2021年中考數(shù)學總復習：20 相似三角形問題（解析版）

2021年中考數(shù)學總復習：專題20相似三角形問題

一、比例

1.成比例線段（簡稱比例線段）：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段

的長度的比相等，即且=￡（或a：b=c：d）,那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。如果作

bd

為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即0=2或a：b=b：c,那么線段b叫做線段a,c的比例中項。

bc

2.黃金分割：用一點P將一條線段AB分割成大小兩條線段，若小段與大段的長度之比等于大段與全長之

比，則可得出這一比值等于0?618…。這種分割稱為黃金分割，分割點P叫做線段AB的黃金分割點，較長

線段叫做較短線段與全線段的比例中項。

3.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

4.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。

5.平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.

二、相似、相似三角形及其基本的理論

1.相似：相同形狀的圖形叫相似圖形。相似圖形強調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、大小無關。

2.相似三角形：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似多邊形對應邊的比叫做相

似比。

3.三角形相似的判定方法

（1）定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊延長線）相交，構成的三角形與原三角形相似。

（3）兩個三角形相似的判定定理

判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似，可簡述

為兩角對應相等，兩三角形相似。

判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應相等，并且夾角相等，那么這兩個三角

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形相似，可簡述為兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。

判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似，可簡

述為三邊對應成比例，兩三角形相似。

4.直角三角形相似判定定理：

①以上各種判定方法均適用

②定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那

么這兩個直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。

5.相似三角形的性質：

（1）相似三角形的對應角相等，對應邊成比例

（2）相似三角形對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

（3）相似三角形周長的比等于相似比

（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

【例題1】（2020?河北）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點。為位似中心，四邊形4?（力的位似圖形是（）

A.四邊形A陽&B.四邊形八叼依C.四邊形AW呢D.四邊形A/席

【答案】A

【分析】由以點。為位似中心，確定出點C對應點M設網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1,則陣巡，OM

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=2遙，0D=y[2,0B=V10,OA=V13,OR=遍，OQ=2y/2,OP=2同,OH=35flV=2V13,由一=2,

oc

得點〃對應點0,點6對應點。，點4對應點N,即可得出結果.

【解析】???以點。為位似中心，

...點。對應點施

設網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1,

則0C=V22+I2=V5,0M=V42+22=2遙，OD=y[2,0B=V32+I2=VlO,04=V32+22=V13,0R=

V22+l2=V5,0g2近,0P=V62+22=2V10,0H=V62+32=3V5,0N=V62+42=2^13,

,OC_V5j'

.?.點。對應點0,點6對應點2點4對應點M

.??以點。為位似中心，四邊形/靦的位似圖形是四邊形A冏心。

【對點練習】(2019廣西北海)如圖，在平面直角坐標系中，△力加的三個頂點分別為/(-1,1),B(-

4,1),C(-2,3).

(1)畫出關于點0成中心對稱的△45G；

(2)以點/為位似中心，將放大為原來的2倍得到△4SG,請在第二象限內(nèi)畫出△45G；

(3)直接寫出以點4,B、,。為頂點，以45為的平行四邊形的第四個頂點〃的坐標.

【答案】見解析。

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【解析】（1）根據(jù)關于原點對稱的點坐標特征寫出爾B、C關于原點的對稱點4、A、G的坐標，然后描點

即可.如圖，△4AG為所作.

（2）延長47到與使4區(qū)=249,延長4C到C使/G=244連接氏G,則與G滿足條件.第四個頂點〃的

坐標為（-1,-3）或（5,-3）.

（3）另一條平行四邊形的性質，把G點向左或右平移3個單位得到。點坐標.

第四個頂點〃的坐標為（-1，-3）或（5,-3）.

【例題2】（2019?廣西賀州）如圖，在△48C中，D,￡分別是/C邊上的點，DE//BC,若

AIA2,AB=3,DE=4,則a'等于（）

D.8

【答案】B

【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質；證明三角形相似得出對應邊成比例是解題的關鍵.由平行線

得出得出對應邊成比例坦=1旦，即可得出結果.

