數(shù)學建模之微分方程建模與平衡點理論

微分方程列微分方程常用的方法：(1)根據(jù)規(guī)律列方程利用數(shù)學、力學、物理、化學等學科中的定理或經(jīng)過實驗檢驗的規(guī)律來建立微分方程模型。(2)微元分析法利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導數(shù)應用規(guī)律。(3)模擬近似法在生物、經(jīng)濟等學科的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復雜的，建模時在不同的假設(shè)下去模擬實際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實際情況對比,檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現(xiàn)象.、模型的建立與求解1。1傳染病模型(1)基礎(chǔ)模型假設(shè)：t時刻病人人數(shù)%(/)連續(xù)可微。每天每個病人有效接觸(使病人治病的接觸)的人數(shù)為九，t=0時有%0個病人.建模：t到t+At病人人數(shù)增加TOC\o"1-5"\h\z%(t+At)一％(t)=九％(t)At (1)\o"CurrentDocument"—二九％,%(0)=% (2)\o"CurrentDocument"dt 0解得：%(t)-%e兀 (3)所以，病人人數(shù)會隨著t的增加而無限增長,結(jié)論不符合實際。(2)SI模型

假設(shè)：1。疾病傳播時期，總?cè)藬?shù)N保持不變.人群分為兩類，健康者占總?cè)藬?shù)的比例為s(t),病人占總?cè)藬?shù)的比例為i(t)。2。每位病人每天平均有效接觸九人，九為日接觸率.有效接觸后健康者變?yōu)椴∪?。依?jù)：患病人數(shù)的變化率=Ni(t)(原患病人數(shù))*九s(t)(每個病人每天使健康人變?yōu)椴∪说娜藬?shù))建模:Nd-=XNsi

dt由于設(shè)t=0時刻病人所占的比例為io,則可建立Logistic模型d八i(j)i(0)=,0(4)(6)解得:(4)(6)?i圖形如下，凰2?i圖形如下，凰2軟模犁巾:;-■■曲戲結(jié)論：在不考慮治愈情況下①當i=1①當i=1時d達到最大值h、dt2dt這時tm(1 、H1ln—-1u0 1②t―8時人類全被感染.未考慮治愈情況。SIS模型假設(shè)：1。疾病傳播時期，總?cè)藬?shù)N保持不變.人群分為兩類，健康者占總?cè)藬?shù)的比例為s（t），病人占總?cè)藬?shù)的比例為i（t）。.每位病人每天平均有效接觸九人,九為日接觸率。有效接觸后健康者變?yōu)椴∪?.在所有病人中，每天有比例R的人能被治愈，治愈后看作可被感染的健康者，傳染病的平均傳染期為-。R依據(jù)：患病人數(shù)的變化率二九Nsi（患病人數(shù)的變化率）一RNi（治愈率）建模:(8)(9)Nd二九Nsi-RNi

dt(8)(9)did二九3）一同"（0）30令。為整個傳染期內(nèi)每位病人有效接觸的平均人數(shù)，0=儲3.則有di——=一九ii—dt(10)用Matlab繪制出色?idi——=一九ii—dt(10)用Matlab繪制出色?i（圖3，圖5）和

dti~t(圖4,圖6）。N中鹿城是小的情況圖石STS模咆的曲輕圖5號塔值里的:rj曲然fY”結(jié)論：O=1為一個閾值。①。>1,i(t)極限值代)=1-1為增函數(shù)，i(t)的增減性由i的大小確定。O 0②。41,病人比例i(t)越來越小，最終趨于0。(4)SIR模型(某些疾病患者治愈后獲得了很強的免疫力，不會再次被感染)假設(shè):①總?cè)藬?shù)N不變，將人群分為健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他們在總?cè)藬?shù)中所占的比例依次為s(t),i(t)，r(t)。②九為病人的日接觸率，〃為日治愈率，O=入"為傳染期接觸數(shù).建模：由假設(shè)1得(11)(12)Ndr=從Ni

