟器表面的三維數(shù)據(jù)點(diǎn)。從曲面上的部分采樣信息來(lái)恢復(fù)原始曲面的兒何模型,稱為曲面重建。采樣工具為激光測(cè)距掃描器、醫(yī)學(xué)成像儀、接觸探測(cè)數(shù)字轉(zhuǎn)換器、雷達(dá)或地震勘探儀器等。根據(jù)重建的形式,其可以分為函數(shù)型曲面重建和離散型曲面重建。前者代表工作有Eck于1996年建立的任意拓?fù)銪樣條曲面重建法和Sapidis于1995年創(chuàng)造的離散點(diǎn)集擬和法。后者的常用方法是建立離散點(diǎn)集的平面片逼近模型,如Hoppe于1992年和1994年先后創(chuàng)建的分片線性或分片光滑的曲面模型。對(duì)于離散型重建,要求輸出曲面具有正確的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),并且隨著采樣密度的增加而收斂到原始曲面。當(dāng)重建曲面為閉曲面時(shí),Willer等人發(fā)展出一種基于可變形模型的曲面重建算法,稱為外殼(Crust)算法。這種算法的優(yōu)點(diǎn)在于輸出的離散曲面在細(xì)節(jié)區(qū)域具有密集點(diǎn),而在無(wú)特征的區(qū)域具有稀疏點(diǎn)。最近幾年,曲面重建的研究形成了熱潮。1.3基于三角網(wǎng)絡(luò)的模型分析與曲面重建一樣,這一研究領(lǐng)域目前也是國(guó)際熱點(diǎn)之一,其基本思想在于從三維重建后的離散曲面或造型軟件的輸出結(jié)果(主要是三角網(wǎng)絡(luò))中去除冗余信息而又保證模型的準(zhǔn)確度,以利于圖形顯示的實(shí)時(shí)性、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的經(jīng)濟(jì)性和數(shù)據(jù)傳輸?shù)目焖傩?。?duì)于多分辨率曲面模型而言,這一技術(shù)還有利于建立曲面的層次逼近模型,進(jìn)行曲面的分層顯示、傳輸和編輯。具體的曲面簡(jiǎn)化方法有網(wǎng)格頂點(diǎn)剔除法、網(wǎng)格邊界刪除法、網(wǎng)格優(yōu)化法、最大平面逼近多邊形法以及參數(shù)化重新采樣法。1.4基于雙程序的變式曲面轉(zhuǎn)換同一張曲面可以表示為不同的數(shù)學(xué)形式,這一思想不僅具有理論意義,而且具有工業(yè)應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)意義。例如,NURBS這種參數(shù)有理多項(xiàng)式曲面雖然包括了參數(shù)多項(xiàng)式曲面的一切優(yōu)點(diǎn),但也存在著微分運(yùn)算繁瑣費(fèi)時(shí)、積分運(yùn)算無(wú)法控制誤差的局限性。而在曲面拼接及物性計(jì)算中,這兩種運(yùn)算是不可避免的。這就提出了將一張NURBS曲面轉(zhuǎn)化成近似的多項(xiàng)式曲面的問(wèn)題。同樣的要求更體現(xiàn)在NURBS曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)與多項(xiàng)式曲面系統(tǒng)之間的數(shù)據(jù)傳遞和無(wú)紙化生產(chǎn)工藝中。再如,在兩張參數(shù)曲面的求交運(yùn)算中,如果把其中一張曲面的NURBS形式轉(zhuǎn)化為隱式,就容易得到方程的數(shù)值解。近幾年來(lái),國(guó)際圖形界對(duì)曲面轉(zhuǎn)換的研究主要集中在以下幾點(diǎn):NURBS曲面用多項(xiàng)式曲面來(lái)逼近的算法及收斂性;Bezier曲線曲面的隱式化及其反問(wèn)題;CONSURF飛機(jī)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的Ball曲線向高維推廣的各種形式比較及相互轉(zhuǎn)化;有理Bezier曲線曲面的降價(jià)逼近算法及誤差估計(jì);NURBS曲面在二角域上的互相快速轉(zhuǎn)換。1.5曲線等距曲線的出現(xiàn)其在計(jì)算機(jī)圖形及加工中有著廣泛的應(yīng)用,因而成為這幾年的熱門話題之一。例如,數(shù)控機(jī)床的刀具路徑設(shè)計(jì)就要研究曲線的等距性。