ABBC

，：DE//BC,

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:.XADESXABC,

.AD=DE

"ABBC"

即2=_￡,

3BC

解得：BC=6

【對點練習】（2019年內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，D、￡分別是△48C邊48,4。上的點，NADE=N.ACB,若AD=

2,AB=6,AC=4,則/￡的長是（）

C.3D.4

【答案】C

【解析】VAADE=ZACB,N/=N4

:.XADEsXACB,

?AD_AE即2—AE

,*AC-AB"'1丁

解得，AE=3

【點撥】證明△/1應根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，計算即可.

【例題3】（2020?山東泰安模擬）如圖，矩形四切中，AB=3巫,6612,￡為4?中點，F(xiàn)為AB上一點,

將△/旗沿旗折疊后，點4恰好落到CF上的點G處，則折痕"的長是.

B

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【答案】2標.

【解析】本題考查了矩形的性質，軸對稱的性質，相似三角形的判定與性質等，解題關鍵是能夠作出適當?shù)?/p>

輔助線，連接四，構造相似三角形，最終利用相似的性質求出結果.

連接利用矩形的性質，求出￡6,應'的長度，證明星平分/比過再證/用7=90°,最后證△儂'sa

EDC,利用相似的性質即可求出旗的長度.

如圖，連接a1,

?四邊形ABCD為矩形,

.?.//=/左90°,BC=AD=\2,DC=AB=3氓,

■:E為血中點,

:.AE=DE=LAD=6

2

由翻折知，日慢△6XE

:.AE=GE=6,ZAEF=ZGEF,NEGF=NEAP=9Q°=ZA

：.GE=DE,

:.EC平令4DCG,

:./DCE=/GCE,

'：￡GEC=W-AGCE,/DEC=9Q°-ZDCE,

:"GEg/DEC,

:.NFEC=NFE&rNGEC=Lx\80°=90°,

2

:.NFEC=/D=9G,

又.：/DCE=4GCE,

：.l\FEC<^/\EDC,

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?.F?EzEzC,

DEDC

￡，=VF環(huán)商=舊石鬲^=3板，

.FESVTU

??7=~，

63^/6

:.FE=2底

【對點練習】2019黑龍江省龍東地區(qū)）一張直角三角形紙片4%；/力電90°,力6=10,力仁6,點。為

1%邊上的任一點，沿過點。的直線折疊，使直角頂點。落在斜邊上的點￡處，當△頌是直角三角形時，

則切的長為一

【答案】3或半24

【解析】在ABDE中，/B是銳角，.?.有兩種可能，/DEB或/EDB是直角，由此畫出示意圖，逐步求解即可.

如下圖，NDEB是直角時，VZJfl?=90°,16=10,AC=<o,

：.BC=>/102-62=8,設CD=x,則BD=8-x,

由折疊知CD=ED=x,VZ^=ZDEB=90°,

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...△BEDsZ\BCA,...AC上C=D々F，即6？=」r—，解得x=3;

AHDB108-x

如下圖，NEDB是直角時，ED〃AC,

...△BEDsaBAC,，必AC二F士D，即6？=^二r，解得x=2—4，

CBDB88-x7

綜上，CD的長為3或m24.

【點撥】在ABDE中，NB是銳角，有兩種可能，/DEB或/EDB是直角，由此畫出示意圖，逐步求解即可.

【例題4】（2020?杭州）如圖，在中，點僅E,尸分別在陽BC,水?邊上，DE//AC,EF//AB.

（1）求證：XBDEsXEFC.

"F1

（2）設一=

FC2

①若a'=12,求線段應?的長；

②若的面積是20,求△48C的面積.

