【解析】2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類匯編23 計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式、排列組合

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2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類匯編23計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式、排列組合

一、選擇題

1．（2023·新高考Ⅱ卷）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同抽樣結(jié)果共有（）.

A．種B．種

C．種D．種

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分層抽樣方法；分步乘法計(jì)數(shù)原理

【解析】【解答】根據(jù)分層抽樣定義

初中抽?。?人)，高中抽?。?人)，

再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理共有不同抽樣結(jié)果。

故選：D

【分析】根據(jù)分層抽樣計(jì)算初中抽取40人，高中抽取20人，再用分步乘法計(jì)算共有多少結(jié)果。

2．（2023·全國(guó)乙卷）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A．60種B．120種C．240種D．480種

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合

【解析】【解答】由題意知，必須有2個(gè)人一組，其他各組只有1個(gè)人，所以分配方法是：，

故答案為：C.

【分析】利用排列與組合來(lái)求解。

3．（2023·新高考Ⅰ）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A．120種B．90種C．60種D．30種

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合

【解析】【解答】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有；

然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)有；

最后剩下的3名同學(xué)去丙場(chǎng)館.

故不同的安排方法共有種.

故答案為：C

【分析】分別安排各場(chǎng)館的志愿者，利用組合計(jì)數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理求解.

4．（2023·北京）在的展開式中，的系數(shù)為（）．

A．-5B．5C．-10D．10

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】展開式的通項(xiàng)公式為：，

令可得：，則的系數(shù)為：.

故答案為：C.

【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.

5．（2023·全國(guó)Ⅲ卷理）(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為（）

A．12B．16C．20D．24

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵的通項(xiàng)公式為，

∴展開式中x3的系數(shù)為，

故答案為：A.

【分析】由已知利用的通項(xiàng)公式為，結(jié)合即可求出展開式中x3的系數(shù).

6．（2023·全國(guó)甲卷）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A．120B．60C．40D．30

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合

【解析】【解答】星期六先選兩人參加服務(wù)，則有種選擇，

星期天從兩人中選一人，同時(shí)從剩下三人中選一人，則有種選擇，

由分步乘法原理則共有種.

故選：B.

【分析】根據(jù)題意，可以從時(shí)間角度按步進(jìn)行選擇，結(jié)合分步乘法原理即可.

7．（2023·全國(guó)乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）

A．30種B．60種C．120種D．240種

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】根據(jù)題意，兩人選讀的總選法有：種，

其中，兩人選擇的讀物中都不同的選法有：種，

兩人選擇的讀物中都相同的選法有：種，

故兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法有：225-90-15=120種，

故選：C.

【分析】由事件總數(shù)減去兩人選擇的讀物均相同或均不同情形可得出答案.

8．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種（）

A．12種B．24種C．36種D．48種

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】因?yàn)楸∠噜彛劝驯±?，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有種排列方式；甲不在兩端，則甲在三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式.

故答案為：B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解.

9．（2023·北京卷）的展開式中的系數(shù)為（）．

A．B．C．40D．80

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】展開式通項(xiàng)為，

令，解得，

展開式中的系數(shù)為.

故答案為：D

【分析】根據(jù)展開式通項(xiàng)公式得出答案.

10．（2022·北京）若，則（）

A．40B．41C．-40D．-41

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相加得.

故答案為：B

【分析】令和，所得兩式相加即可求解.

11．（2023·新課標(biāo)Ⅰ·理）的展開式中x3y3的系數(shù)為（）

A．5B．10C．15D．20

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】展開式的通項(xiàng)公式為（且）

所以與展開式的乘積可表示為：

或

在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為10，

在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為

所以的系數(shù)為

故答案為：C

【分析】求得展開式的通項(xiàng)公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對(duì)r分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.

二、多項(xiàng)選擇題

12．（2023·新高考Ⅱ卷）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）

A．B．

C．D．

【答案】A,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：對(duì)于A，，，

則，故A正確；

對(duì)于B，取n=2，2×2+3=7=1·20+1·21+1·22，則ω(7)=3，

而2=0·20+1·21，則ω(2)=1，即ω(7)≠2ω(2)+1，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，8n+5=a0·23+a1·24+……+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1·24+……+ak·2k+3

所以ω(8n+5)=2+a0+a1+……+ak，

4n+3=a0·22+a1·23+……+ak·2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1·23+……+ak·2k+2，

所以ω(4n+3)=2+a0+a1+……+ak，

所以ω(8n+5)=ω(4n+3)，故C正確；

對(duì)于D，2n-1=20+21+……+2n-1，

所以ω(2n-1)=n，故D正確.

故答案為：ACD

【分析】利用ω(n)的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.