但從數(shù)學(xué)表達(dá)式中很容易看出,一般而言,一條平面曲線的等距曲線不再是有理曲線,這就超越了通用NURBS系統(tǒng)的使用范圍,造成了軟件設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定性。為解決這一問(wèn)題,十幾年來(lái)國(guó)際圖形界提出了用簡(jiǎn)單曲線來(lái)逼近等距曲線的種種算法,這又帶來(lái)了收斂性考核、計(jì)算不穩(wěn)定、誤差難控制等問(wèn)題。那么,是否存在具有精確有理等距曲線的某種參數(shù)曲線呢?1990年美國(guó)學(xué)者Farouki首次找到某一類特殊的平面參數(shù)多項(xiàng)式曲線具有這種性質(zhì),稱之為PH曲線。而到1993年,浙江大學(xué)的呂偉利用復(fù)分析法、重新參數(shù)化和代數(shù)幾何技術(shù),完整地給出了OR多項(xiàng)式和有理參數(shù)曲線的一般形式,徹底解決了平面曲線的等距線的有理化問(wèn)題。在曲線等距性問(wèn)題上,呂偉于1996年證明了常用二次曲面的有理等距線均可用有理參數(shù)樣條精確表示的結(jié)論;同年他與奧地利學(xué)者Pottmann等揭示出有理直紋面的等距面可以有理參數(shù)化,同時(shí)證明了脊線為有理樣條曲線的管道曲面可以精確表示為有理樣條曲面。曲線曲面的等距性還與機(jī)械學(xué)中的形位公差理論及幾何設(shè)計(jì)中的區(qū)間曲線曲面有著密切的關(guān)系。從表示方法來(lái)看,以網(wǎng)格細(xì)分(Subdivision)為特征的離散造型與傳統(tǒng)的連續(xù)造型相比,大有后來(lái)居上的創(chuàng)新之勢(shì)。例如用NURBS的修剪來(lái)對(duì)付,但是他們至少會(huì)遇到以下困難:修剪是昂貴的,而且有數(shù)值誤差;要在曲面的接縫處保持光滑,即使是近似的光滑也很困難,因?yàn)槟Ｐ褪腔顒?dòng)的。而細(xì)分曲面有潛力克服以上兩個(gè)困難,其無(wú)須修剪,活動(dòng)模型的平滑度被自動(dòng)地保證。如果多面體的一個(gè)面有n條邊,細(xì)分一次后,這個(gè)面就會(huì)變成n個(gè)四邊形。隨著細(xì)分的不斷進(jìn)行,控制網(wǎng)格就被逐漸磨光,其極限狀態(tài)就是一張自由曲面。其是無(wú)縫的,因而是平滑的,即使模型是活動(dòng)的。這種方法顯著地壓縮了設(shè)計(jì)和建立一個(gè)原始模型的時(shí)間,更重要的是允許原始模型局部地精致化。這就是其優(yōu)于連續(xù)曲面造型方法之處。2曲線曲線設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì)隨著工業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展和需求,其他學(xué)科的技術(shù)方法被引進(jìn)到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中來(lái),形成一種融合的趨勢(shì)。2.1基于能量?jī)?yōu)化的雙曲面圖1987年,加拿大學(xué)者Terzopoulos等將基于物理能量模型的可變形曲線曲面造型技術(shù)引入計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中,用Lagrange方程建立物理能量模型,并用差分方法求解偏微分方程得到能量曲面,為能量?jī)?yōu)化造型奠定了基礎(chǔ)。1991年,MIT的Gossard教授和Celniker博士進(jìn)一步發(fā)展了能量?jī)?yōu)化思想,將其引入到自由曲線曲面的交互設(shè)計(jì)中,提出用基于特征線的方法來(lái)提高曲面設(shè)計(jì)的靈活性。Welch和Witkin進(jìn)一步研究了能量?jī)?yōu)化中的型值點(diǎn)、參數(shù)曲線、法矢等約束的作用,介紹了Null-SpaceProjection約束處理方法。Moretonn利用能量?jī)?yōu)化方法,以曲線曲面的曲率變化為目標(biāo)函數(shù),求解用Bezier方法描述的三邊、四邊網(wǎng)格蒙面曲面。Hagen和Leon等人在能量模型選擇、能量曲線曲面等方面都作出了比較突出的貢獻(xiàn)。基本原理就是在符合幾何及非幾何約束條件的情況下尋找具有最少物理變形能量的曲線曲面。