【解析】見解析。

【分析】（D由平行線的性質得出/頌=/座4DBE=/FEC,即可得出結論;

BEAF1

（2）①由平行線的性質得出工7=—=即可得出結果；

ECFC2

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FC2

②先求出77=大易證△掰C,由相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結果.

AC3

【解答】（1）證明：???〃￡〃〃；

：?4DEB=/FCE,

?:EF"AB,

：.ADBE=4FEC,

:.△BDESXEFO,

（2）解：①T：EF〃AB,

.BEAF1

EC~FC~2

■:EC=BC-BE=\2-BE,

?BE_1

^12-BE-2

解得：BE=4；

AF1

②：—=一，

FC2

.FC_2

??~~~~=~,

AC3

"：EF"AB,

:.XEFCSXBAC,

...^￡=（%）2=（2）2=4

S^ABCAC39

QQ

心?=]4,8ew=/4x20—45.

【對點練習】（2019?四川省涼山州）如圖，NABD=/BCD=90：DB平■分乙ADC,過點、B作網(wǎng)〃CD交AD于

M.連接CV交應于正

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(1)求證：Blf=AD>CD；

(2)若36,AD=8,求,卿的長.

【答案】見解析。

【解析】證明：(1)通過證明可得包_理，可得結論；

BDCD

■:DB平■分4ADC,

二/物，且/板=/及力=90°,

：./\ABD^l\BCD

?.?-A-DZ：-B-D-

BDCD

:.B4=AD>CD

(2)由平行線的性質可證乙敗即可證4y=必=就?=4,由*和勾股定理可求加1的長,

通過證明△必歷叨，可得二HN上,即可求助v的長.-：BM//CD

CDCN3

^MBD=ABDC

：.NADB=AMBD,且NABD=90°

：.BM=MD,NMAB=/MBA

：.BM=MD=AM=^

'：BET=AD*CD,且折6,AD=8,

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.,屈=48,

:.Bd=Ba-5=12

:.MG=M^+BC=28

:.MC=25

'：BM//CD

：.4MNBs/\CND

...現(xiàn)乳￡上，且比'=2夜

CDCN3

【點撥】本題考查相似三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，求."的長度是本題的關鍵.

專題點對點強化訓練

一、選擇題

1.（2020?重慶）如圖，與△姐'位似，點。為位似中心.已知如：勿=1：2,則△48。與△叱的面

積比為（）

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A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5

【答案】C

【解析】根據(jù)位似圖形的概念求出△/歐與的相似比，根據(jù)相似三角形的性質計算即可.

?.?△4%與如是位似圖形，0A-.01）=1：2,

與△%T7的位似比是1：2.

與△應F的相似比為1：2,

...△被7與△龐尸的面積比為1：4?

2.（2020浙江紹興）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：5,且三角板的

一邊長為8cm.則投影三角板的對應邊長為（）

A.20anB.10cmC.8cmD.3.2cm

【答案】A

【分析】根據(jù)對應邊的比等于相似比列式進行計算即可得解.

【解答】解：設投影三角尺的對應邊長為xc/力，

?.?三角尺與投影三角尺相似,

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**?8：x=2：5,

解得x=20.

3.（2020?遂寧）如圖，在平行四邊形能力中，NA%的平分線交力。于點反交AD于點尸,交切的延長線

BE

于點G,若AF=2FD,則77的值為（)

EG

G

1123

A-B--D-

2334

【答案】C

【分析】由4尸=2%；可以假設〃/7=在，則4b=24,AD=3k,證明AB=AF=2k,DF=DG=k,再利用平行線

分線段成比例定理即可解決問題.

