16.1 幾何證明選講

/第十六章選講內(nèi)容本章知識結(jié)構(gòu)圖幾何證明選講幾何證明選講平行線等分線段定理推論引理推論1推論2平行線分線段成比例定理相似三角形預(yù)備定理判定定理2判定定理1判定定理3直角三角形相似判定定理射影定理坐標(biāo)系與參數(shù)方程切割線定理相交弦定理割線定理切線定義圓的切線的判定定理與性質(zhì)定理坐標(biāo)系圓周角定理參數(shù)方程柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系極坐標(biāo)系直線和圓的參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程平面上的坐標(biāo)系弦切角的性質(zhì)定理切線長定理四點共圓判定定理圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理四點共圓判定定理圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理直線和圓常見曲線推論2推論1直線和圓常見曲線推論2推論1空間中的坐標(biāo)系曲線的極坐標(biāo)方程拋物線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程擺線和圓的漸開線的參數(shù)方程空間中的坐標(biāo)系曲線的極坐標(biāo)方程拋物線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程擺線和圓的漸開線的參數(shù)方程不等式的基本性質(zhì)不等式不等式不等式的基本性質(zhì)不等式三個正數(shù)的算數(shù)-幾何平均不等式基本不等式不等式和絕對值不等式三個正數(shù)的算數(shù)-幾何平均不等式基本不等式不等式和絕對值不等式絕對值三角不等式絕對不等式絕對值三角不等式絕對不等式比較法絕對值不等式的解法比較法絕對值不等式的解法綜合法與分析法不等式證明不等式的基本方法綜合法與分析法不等式證明不等式的基本方法反證法與放縮法反證法與放縮法數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法柯西不等式、排序不等式柯西不等式、排序不等式幾何證明選講考綱解讀1.了解平行線截截割定理，會證明并應(yīng)用直角三角形射影定理.2.會證明并應(yīng)用圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.3.會證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理.4.了解平行投影的含義、通過圓柱與平面的位置關(guān)系了解平行投影；會證明平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）.命題趨勢探究主要考查圓周角定理、圓的切線的判定定理與性質(zhì)定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).知識點精講一、平行截割定理1.平行線等分線段定理及其推論（1）定理：如果一組平行線在一條線段上截得的線段相等，那么在任意一條（與這組平行線相交的）直線上截得的相等也相等.(2)推論：經(jīng)過梯形一腰的中點而平行與底邊的直線平分另一腰.2.平行截割定理及其推論（1）定理：兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應(yīng)線段成比例．（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，截得的三角形與原三角形的對應(yīng)線段成比例．二、相似三角形1.相似三角形的判定（1）判定定理：=1\*GB3①兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.=2\*GB3②兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似．=3\*GB3③三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似.（2）推論：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.(3)直角三角形相似的特殊判定：斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.2.相似三角形的性質(zhì)相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比，面積比等于相似比的平方．3.直角三角形射影定理直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上的射影的乘積.三、圓的切線1.切線的性質(zhì)及判定（1）切線的性質(zhì)定理：原的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.2.切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線長相等.四、相交弦定理圓內(nèi)兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.五、切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．六、圓內(nèi)接四邊形1.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.2.圓內(nèi)接四邊形的判定定理:(1)如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形內(nèi)接于圓.(2)若兩點在一條線段同側(cè)且對該線段張角相等，則此兩點與線段兩個端點共圓，特別地，對定線段張角為直角的點共圓.題型歸納及思路提示題型192相似三角形思路提示運用相似三角形的判定定理與性質(zhì)，注意表示線段字母的對應(yīng)，?？碱}型是“A”型或“8”型相似.例16.1如圖16-1所示，已知求證：解析：證法一：因為所以.所以所以=1\*GB3①.又與同向，由等角定理知=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得.證法二：因為所以，所以.即.所以.故，即.所以.