dt(12)令t=0時健康者與病人所占比例分別為s0(s0〉0),i0(i0>0)，則有五…i，五…i，d二一九si-,Idti(0)=i0s(0)=s0(13)利用Matlab繪制出i(t)，s(t)(圖7)，?(圖8)圖形,i?s圖形稱為相軌線。圖8L占圖?(相軌線)圖圖8L占圖?(相軌線)圖73。 40相軌線分析:利用相軌線討論解i(t),s(t)的性質(zhì)。^-i平面稱為相平面，相軌線在其上的定義域為(s,i)eD為(14)s>0,i>0,s+i<1}(14)消去方程中的dt，并由。得到(15)解得:(15)解得:(16)在定義域D內(nèi)，相軌線是上式所表示的曲線，如圖9所示，其中箭頭表示隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨勢。下面分析s(t)、i(t)和r(t)的變化情況(tf8時它們的極限值分別記做汽，二和二)圖95JR模型的相軌威①不論初始條件s0,i0如何，病人最終會消失，i8-0，證明：首先，由式(13)，4<0，而s(t)>0，所以s存在；由式(11)，蟲>0,dt d dt而r(t)<1，所以［存在；由式(11)得18存在。其次，若L―〉0,則由式(11)，對于充分大的t有dr>嗚，導致丫:8與7存在相矛盾。從圖形來看，無論相軌線從何點出發(fā)，最終都將與S軸相交.②令式(16)中i=0,則最終未被感染的健康者的比例是Sy…8為方程, 1Fs八s+i—s+—ln—y—0 (17)0 0 8oS0在(0,1/o)內(nèi)的根，在圖形上表示為相軌線與s軸在(0,1/o)內(nèi)交點的橫坐標。③若S0>1/°，則i")先增加，當s—1/o時，i(t)達到最大值i—s+i--(1+lnos) (18)8 0 0o 0然后i(t)減小旦趨于0，s(t)單調(diào)減小至“，如圖中由P1出發(fā)的相軌線。④若s0Ao，則i(t)單調(diào)減小至0，s(t)單調(diào)減小至S8，如圖中由P2出發(fā)的相軌線。結(jié)論:①若病人比例有一段時間增長即認為傳染病在蔓延，則1/。為一個閾值,s0>1/o時蔓延。可以通過減小o使s0Ao，使傳染病不蔓延。②s0>1/o,o減小時，s8增加，也能控制蔓延程度。1。2捕魚模型考察一個漁場，其中魚量在天然環(huán)境下按一定規(guī)律增長、如果捕撈量恰好等于增長量，那么漁場魚量將保持不變，這個捕撈量就可以持續(xù).①產(chǎn)量模型假設(shè)：X(t)為漁場中魚量.1。無捕撈時，魚的的增長服從logistic規(guī)律，即X(t)=f(x)=rx(1-金］ (19)IN)其中：r表示固有增長率，N表示環(huán)境容許的最大魚量，f(x)表示單位時間的增長量。2。用E表示單位時間捕撈率，單位時間捕撈量和漁場魚量X(t)成正比，則有單位時間捕撈量為h(x)=Ex (2。)建模：捕撈情況下漁場魚量滿足,、_.、乙x、—x(t)=F(x)=rx1一n-Ex (21)其中：F(x)=f(x)一h(x)。判斷x(t)的穩(wěn)定條件，求式(21)的平衡點，分析其穩(wěn)定性。令式(21)為0,得兩個平衡點：Ex=N(1 ),x=0 (22)0 r1穩(wěn)定性判斷Ff(x)=E—r,Ff(x)=r—E當E<r時F(x0)<0,F(xi)>0，則x0點穩(wěn)定，匕點不穩(wěn)定。當E>r時F(x0)>0,F(xi)<0，則\點穩(wěn)定，x0點不穩(wěn)定。分析：用E表示捕撈率,丫表示固有增長率.①當E<r時，可使魚量穩(wěn)定在x0，獲得穩(wěn)定產(chǎn)量.②當E>r時，xi穩(wěn)定，漁場干枯。根據(jù)(19)，(20)式分別繪制曲線尸f(x)及y=h(x)=E(x)，使用Matlab繪制圖形如下所示，得兩曲線交點為P，則P橫坐標為穩(wěn)定平衡點x0，縱坐標為穩(wěn)定條件下單位時間的產(chǎn)量，當交點位于拋物線頂點時獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量，此時的穩(wěn)定平衡點為x*=N,單位時間的最大持續(xù)產(chǎn)量為h=曳，捕撈率e*=r。0 2 m4 2結(jié)論：將捕撈率控制在固有增長率r的一半，即使?jié)O場魚量保持在最大魚量的一半時，能夠獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量。②效益模型(經(jīng)濟效益=總收入收入一成本)假設(shè)：魚銷售單價P，單位捕撈率費用是。，單位時間收入為丁，成本為S，單位利潤為R，則有T=ph(x)=pEx S=cER=T—S=pEx—cE (23)建模:在穩(wěn)定條件x=)下，將式(22)代入式(23)得TOC\o"1-5"\h\zR(E)=T(E)-S(E)=pNE(1-—)-cE (24)r求出使利潤最大的捕撈強度為E=-[1-—] (25)R21pN)最大利潤下的漁場穩(wěn)定魚量、和單位時間的持續(xù)產(chǎn)量hRNcxR=2*2P (26)h=rx(1-鼠)=且[1-。] (27)RRN4Ip2N2J結(jié)論：當有最大效益時，捕撈率和持續(xù)產(chǎn)量都減小，漁場應保持的穩(wěn)定魚量增加，捕撈成本越大或銷售價格越低所需減少增大的部分越大.③捕撈過度：封閉式捕撈追求利益最大，開放式捕撈只追求利潤。令式(24)中R(E)=0，解Ej則E=/1-—] (28)SIPNJ當E<Es時，利潤r(e)〉0經(jīng)營者加大捕撈強度,當E>E/r(e)<0經(jīng)營者減小捕撈強度，E為盲目捕撈下的臨界強度.S或利用Matlab繪制—?T(E),S(E)曲線如圖(12)，則t(E),S(E)交點橫坐標即為ES。二、微分方程與平衡點理論2。1一階微分方程設(shè)一階微分方程為x(t)=f(x) (1)求解方程f(X)=0即可出平衡點x=x0。再判斷平衡點x0是否穩(wěn)定。判斷平衡點的常用方法有以下兩種(1)直接法將f(x)在x0點作泰勒展開，僅取一次項，則得方程(1)的近似線性方程為