【解析】EtlAF=2DF,可以假設%=h則力尸=2〃,AD=3k,

,/四邊形力靦是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

:./AFB=/FBC=/DFG,4ABF=4G,

■:BE①分/ABC,

:?/ABF=/CBG,

：.ZASF=ZAFB=4DFG=4G,

：.AB=CD=2kfDF=DG=k,

:.CG=C/DG=3k,

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，：AB//DG,

：./\ABE^i\CGE,

.BEAB2k2

'"EG—CG―3k—3°

4.（2020?遂寧）如圖，在正方形/時中，點6是邊8c的中點，連接力￡、DE,分別交他、/C于點只Q,

過點H乍必:L/f￡'交位的延長線于尸，下列結論：

①NAE訃NEA。NEDB=9Q。,

?AP^FP,

③力氏邛■AO,

④若四邊形。項的面積為4,則該正方形4%?的面積為36,

⑤CE'EF=ESDE.

其中正確的結論有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】B

【分析】①正確.證明/斂?=/￡宦'=45°,再利用三角形的外角的性質即可解決問題.

②正確.利用四點共圓證明8A45°即可.

③正確.選BE=EC=a,求出4?,勿即可解決問題.

④錯誤，通過計算正方形46位的面積為48.

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⑤正確.利用相似三角形的性質證明即可.

【解析】如圖，連接

???四邊形/題是正方形，

：.ACLBD,OA=OC=OB=OD,

：.ZBOC=90°,

、：BE=EC,

:"E0B=2E0C=45°,

■:/EOB=/EDB+/OED,/EOC=/EAC+/AEO,

:"AEM/EAC+/EDg/EAC+/AES/0E步/EDB=9G,故①正確,

連接"：

■:PFLAE,

:?NAPF=/ABF=90°,

：.A9P,B,一四點共圓,

：?NAFP=NABP=45°,

：.ZPAF=ZPFA=45°,

:?PA=PF,故②正確，

設BE=EC=a,貝lj力氏遍a,OA=OC=OB=OD=y[2a,

，些=等="即g孥/0,故③正確，

AOyJ2a22

根據(jù)對稱性可知，△OPE^XOQE,

Sk陽外:S四邊形OPEQ—2,

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'：OB=OD,BE=EC,

：、CD=20E,0E〃CD,

.EQOE1

=△。園s/\09Q,

9DQ~CD2

???SAW=/1,S^cw=8,

S^CtK)=12,

?，?S正方形ABCD=48，故④錯誤,

?：/EPF=/DCE=9/,4PEF=/DEC,

:NPFSAECD,

,EFPE

?.=,

EDEC

YEgPE,

:?CE/EF=E6DE,故⑤正確，

故選：B.

DE1

5.（2020?濰坊）如圖，點￡是口4?口的邊力。上的一點，旦一=一，連接應'并延長交切的延長線于點R

AE2

若DE=3,DF=4,則口力順的周長為（）

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E

D

----------------------fC

A.21B.28C.34D.42

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得力#〃切，再由平行線得相似三角形，根據(jù)相似三角形求得力反AE,進

而根據(jù)平行四邊形的周長公式求得結果.

【解析】??,四邊形Z曾是平行四邊形，

:?AB〃CF,AB=CD,

:.△ABESXDFE,

?"FD1

AE~AB~2

,:DE=3,DF=4,

：.AE=6,AB=89

???/!〃=44龐=6+3=9,

???平行四邊形力靦的周長為：（8+9）義2=34.

故選：C.

6.（2020?天水）如圖所示，某校數(shù)學興趣小組利用標桿跖測量建筑物的高度，已知標桿必高1.5力，測得

AB=L2m,BC=12.8/zz,則建筑物切的高是（）

AR

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A.17.5/nB.17nlC.16.5/nD.18ffl

【答案】A

【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似，可以計算出切的長，從而可以解答本題.

【解析】"：EBLAC,DCVAC,

：.EB//DC,

:.XABES/\ACD,

.ABBE

??,

ACCD

BE=1.5m,AB—1.2nuBC=12.8/n,

：.AC=AB+BC=14m1

.L21.5

??=,

14DC

解得，4c=17.5,

即建筑物切的高是17.5m,

7.（2019?海南?。┤鐖D，在應中，/C=90°,48=5,BC=4.點尸是邊〃'上一動點，過點尸作A?

