2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題答案解析

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖，已知。0的直徑AC與弦BO相交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是QB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，ZEAB=

ZADBi

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)己知點(diǎn)8是E尸的中點(diǎn)，求證：△E4Fs/\C8A.

(3)已知A尸=4,CF=2,在(2)的條件下，求AE的長(zhǎng).

E

(1)證明：如圖1,連接CD,

：AC是。0的直徑，

ZADC=90°,

：.ZADB+ZEDC=90°,

NBAC=/EDC,/EAB=NADB,

：.ZEAC=ZEAB+ZBAC=90°,

；.AE是。。的切線.

(2)證明：如圖2,連接BC,

第1頁(yè)共5頁(yè)

〈AC是OO的直徑，

AZABC=90°,

：.ZCBA=ZABC=90°

???B是所的中點(diǎn),

???在RtZ\E4F中，AB=BF,

：.ZBAC=ZAFEf

：./\EAF^/\CBA.

(3)解：■:△EAFsXCBN,

.ABAC

"AF-EFf

VAF=4,CF=2.

?"C=6,EF=2ABf

AB6A”「

???一=——，解得AB=2V1

42AB

：.EF=4y/3,

'.AE=y/EF2—AF2=J(46)2_42=4四,

2.解決問題：

(1)如圖①，半徑為4的。。外有一點(diǎn)尸，且P0=7,點(diǎn)A在。。上，則出的最大值

和最小值分別是11和3.

第2頁(yè)共5頁(yè)

(2)如圖②，扇形A08的半徑為4,NAOB=45°,P為弧AB上一點(diǎn)，分別在0A邊

找點(diǎn)E,在0B邊上找一點(diǎn)F,使得△PEF周長(zhǎng)的最小，請(qǐng)?jiān)趫D②中確定點(diǎn)E、F的位置

并直接寫出△PE尸周長(zhǎng)的最小值；

拓展應(yīng)用

(3)如圖③，正方形ABCQ的邊長(zhǎng)為4或；E是CO上一點(diǎn)(不與。、C重合)，CF±

BE于F,尸在BE上，且尸F(xiàn)=CF,M、N分別是AB、AC上動(dòng)點(diǎn)，求△尸MN周長(zhǎng)的最

小值.

解：(1)如圖①，..?圓外一點(diǎn)P到這個(gè)圓上所有點(diǎn)的距離中，最大距離是和最小距離都

在過圓心的直線0P上，

此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，圓外一點(diǎn)與這兩個(gè)交點(diǎn)的距離個(gè)分別最大距離和最小距離.

：.PA的最大值=以2=尸0+042=7+4=11,

PA的最小值=%|=20-04=7-4=3,

故答案為11和3；

(2)如圖②，以。為圓心，0A為半徑，畫弧AC和弧8￡),作點(diǎn)P關(guān)于直線0A的對(duì)

稱點(diǎn)Pi,作點(diǎn)尸關(guān)于直線0B的對(duì)稱點(diǎn)尸2,連接Pi、P2,與。4、0B分別交于點(diǎn)E、F,

點(diǎn)E、尸即為所求.

連接0P1、。尸2、。尸、PE、PF,

由對(duì)稱知識(shí)可知，ZAOPi^ZAOP,NB0P2=NB0P,PE=P\E,PF=P1F

：.ZAOP\+ZBOP1^NAOP+NBOP=/AO8=45°

NP1OP2=45°+45°=90°,

APi0P2為等腰直角三角形，

：.PlP2=顯叫=4V2,

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△PEF周長(zhǎng)=PE+PF+EF=PIE+P2F+EF=PiP2=4收,止匕時(shí)△「《下周長(zhǎng)最小.

故答案為4注；

(3)作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱Pi,連接AP、BPi,作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱P2,

連接P、P2,與A3、AC分別交于點(diǎn)M、N.

由對(duì)稱知識(shí)可知，PM=P\M,PN=P2N,叢PMN周長(zhǎng)=PM+PN+MN=PMI+P2N+MN=

P1P2,

此時(shí)，△PMN周長(zhǎng)最小=日「2.

由對(duì)稱性可知，NBAPi=NBAP,NEAP2=NEAP,AP\=AP=API,

：.NBAP1+NEAP2=ZBAP+ZEAP=NBAC=45°

ZPIAP2=45°+45°=90°,

...△P1AP2為等腰直角三角形，

...△PMN周長(zhǎng)最小值PP2=夜/lP,當(dāng)AP最短時(shí)，周長(zhǎng)最小.

連接DF.

,：CFLBE,且PF=CF,

PC

：.ZPCF=45°,—=Vr2

CF

；/AC￡>=45°,

：.ZPCF=ZACD,

NPCA=NFCD

AC

又而3r

ACPC

.?.在△APC與△OFC中，一=一,ZPCA=ZFCD

CDCF

:.XAPCsXDFC,

APAC

：.—=—="2r,

DFCD

：.AP=y/2DF

'：ZBFC=90°,取BC中點(diǎn)。

.?.點(diǎn)尸在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。、F、。三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，力F最短.

22

DF=DO-FO=70c2+CD2-0C=J(2V2)+(472)-272=2同-272,

：.AP最小值為4P=V2DF

此時(shí)，△PMN