湘教版2016年八年級(jí)下數(shù)學(xué)第1單元直角三角形單元試題含答案

湘教版2016年八年級(jí)下數(shù)學(xué)第1單元直角三角形單元試題含答案1.在直角三角形中，斜邊上的中線長(zhǎng)為6.5，一條直角邊為5，則另一直角邊長(zhǎng)為10。2.在等腰三角形中，一腰長(zhǎng)為3a，底角為15°，另一腰上的高為a。3.在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=5，DE=2，則△BCE的面積為4。4.如圖，字母B所代表的正方形的面積為12。5.在Rt△ABC中，∠C=30°，斜邊AC的長(zhǎng)為5cm，則AB的長(zhǎng)為3cm。6.以線段a，b，c的長(zhǎng)為邊，能構(gòu)成直角三角形的是a=3，b=4，c=5。三、解答題(每小題10分，共42分)1．如圖，在△ABC中，AE⊥BC，CF⊥AB，AE=CF，AB=6，BC=8，則AC的長(zhǎng)為多少？(用勾股定理解答)（10分）解答：由AE⊥BC，CF⊥AB，可得∠AEB=∠CFA=90°，AE=CF，所以△AEB≌△CFA，AB=6，BC=8，∠AEB=∠CFA，所以∠AEC=∠CFB，又因?yàn)锳E=CF，所以△AEC≌△CFB，所以EC=FB，又因?yàn)锳C=AE+EC，BC=BF+FC，所以AC=BF+FC+EC=2EC+8，所以AC的長(zhǎng)為2×√(AE2+BE2)+8=2×√(36+64)+8=2×10+8=28。2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，CE=2，AC=5，則BC的長(zhǎng)為多少？(用勾股定理解答)（10分）解答：在△ACD中，CD⊥AB，所以AD2+DC2=AC2，即AD2+(CE+DE)2=AC2，即AD2+4+DE2+4+2DE=25，即AD2+DE2+2DE=17，所以(AD+DE)2=AD2+DE2+2AD×DE=17+2DE，又因?yàn)樵凇鰾CD中，CD⊥AB，所以BD2+DC2=BC2，即BD2+(CE-DE)2=BC2，即BD2+4+DE2-4-2DE=BC2，即BD2+DE2-2DE=BC2-4，所以(AD-DE)2=AD2+DE2-2AD×DE=BC2-4，所以(AD+DE)2-(AD-DE)2=4AD×DE=BC2-4-17=BC2-21，所以BC2=4AD×DE+21，又因?yàn)樵凇鰽CD中，AD2+DE2+2AD×DE=17，所以AD×DE=8，所以BC2=4×8+21=53，所以BC的長(zhǎng)為√53。3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，CE=2，AC=5，則BD的長(zhǎng)為多少？(用勾股定理解答)（10分）解答：在△BCD中，CD⊥AB，所以BD2+DC2=BC2，即BD2+(CE-DE)2=BC2，即BD2+4+DE2-4-2DE=BC2，即BD2+DE2-2DE=BC2-4，所以(AD-DE)2=AD2+DE2-2AD×DE=BC2-4，又因?yàn)樵凇鰽CD中，AD2+DE2+2AD×DE=17，所以AD×DE=8，所以BC2=4AD×DE+21=53，所以BD2=53-DE2+2DE-4=49-DE2+2DE，所以BD2的最小值為當(dāng)DE=1時(shí)，BD2=50，所以BD的長(zhǎng)為√50=5√2。4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=16，則AB的長(zhǎng)為多少？(用勾股定理解答)（12分）解答：在△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=16，所以AB2=AC2-BC2=256-144=112，所以AB的長(zhǎng)為√112=4√7。19.在△ABD中，由角平分線定理可知：$$\frac{AE}{ED}=\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{9}{\sqrt{9^2-6^2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$$又因?yàn)樵凇鰽ED中，$\angleAED=90^\circ$，所以：$$AD=\sqrt{AE^2+ED^2}=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{5}}{5}\times6\right)^2+6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$$20.(1)由題意可知：$$\begin{aligned}\angleADE&=90^\circ-\angleDAE=90^\circ-\angleCBE=\angleBCE\\\angleAED&=\angleBEC\end{aligned}$$又因?yàn)?AE=BC$，所以根據(jù)ASA全等條件，可以得到Rt△ADE與Rt△BEC全等。(2)由題意可知：$$\begin{aligned}\angle1&=\angle2\\\angleCED&=180^\circ-\angle1-\angle2=90^\circ\end{aligned}$$所以△CDE是直角三角形。21.(1)由題意可知：$$\begin{aligned}\angleAFB&=180^\circ-\angleBAE-\angleAEB=90^\circ\\\angleBFC&=\angleCBE+\angleCEB=\angleBAE+\angleAEB=90^\circ\end{aligned}$$又因?yàn)?AB=BC$，所以根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可以得到$BF=2AE$。(2)由題意可知：$$\begin{aligned}\angleADE&=90^\circ-\angleBAD=45^\circ\\\angleCED&=180^\circ-\angleAEC-\angleAED=90^\circ-\angleAED=45^\circ\end{aligned}$$所以△CDE也是直角三角形。由勾股定理可知：$$CD=2=CE-DE=CB-AE$$又因?yàn)?AB=BC$，所以$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{3}AC$。所以：$$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{9^2-2^2}=7$$根據(jù)勾股定理，對(duì)于直角三角形ABC，有AB2+BC2=AC2。根據(jù)題意，我們可以推出以下結(jié)論：1.由GB=FC，可得Rt△BEG≌Rt△CDF(HL)，進(jìn)而得出GE=FD。2.設(shè)AE=x，則CE=9-x。由BE平分∠ABC，CE⊥CB，ED⊥AB，可得DE=CE=9-x。又因?yàn)镋D垂直平分AB，所以AE=BE，∠A=∠ABE=∠CBE。在Rt△ACB中，∠A+∠ABC=90°，所以∠A=∠ABE=∠CBE=30°。因此DE=AE，即9-x=x，解得x=6，即AE的長(zhǎng)為6。3.對(duì)于Rt△ADE和Rt△BEC，由∠1=∠2可得DE=CE。又因?yàn)椤螦=∠B=90°，AE=BC，所以Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)。同時(shí)，由Rt△ADE≌Rt△BEC，可得∠ADE=∠BEC。因?yàn)椤螦DE+∠AED=90°，所以∠BEC+∠AED=90°，進(jìn)而得出∠DEC=90°，即△CDE是直角三角形。4.對(duì)于證明AD=BD，由AD⊥BC，∠BAD=45°，可得∠ABD=∠BAD=45°，進(jìn)而得出AD=BD。又因?yàn)锳D⊥BC，BE⊥AC，所以∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，進(jìn)而得出∠CAD=