變式1如圖16-2所示，在中，作平行于的直線交于，交于E，若BE和CD相交于O，AO和DE相交于F，AO的延長線交BC與G.證明：（1）；（2）變式2如圖16-3所示，已知AB與CD相交于點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P.若，則PE=__________________變式3如圖16-4所示，已知PA，PB是的兩條切線，PCD是的一條割線，E是AB與PD的交點.證明：（1）；（2）；（3）.例16.2如圖16-5所示,四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和CD交于點P，若，則的值為__________________.解析：因為四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形.所以.又，所以，所以.故變式1.如圖16-6所示，的弦ED，CB的延長線交于點A，若，則________________________.變式2如圖16-7所示，過外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A、B兩點，且是圓上一點使得則________________。題型193相交弦定理、切割線定理及其應(yīng)用思路提示理解相交弦定理、切割線定理，掌握相交弦定理、切割線定理與四點共圓的等價性.例16.3（1）（2012年陜西理15）如圖16-8所示，在中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，，垂足為F，若AB＝6，AE=1，則___________.（2）（2012年北京理5）如圖16-9所示，，于點D,以BD為直徑的圓與BC交于點E，則（）A.B.C．D.解析（1）在中，由射影定理得，由相交弦定理得，故.（2）在中，由射影定理得.由切割線定理得，所以，故選A.變式1（2012年廣東理15）如圖16-10所示，AB是的直徑，點C在上，延長BC到D使BC=CD，過C作的切線交AD于E.若AB=6，ED=2，則BC=___________.變式2（2012年湖北理15）如圖16-11所示，點D在的弦AB上移動，AB=4，連接OD，過點D作OD的垂線，交于點C，則CD的最大值為___________.變式3如圖16-12所示，PT為的切線，T為切點，PA交于A，B兩點，的角平分線交TA，TB于D，E，PT=2，PB=，例16.4如圖16-13所示，外一點P，PA切于A，M為AP的中點，MBC為的割線.求證：解析若又則證明：由切割線定理，得.變式1如圖16-14所示，已知PA與相切，A為切點PBC為割線，弦，相交于E點，F(xiàn)為CE上一點，且（1）求證：（2）求證：（3）若，求PA的長.變式2如圖16-15所示，過外一點M作它的一條切線，切點為A，過A點作直線AP垂直于直線OM，垂足為P.（1）證明：；（2）N為線段AP上一點，直線NB垂直于直線ON，且交B點，過B點的切線交直線ON于K.證明：.題型194四點共圓思路提示掌握四點共圓的常用等價條件（對角互補，外角等于內(nèi)對角，同弧所對圓周角相等，相交弦定理、切割線定理等）.例16.5如圖16-16所示，D,E分別為的邊AB和AC上的點，且不與的頂點重合，已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程的兩個根，證明：四點共圓.解析連接DE，根據(jù)題意在和中，，即.又，從而，因此.所以四點共圓.變式1如圖16-17所示，四點在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點，且EF=ED.（1）證明：.（2）延長CD到F，延長DC到G，使得EF=EG，證明：四點共圓.變式2如圖16-18所示，已知AP是的切線，P為切點，AC是的割線，與交于B，C兩點，圓心O在的內(nèi)部，點M是BC的中點.（1）證明：A，P，O，M四點共圓；（2）求大小.題型195空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面問題例16.6如圖16-16所示，從球外一點引球的切線，則（）A．可以引無數(shù)條切線，所有切點組成球的一個大圓B．可以引無數(shù)條切線，所有切點組成球的一個小圓C．只可以引兩條切線，兩切點連線過球心D．只可以引兩條切線，兩切點連線不過球心解析如圖16-19所示，為球的大圓，為的兩條切線，把以PO為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)得球O，因為，所以切點隨之旋轉(zhuǎn)為球O的一個小圓.故選B.變式1若平面與球O相切，切點為M，則（）A．經(jīng)過點M的直線都與球O相切B．不經(jīng)過點M的直線都與球相離C．平面內(nèi)不經(jīng)過點M的直線有可能與球O相切D．平面內(nèi)經(jīng)過點M的直線都與球O相切變式2已知球的半徑R=6，過球外一點P作球的切線長為8，則點P到球面上任一點Q的最短距離為（）A.3B.4C.5D.6變式3將一個圓柱形水杯（內(nèi)有半杯水）傾斜成母線與桌面成時，杯內(nèi)的水平面（水不溢出）呈橢圓形，則該橢圓的離心率為（）A.B.C.D.最有效訓(xùn)練題59(限時45分鐘)1．如圖16-20所示Rt△中，∠=90°，是斜邊上的高，,,則等于()A.B.C.D.2．如圖16-21所示,分別是△的邊,上的點，//旦,那么△與四邊形的面積比是()A．B．C．D．圖16-20圖16-20圖16-213．是△的三邊中點，設(shè)△的面積為,△的周長為，則△的周長與△的面積分別是()A．B．C．D．4．如圖16-22所示，在梯形中，//,∠=，以為圓心，為半徑，作⊙交,于兩點，并交延長線于，則的度數(shù)是()A.B.C.D.5．如圖16-23所示，自⊙外一點引圓的切線，切點為,為的中點，過引圓的割線交圓于兩點，且∠,∠，則∠的大小為()A.B.C.D.圖16-22圖16-22圖16-236．如圖16-24所示，⊙與⊙相交于和，切⊙于，交⊙于和，交的延長線于,,，則=()A.3B.C.D.7．如圖16-25所示，已知是⊙的直徑,在的延長線上，切⊙于點，⊥于.若,，則⊙的半徑為；=.圖16-25圖16-25圖16-248．如圖l6-26所示，已知是⊙的切線，切點為,交⊙于兩點，,，則⊙的半徑為,∠=.9．如圖16-27所示，⊙的直徑，為圓周上一點，,過作圓的切線，過作的垂線,垂足為，則線段的長為.圖16-26圖16-26圖16-2710．如圖1