〃/18交加'于點。，〃為線段制的中點，當初平分N4a'時，尸的長度為（）

旦B.15_C.至D.絲

A.13131313

【答案】B.

【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

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根據(jù)勾股定理求出〃,，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質得到/幽=/砌0,得到。6=如根據(jù)相似

三角形的性質列出比例式，計算即可.

VZC=90°,AB=5,BC=4,

AJ6'=VAB2-BC2=3,

'：PQ//AB,

：.AABD=ZBDQ,又4ABD=4QBD,

：.4QBg乙BDQ,

/.QB=QD,

:?QP=2QB,

?:PQ"AB,

:.△CPgXCAB,

.CP=CQ=PQ即CP_4YB_2QB

“CACBAB'、345

解得，（T=24,

13

：.AP=CA-CP=^~

13

二、填空題

2

8.（2020?郴州）在平面直角坐標系中，將△?!仍以點。為位似中心，,為位似比作位似變換，得到△外加,

已知力（2,3）,則點4的坐標是.

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4

【解析】2）.

【分析】直接利用位似圖形的性質進而得出對應點坐標即可.

2

【解析】???將△力仍以點。為位似中心，,為位似比作位似變換，得到仍I,A（2,3）,

22

???點4的坐標是：（-X2,-X3）,

33

4

即A\（一,2）.

3

9.（2020?樂山）把兩個含30°角的直角三角板按如圖所示拼接在一起，點后為力〃的中點，連結緲交力。

AF

于點凡則77=-

【解析】|.

【分析】連接CE,解直角三角形，用AD表示AB,根據(jù)直角三角形的性質，用表示CE,再證明CE//AB

AFAF

舄XABFsXCEF,由相似三角形的性質得,，進而得）便可.

CFAC

【解析】連接密???/。片30°,ZAC/）=90°,￡是/〃的中點，

：.AC=^-AD,CE=^AD=AE9

：.ZACE=ZCAE=30°

9：ZBAC=30°,N力80=90°,

：.AB=^AC=/BAC=/ACE,

：.AB//CE,

第20頁共37頁

：./\ABF<^/\CEF,

3

AFAB3

CF~CE~-AD―2

2

AF_3

AC~5

10.（2020?綏化）在平面直角坐標系中，△45C和△48C的相似比等于點并且是關于原點。的位似圖形，

若點/的坐標為（2,4）,則其對應點4的坐標是.

【解析】（4,8）或（-4,-8）.

【分析】利用關于原點對稱的點的坐標，把/點橫縱坐標分別乘以2或-2得到其對應點4的坐標.

1

【解析】???△/優(yōu)和△484的相似比等于5,并且是關于原點。的位似圖形，

而點力的坐標為（2,4）,

二點4對應點4的坐標為（2X2,2X4）或（-2X2,-2X4）,

即（4,8）或（-4,-8）.

三、解答題

11.（2020?泰安）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖

形，與/皿恰好為對頂角，/ABC=NCDE=90°,連接弧AB=BD,點尸是線段磔上一點.

探究發(fā)現(xiàn)：

（1）當點尸為線段綏的中點時，連接加■（如圖（2））,小明經(jīng)過探究，得到結論：及讓凱你認為此結論

第21頁共37頁

是否成立？.(填“是”或“否”)

拓展延伸：

(2)將(1)中的條件與結論互換，即：BDVDF,則點尸為線段四的中點.請判斷此結論是否成立.若成

立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

問題解決：

(3)若48=6,CE=9,求的長.

【答案】見解析。

【分析】(1)證明/必仆心=90°可得結論.

(2)結論成立：利用等角的余角相等證明/￡=/班推出跖=刈，再證明外=和即可解決問題.

(3)如圖3中，取比■的中點G,連接S則。J_劭.利用(1)中即可以及相似三角形的性質解決問題即

可.