xG）=/,（x）（x-x） （2）0所以，X也是方程（2）的平衡點.令廣（x）=〃,則方程（2）的一般解為0 0xG）=+x c為常數(shù)o對于x點的穩(wěn)定性有如下結(jié)論:0TOC\o"1-5"\h\z如果廣（x）＜0,則X對于方程（2）和（1）都是穩(wěn)定的；0 0如果尸G）＞0,則X對于方程（2）和（1）都是不穩(wěn)定的；0 0（2）間接法如果存在x某個鄰域內(nèi)的任意值，使方程（1）的解式方）滿足0limxG）=x （3）…0那么X是穩(wěn)定的，否則X是不穩(wěn)定的.0 02.2二階微分方程設(shè)二階微分方程為(4)f（xx）—0求出方程/J2 的解,即為二階微分方程的平衡點X=X0,X=X。記作TOC\o"1-5"\h\zgkx,x）=0 1122l12PGo,xo）0 1 2利用直接法判斷平衡點的穩(wěn)定性，由線性常系數(shù)微分方程組xax+ax＜1zX11 22 （5）x\t）=bx+bxl2 11 22得系數(shù)矩陣記(6)(7)(6)(7)(8)A=i2bbL1 2」為求出方程（5）的惟一平衡點P（0,0）的穩(wěn)定性，令A的行列式為odetA^OP（0,0）的穩(wěn)定性可由方程（5）的特征方程的根九決定。即odet（A-1/）=0方程（8）可以寫為入2+p入+q=0TOC\o"1-5"\h