三、填空題

13．（2022·浙江）已知多項(xiàng)式，則，．

【答案】8；-2

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】，

∴；

令x＝0，則，

令x＝1，則

∴．

故答案為：8，﹣2．

【分析】a2相當(dāng)于是用（x+2）中的一次項(xiàng)系數(shù)乘以展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)加上（x+2）中的常數(shù)項(xiàng)乘以展開式中的二次項(xiàng)系數(shù)之和；分別給x輔助令x＝0，x＝1，即可求得的值．

14．（2022·新高考Ⅰ卷）的展開式中的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】-28

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：(x+y)8的通項(xiàng)公式為，

①當(dāng)8-r=2，即r=6時(shí)，展開式中項(xiàng)為，

②當(dāng)8-r=3，即r=5時(shí)，展開式中項(xiàng)為，

則展開式中項(xiàng)為，

故答案為：-28

【分析】由二項(xiàng)式定理，分類討論求解即可.

15．（2022·上海）在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為

【答案】66

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：由題意得的通項(xiàng)公式為(0≤r≤12，r∈N)

令36-4r=-4，得r=10，

則，

則項(xiàng)的系數(shù)為66.

故答案為：66

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理直接求解即可.

16．（2023·北京）展開式中常數(shù)項(xiàng)為．

【答案】-4

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：由題意得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為

令12-4k=0，得k=3

故常數(shù)項(xiàng)為

故答案為：-4

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式直接求解即可.

17．（2023·浙江）已知多項(xiàng)式，則，.

【答案】5；10

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式:故a1=5;

同理故a2=3;

故a=7,

所以10.

故答案為：5，10.

【分析】因?yàn)橹笖?shù)不高，直接展開。

18．（2023·天津）在的展開式中，的系數(shù)是．

【答案】160

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：的展開式的通項(xiàng)公式是

令18-4r=6，得r=3

所以的系數(shù)是

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式求解即可.

19．（2023·天津）在的展開式中，的系數(shù)是．

【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，解得．

所以的系數(shù)為．

故答案為：10．

【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出．

20．（2023·新課標(biāo)Ⅱ·理）4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種.

【答案】36

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合

【解析】【解答】4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)

先取2名同學(xué)看作一組，選法有：

現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，分法有：

根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種

故答案為：36.

【分析】根據(jù)題意，采用捆綁法，先取2名同學(xué)看作一組，現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，即可求得答案.

21．（2023·上海）首屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，某高校擬派4人參加連續(xù)5天的志愿者活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有種（結(jié)果用數(shù)值表示）

【答案】24

【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理；簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合

【解析】【解答】解：在五天里，甲連續(xù)參加2天，一共有4種，剩下的3人排列，故有種，

故答案為：24．

【分析】利用實(shí)際問題的已知條件結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，用排列數(shù)求出不同的安排方法種數(shù)。

22．（2023·天津卷）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．

【答案】60

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】由，則通項(xiàng)，

當(dāng)，即，此時(shí)系數(shù).

故答案填：60.

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得出通項(xiàng)，整理代入即得項(xiàng)的系數(shù).

23．（2023·上海卷）已知，其中，若且，當(dāng)時(shí)，的最大值是；

【答案】49

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】由；

當(dāng)，即

①當(dāng)r為偶數(shù)時(shí)，，不符合題意

②當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，只需，即，∴k<50

則符合題意r值最大為49.

故答案為：49

【分析】由二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)整理，結(jié)合不等式奇偶分析解得符合題意的k值.

24．（2023·新課標(biāo)Ⅲ·理）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）．

【答案】240

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】

其二項(xiàng)式展開通項(xiàng)：

當(dāng)，解得

的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：.

故答案為：.

【分析】寫出二項(xiàng)式展開通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).

25．（2023·浙江）設(shè)（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a4＝；a1+a2+a3＝．

【答案】80；130

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a4＝＝80．

a1+a2+a3＝＝130．

故答案為：80；130．

【分析】直接利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，求解即可．

26．（2023高二下·北京期中）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】15

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】由題意的展開式的通項(xiàng)為，

令即，則，

所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

故答案為：.

【分析】由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理可得的展開式的通項(xiàng)為，令，代入即可得解.

27．（2023·上海）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于．

【答案】15

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：展開式的通項(xiàng)為

令得，

∴展開式的常數(shù)項(xiàng)為第3項(xiàng)；

∴常數(shù)項(xiàng)等于．

故答案為：15．

【分析】利用二項(xiàng)定理求出展開式中的通項(xiàng)公式，再利用展開式中的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)。

28．（2023·浙江）在二項(xiàng)式（+x）9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是

【答案】；5

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：（+x）9展開式的通項(xiàng)，

當(dāng)r=0時(shí)，得展開式的常數(shù)項(xiàng)為；

當(dāng)9-r為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)為有理數(shù)，此時(shí)r=1，2，3，7，9，總共5項(xiàng).