這些方法具有如下特點(diǎn):(1)曲面形狀的改變服從物理準(zhǔn)則,通過(guò)計(jì)算仿真可以動(dòng)態(tài)地顯示模型在某個(gè)外力作用下的變形;(2)在給定的約束條件下,這種動(dòng)態(tài)模型的平衡狀態(tài)具有勢(shì)能最小的特點(diǎn),可以建立滿足局部或整體設(shè)計(jì)要求的勢(shì)能函數(shù)和規(guī)定與形態(tài)狀態(tài)設(shè)計(jì)有關(guān)的幾何約束;(3)能量模型建立在傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)純幾何模型的基礎(chǔ)上。這意味著盡管交互或自動(dòng)的形狀設(shè)計(jì)可以在基于能量模型的物理層進(jìn)行,但在幾何層上仍然可以調(diào)用現(xiàn)在的幾何操作?；谀芰磕Ｐ偷淖冃吻€、曲面造型研究已經(jīng)取得了巨大的成就,但還有許多問(wèn)題需要解決,其中包括:計(jì)算效率問(wèn)題,采用有限元方法限制了交互速度的提高;交互控制問(wèn)題,如何交互地選擇物理參數(shù)仍有待研究;能量泛函的選擇,如何在提高計(jì)算效率和保證曲面質(zhì)量之間的平衡。2.2pde-n-ms條件模型基于偏微分方程的曲面造型方法的思想起源于將過(guò)渡面的構(gòu)造問(wèn)題看作一偏微分方程的邊值問(wèn)題,而后發(fā)現(xiàn)使用該方法可以方便地構(gòu)造實(shí)際問(wèn)題中的曲面形體。船體、飛機(jī)、螺旋漿葉片等外形都可由PDE方法構(gòu)造。PDE曲面的形狀由邊界條件和所選擇的偏微分方程確定。該方法具有以下特點(diǎn):(1)構(gòu)造過(guò)渡面簡(jiǎn)單易行,只需給出過(guò)渡線并計(jì)算過(guò)渡線處的跨界導(dǎo)矢。(2)所得曲面自然光順。曲面是曲面參數(shù)的超越函數(shù),而不是簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式。(3)確定一張曲面只需少量的參數(shù),并且對(duì)設(shè)計(jì)者的數(shù)學(xué)背景要求較少,用戶只需給出邊界曲線和跨界導(dǎo)矢即可產(chǎn)生一張光順的曲面。因此用戶的輸入工作量較小。(4)可通過(guò)修改邊界曲線和跨界導(dǎo)矢即方程中的一個(gè)物理參數(shù)來(lái)調(diào)整曲面形狀。(5)便于功能曲面的設(shè)計(jì)。功能曲面設(shè)計(jì)最終歸結(jié)為一些泛函的極值問(wèn)題,這些泛函的自變量是形狀參數(shù),形狀參數(shù)的多少直接關(guān)系到求泛函極值問(wèn)題計(jì)算量的大小。PDE曲面形狀完全由邊界條件確定,所需形狀參量較少,可以減低計(jì)算耗費(fèi)。PDE方法是一種新型的曲面造型技術(shù),該方法僅是一種曲面設(shè)計(jì)技術(shù),而不是曲面的表達(dá)方式。2.3外來(lái)文化的應(yīng)用在CAD領(lǐng)域,許多曲線曲面的設(shè)計(jì)涉及到運(yùn)動(dòng)物體的外型設(shè)計(jì),如汽車、飛機(jī)、船舶等。這些物體在空氣、水流等流體中相對(duì)運(yùn)動(dòng)。由于流體對(duì)運(yùn)動(dòng)物體產(chǎn)生阻力,運(yùn)動(dòng)物體的外型設(shè)計(jì)將變得十分重要。運(yùn)動(dòng)物體外型的光滑與否將直接影響其運(yùn)動(dòng)性能。人們常常希望所設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)物體的外型具有“流線型”,因?yàn)榫哂小傲骶€型”外型的運(yùn)動(dòng)物體不僅外觀漂亮宜人,而且能極大地減少前進(jìn)過(guò)程中流體對(duì)物體的阻力。因此,一種以流體力學(xué)為背景的流曲線曲面的造型方法被提出。由流體力學(xué)理論可知,流曲線曲面設(shè)計(jì)的外型具有良好的物理性能,同時(shí)外型也十分美觀。該方法的思想以流體力學(xué)中的平面定常理想不可壓縮無(wú)旋動(dòng)為力學(xué)背景,將流體力學(xué)中流函數(shù)的概念引入到CAD中,從而建立流曲線曲面的數(shù)學(xué)模型。該方法的研究剛剛起步,造型方法的理論和流函數(shù)的建立尚不完善,故目前也處于探索階段,其基本理論、數(shù)學(xué)模型和一些相關(guān)算法有待進(jìn)一步研究。