【解析】(1)如圖(2)中，

第22頁共37頁

E

圖(2)

VZfi9C=90°,EF=CF,

：.DF=CF9

FCD=/FDC,

TN45c=90。,

.\Z/+ZJ6?=90°,

?:BA=BD,

:?/A=/ADB,

???AACB=AFCD=/FDC,

:?/AD卅/FDC=9。。,

:?/FDB=90°,

：.BDLDF.

故答案為是.

(2)結論成立：

理由：YBDIDF,EDLAD,

BDC+/CDF=9C,物=90°,

???ZBDC=ZEDF,

第23頁共37頁

'：AB=BD,

：.ZA=ZBDQ

：.ZA=ZEDF,

u：ZA+ZACB=90°,N母N夕但90°,4ACB=/ECD,

：.NA=NE,

：2E=/EDF,

：.EF=FD,

???N母/9=90°,/EDF+/FDC=9G0,

：.AFCD=^FDQ

:.FD=FC,

：.EF=FQ

???點￡是用的中點.

(3)如圖3中，取用的中點G,連接。.則應46〃

19

：.DG=^EC=^

■:BD=AB=6,

第24頁共37頁

在Rt△劭G中，BG=7DG2+BD2=J（/+62=號,

15Q

?,?％=號-23,

在RtZX/%中，e7AB2+BC2=抬+32=3倔

?：/ACB=4ECD,/ABC=4EDC,

:.XABCslXEDC,

.ACBC

??—,

ECCD

?越_A

?.—,

9CD

：.CD=誓，

：.AD=AC+CD=3y[S+竽=^fl-

12.（2020?達州）如圖，在梯形四（力中，AB//CD,/6=90°,AB=6cm,CD^2cm.P為線段比上的一動

點，且和8、。不重合，連接為，過點戶作必工處交射線切于點發(fā)聰聰根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對這個問

題進行了研究：

（1）通過推理，他發(fā)現(xiàn)請你幫他完成證明.

（2）利用幾何畫板，他改變隙的長度，運動點R得到不同位置時，CE、9的長度的對應值：

當BC=6an時,得表1：

BP/cm???12345???

CE/cm???0.831.331.501.330.83???

當比=8cm時,得表2：

BP/cm…1234567???

第25頁共37頁

CE/cm…1.172.002.502.672.502.001.17…

這說明，點尸在線段比1上運動時，要保證點￡總在線段切上，的長度應有一定的限制.

①填空：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在外和龍的長度這兩個變量中，BP的長度為自變量,

層」的長度為因變量；

②沒Bgmcm,當點p在線段附上運動時，點6總在線段切上，求0的取值范圍.

【解析】見解析。

【分析】（1）根據(jù)兩角對應相等兩三角形相似證明即可.

（2）①根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可.

②設.BP=xcm,CE=ycm.利用相似三角形的性質構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質求出y的最大值即可

解決問題.

【解答】（1）證明：'：AB//CD,

班NC=90°,

：/6=90°,

...N6=/C=90°,

,:APIPE,

90°,

:.NAP階NEPC=9Q°,

?：4EPC+NPEC=9Q°,

第26頁共37頁

:?/APB=/PEC,

：./\ABP^/\PCE.

（2）解：①根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在即和B的長度這兩個變量中，鰭的長度為自變量，酸的

長度為因變量，

故答案為：BP,EC.

②設BP=xcm,CE=ycm.

■：l\ABP^l\PCE,

ABBP

PC~CE'

6X

m-xy

.?.尸（X_加）2+m2

藥

,?*-T

6

im2

???后已加時，y有最大值—，

/24

???點《在線段⑦上，CD=2cm,

m2

—<2,

24

???辰4同

：?0＜足4回

第27頁共37頁

13.(2020?棗莊)在。中，龍=90°,切是中線，AC=BC,一個以點〃為頂點的45°角繞點〃旋轉,

使角的兩邊分別與4Ga'的延長線相交，交點分別為點區(qū)F,DF與4c交于點、M,DE與BC交于前N.