【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，令x的次數(shù)為0，即可求出常數(shù)項(xiàng)，令r為偶數(shù)，則展開式的系數(shù)為有理數(shù).

29．（2023·天津）是展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】28

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】展開式的通項(xiàng)公式為

令可得

故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

故答案為：28

【分析】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)。

30．（2023·上海卷）空間內(nèi)存在三點(diǎn)，滿足，在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)(不計(jì)順序)，使得這兩點(diǎn)與可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為；

【答案】9

【知識(shí)點(diǎn)】基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用；棱錐的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】在△ABC為等邊三角形，故三點(diǎn)不能同時(shí)作為正四棱錐的底面，必有一點(diǎn)作為頂點(diǎn).共三種可能.

考慮其中兩點(diǎn)作為正四棱錐底面，即構(gòu)成正方形的兩點(diǎn)：

①若其中兩點(diǎn)為邊：如圖，此時(shí)有兩種可能，

故可能的方案有3×2=6(種)，

②若其中兩點(diǎn)為對(duì)角線，結(jié)合空間結(jié)構(gòu)分析此時(shí)只有一種情況，故3×1=3(種)，

∴總方案有9中，

故答案為：9

【分析】由正四棱錐幾何結(jié)構(gòu)分析，三點(diǎn)中必有一點(diǎn)作為頂點(diǎn)，另兩點(diǎn)構(gòu)成底面正方形中的兩點(diǎn)，再分別討論底面組成情況得出答案.

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2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類匯編23計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式、排列組合

一、選擇題

1．（2023·新高考Ⅱ卷）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同抽樣結(jié)果共有（）.

A．種B．種

C．種D．種

2．（2023·全國(guó)乙卷）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A．60種B．120種C．240種D．480種

3．（2023·新高考Ⅰ）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A．120種B．90種C．60種D．30種

4．（2023·北京）在的展開式中，的系數(shù)為（）．

A．-5B．5C．-10D．10

5．（2023·全國(guó)Ⅲ卷理）(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為（）

A．12B．16C．20D．24

6．（2023·全國(guó)甲卷）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A．120B．60C．40D．30

7．（2023·全國(guó)乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）

A．30種B．60種C．120種D．240種

8．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種（）

A．12種B．24種C．36種D．48種

9．（2023·北京卷）的展開式中的系數(shù)為（）．

A．B．C．40D．80

10．（2022·北京）若，則（）

A．40B．41C．-40D．-41

11．（2023·新課標(biāo)Ⅰ·理）的展開式中x3y3的系數(shù)為（）

A．5B．10C．15D．20

二、多項(xiàng)選擇題

12．（2023·新高考Ⅱ卷）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）

A．B．

C．D．

三、填空題

13．（2022·浙江）已知多項(xiàng)式，則，．

14．（2022·新高考Ⅰ卷）的展開式中的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

15．（2022·上海）在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為

16．（2023·北京）展開式中常數(shù)項(xiàng)為．

17．（2023·浙江）已知多項(xiàng)式，則，.

18．（2023·天津）在的展開式中，的系數(shù)是．

19．（2023·天津）在的展開式中，的系數(shù)是．

20．（2023·新課標(biāo)Ⅱ·理）4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種.

21．（2023·上海）首屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，某高校擬派4人參加連續(xù)5天的志愿者活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有種（結(jié)果用數(shù)值表示）

22．（2023·天津卷）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．

23．（2023·上海卷）已知，其中，若且，當(dāng)時(shí)，的最大值是；

24．（2023·新課標(biāo)Ⅲ·理）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）．

25．（2023·浙江）設(shè)（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a4＝；a1+a2+a3＝．

26．（2023高二下·北京期中）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

27．（2023·上海）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于．

28．（2023·浙江）在二項(xiàng)式（+x）9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是

29．（2023·天津）是展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

30．（2023·上海卷）空間內(nèi)存在三點(diǎn)，滿足，在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)(不計(jì)順序)，使得這兩點(diǎn)與可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為；

答案解析部分

1．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分層抽樣方法；分步乘法計(jì)數(shù)原理

【解析】【解答】根據(jù)分層抽樣定義

初中抽?。?人)，高中抽?。?人)，

再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理共有不同抽樣結(jié)果。

故選：D

【分析】根據(jù)分層抽樣計(jì)算初中抽取40人，高中抽取20人，再用分步乘法計(jì)算共有多少結(jié)果。

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合

【解析】【解答】由題意知，必須有2個(gè)人一組，其他各組只有1個(gè)人，所以分配方法是：，

故答案為：C.

【分析】利用排列與組合來(lái)求解。

3．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合

【解析】【解答】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有；

然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)有；

最后剩下的3名同學(xué)去丙場(chǎng)館.

故不同的安排方法共有種.

故答案為：C

【分析】分別安排各場(chǎng)館的志愿者，利用組合計(jì)數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理求解.