2.4計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的多分辨小波分析是Fourier分析的突破性進(jìn)展,其既是強(qiáng)有力的分析技術(shù),又是一種快速的計(jì)算工具,兼具重要的理論意義和使用價(jià)值。小波是刻畫數(shù)據(jù)內(nèi)部相關(guān)性結(jié)構(gòu)的有力工具,在數(shù)據(jù)壓縮和逼近方面具有強(qiáng)大威力。近年來(lái),小波分析在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中獲得了日益廣泛的應(yīng)用,涉及的領(lǐng)域包括輻射度計(jì)算、曲線曲面編輯、體繪制、圖像編輯、體變形和累進(jìn)傳輸?shù)?。Frinkelistein和Salesin研究了閉區(qū)間上小波的多分辨分析理論。他們利用閉區(qū)間上的B樣條小波,研究了B樣條曲線和張量積B樣條曲面的多分辨率表示及其在多分辨編輯中的應(yīng)用。Lounbery將多分辨分析及小波理論推廣到任意拓?fù)漕愋偷那?拓展了小波技術(shù)的應(yīng)用對(duì)象,Eck等給出了將MRA用于任意網(wǎng)格的LOD(level-of-detaiil)逼近方法,使得任一多面體和網(wǎng)格曲面均可用多分辨率表示。Certain等擴(kuò)展了MRA,可以對(duì)帶顏色的網(wǎng)格進(jìn)行多分辨分析。Gotler和Cohen研究了小波在變分幾何造型中的應(yīng)用。3ug的曲面造型美、法等國(guó)的CAD技術(shù)一直以來(lái)走在世界的前沿,他們擁有許多世界聞名的CAD/CAM系統(tǒng),這些系統(tǒng)具備十分強(qiáng)大的功能。美國(guó)SDRC公司的I-DEASMasterSeries軟件采用VGX(超變量化)技術(shù),用戶可以直觀、實(shí)時(shí)地進(jìn)行三維產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和修改。VGX有如下好處:不必像參數(shù)化造型系統(tǒng)那樣要求模型“全約束”,在全約束及非全約束的情況下均可順利地完成造型;模型修改不必拘泥于造型歷史樹(shù),修改可基于造型樹(shù),亦可超越造型歷史樹(shù);可直接編輯任意3D實(shí)體特征,無(wú)須回到生成此特征的2D線框初始狀態(tài);可就地以拖動(dòng)方式隨意修改3D實(shí)體模型,而無(wú)須僅以“尺寸驅(qū)動(dòng)”一種方式來(lái)修改模型;模型修改許可形狀及拓?fù)潢P(guān)系發(fā)生變化,而并非像參數(shù)技術(shù)那樣僅僅是尺寸的數(shù)據(jù)發(fā)生變化;所有操作均為“一拖一放”方式,操作簡(jiǎn)單。美國(guó)UnigraphicsSolutions公司的UG源于航空業(yè)、汽車業(yè),以Parasolid幾何造型核心為基礎(chǔ),采用基于約束的特征建模和傳統(tǒng)幾何建模為一體的復(fù)合建摸技術(shù)。其曲面功能包含于FreeformModeling模塊之中,采用了NURBS、B樣條、Bezier數(shù)學(xué)基礎(chǔ),同時(shí)保留解析幾何實(shí)體模型方法,造型能力較強(qiáng)。其曲面建模完全集成在實(shí)體建模之中,并可獨(dú)立生成自由形狀形體,以備實(shí)體設(shè)計(jì)時(shí)使用。而許多曲面建模操作可直接產(chǎn)生或修改實(shí)體模型,曲面殼體、實(shí)體與定義他們的幾何體完全相關(guān)。UG軟件實(shí)現(xiàn)了面與體的完美集成,可將無(wú)厚度曲面殼縫合到實(shí)體上,總體上,UG的實(shí)體化曲面處理能力是其主要特征和優(yōu)勢(shì)。美國(guó)PTC公司的Pro/Engineer以其參數(shù)化、基于特征、全相關(guān)等概念聞名于CAD界,其曲面造型集中在Pro/SURFACE模塊。其曲面生成、編輯能力覆蓋了曲面造型中的主要問(wèn)題,主要用于構(gòu)造表面模型,實(shí)體模型,并且可以在實(shí)體上生成任意凹下或凸起物等。尤其是可以將特殊的曲面造型實(shí)例作為一種特征加入特征庫(kù)中。Pro/Engineer自帶的特征庫(kù)就含有如下特征