4．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】展開式的通項(xiàng)公式為：，

令可得：，則的系數(shù)為：.

故答案為：C.

【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.

5．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵的通項(xiàng)公式為，

∴展開式中x3的系數(shù)為，

故答案為：A.

【分析】由已知利用的通項(xiàng)公式為，結(jié)合即可求出展開式中x3的系數(shù).

6．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合

【解析】【解答】星期六先選兩人參加服務(wù)，則有種選擇，

星期天從兩人中選一人，同時(shí)從剩下三人中選一人，則有種選擇，

由分步乘法原理則共有種.

故選：B.

【分析】根據(jù)題意，可以從時(shí)間角度按步進(jìn)行選擇，結(jié)合分步乘法原理即可.

7．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】根據(jù)題意，兩人選讀的總選法有：種，

其中，兩人選擇的讀物中都不同的選法有：種，

兩人選擇的讀物中都相同的選法有：種，

故兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法有：225-90-15=120種，

故選：C.

【分析】由事件總數(shù)減去兩人選擇的讀物均相同或均不同情形可得出答案.

8．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】因?yàn)楸∠噜?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有種排列方式；甲不在兩端，則甲在三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式.

故答案為：B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解.

9．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】展開式通項(xiàng)為，

令，解得，

展開式中的系數(shù)為.

故答案為：D

【分析】根據(jù)展開式通項(xiàng)公式得出答案.

10．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相加得.

故答案為：B

【分析】令和，所得兩式相加即可求解.

11．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】展開式的通項(xiàng)公式為（且）

所以與展開式的乘積可表示為：

或

在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為10，

在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為

所以的系數(shù)為

故答案為：C

【分析】求得展開式的通項(xiàng)公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對(duì)r分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.

12．【答案】A,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：對(duì)于A，，，

則，故A正確；

對(duì)于B，取n=2，2×2+3=7=1·20+1·21+1·22，則ω(7)=3，

而2=0·20+1·21，則ω(2)=1，即ω(7)≠2ω(2)+1，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，8n+5=a0·23+a1·24+……+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1·24+……+ak·2k+3

所以ω(8n+5)=2+a0+a1+……+ak，

4n+3=a0·22+a1·23+……+ak·2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1·23+……+ak·2k+2，

所以ω(4n+3)=2+a0+a1+……+ak，

所以ω(8n+5)=ω(4n+3)，故C正確；

對(duì)于D，2n-1=20+21+……+2n-1，

所以ω(2n-1)=n，故D正確.

故答案為：ACD

【分析】利用ω(n)的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.

13．【答案】8；-2

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】，

∴；

令x＝0，則，

令x＝1，則

∴．

故答案為：8，﹣2．

【分析】a2相當(dāng)于是用（x+2）中的一次項(xiàng)系數(shù)乘以展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)加上（x+2）中的常數(shù)項(xiàng)乘以展開式中的二次項(xiàng)系數(shù)之和；分別給x輔助令x＝0，x＝1，即可求得的值．

14．【答案】-28

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：(x+y)8的通項(xiàng)公式為，

①當(dāng)8-r=2，即r=6時(shí)，展開式中項(xiàng)為，

②當(dāng)8-r=3，即r=5時(shí)，展開式中項(xiàng)為，

則展開式中項(xiàng)為，

故答案為：-28

【分析】由二項(xiàng)式定理，分類討論求解即可.

15．【答案】66

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：由題意得的通項(xiàng)公式為(0≤r≤12，r∈N)

令36-4r=-4，得r=10，

則，

則項(xiàng)的系數(shù)為66.

故答案為：66

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理直接求解即可.

16．【答案】-4

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：由題意得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為

令12-4k=0，得k=3

故常數(shù)項(xiàng)為

故答案為：-4

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式直接求解即可.

17．【答案】5；10

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式:故a1=5;

同理故a2=3;

故a=7,

所以10.

故答案為：5，10.

【分析】因?yàn)橹笖?shù)不高，直接展開。

18．【答案】160

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：的展開式的通項(xiàng)公式是

令18-4r=6，得r=3

所以的系數(shù)是

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式求解即可.

19．【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，解得．

所以的系數(shù)為．

故答案為：10．

【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出．

20．【答案】36

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合

【解析】【解答】4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)

先取2名同學(xué)看作一組，選法有：

現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，分法有：

根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種

故答案為：36.

【分析】根據(jù)題意，采用捆綁法，先取2名同學(xué)看作一組，現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，即可求得答案.

21．【答案】24

【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理；簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合

【解析】【解答】解：在五天里，甲連續(xù)參加2天，一共有4種，剩下的3人排列，故有種，

故答案為：24．

【分析】利用實(shí)際問題的已知條件結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，用排列數(shù)求出不同的安排方法種數(shù)。

22．【答案】60

【知