(1)如圖1,若CE=CF,求證：DE=DF；

(2)如圖2,在/叱繞點。旋轉的過程中，試證明”=367；'恒成立；

(3)若32,CF=V2,求ZW的長.

【解析】見解析。

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質得到時=45°,證明根據(jù)全等三角形的

對應邊相等證明結論；

(2)證明△比瓦根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，整理即可證明結論；

(3)作〃61比；根據(jù)等腰直角三角形的性質求出〃G,由(2)的結論求出第證明△以9S4〃A，G,根據(jù)相

似三角形的性質求出M；,根據(jù)勾股定理計算，得到答案.

【解答】(1)證明：4s=90°,AC=BC,G9是中線，

=/閱9=45°,NACF=NBCE=90°,

:.NDCF=NDCE=\35°,

在△&方和△灰方中，

CF=CE

Z.DCF=乙DCE,

.DC=DC

:NC阻XDCE〈SAS)

第28頁共37頁

:?DE=DF；

(2)證明：?.?N〃gl35°,

???/a/如'=45°,

???/月定=45°,

：.ZCDE+ZCDF=45°,

：.ZF=ZCDE,

*：4DCF=4DCE,4F=4CDE,

:ZCDSXDCE,

.CFCD

??=,

CDCE

:.C『CE+CF；

(3)解：過點〃作〃GL優(yōu)1于G,

■:NDCB=45°,

:.GC=GD=專CD=a,

由(2)可知，CI}=CE、CF,

rr)2

CE==2或,

Cr

?：NECN=4DGN,4ENC=4DNG,

:?/\ENCsXDNG,

CNCEarty[2-NG2^2

----=------,即-----------=一

NGDGNGV2

解得，M三考，

第29頁共37頁

由勾股定理得，DN=7DG2+NG2=竽.

圖2

14.（2020?上海）已知：如圖，在菱形/時中，點反廠分別在邊力氏上，BE=DF,位的延長線交物的

延長線于點G,?！?、的延長線交BA的延長線于點H.

（1）求證：叢BECs

（2）如果以'=/及/笈求證：AG=DF.

【解析】見解析。

【分析】（1）想辦法證明/8但/〃即可解決問題.

（2）利用平行線分線段成比例定理結合已知條件解決問題即可.

【解答】（1）證明：：四邊形力靦是菱形，

C.CD^CB,/g/B,CD//AB,

'：DF=BE,

:.叢CDFQCBE（SIS）,

4DCF=NBCE,

第30頁共37頁

CD//BH,

：?4H=4DCF,

：.ABCE=N〃，

,:/B=/B,

:、△BECSXBCH.

(2)證明：°:B^=AB*AE,

,BEAE

??=>

ABEB

■:AG//BC,

,AEAG

?.=,

BEBC

?BEAG

??—i

ABBC

°：DF=BE,BC=AB,

:.BE=AG=DF,

即AG=DF.

15.(2020?甘孜州)如圖，力5是。。的直徑，。為。。上一點，力〃和過點。的切線互相垂直，垂足為〃

(1)求證：ACAD=ACAB^

402

(2)若一=AC=2yf6,求切的長.

AB3

第31頁共37頁

【答案】見解析。

【分析】(1)連接0C,根據(jù)切線的性質，判斷出再應用平行線的性質，即可推得4c平分/%民

(2)如圖2,連接5G設A9=2x,AB=3x,根據(jù)圓周角定理得到//==N/〃C=90°,根據(jù)相似三角形的

性質即可得到結論.

【解析】(1)證明：如圖1,連接8，

號

圖1,

:如是切線，；.紇1切.

"：ADLCD,：.AD//OC,；.N1=N4.

?：OA=OC,.-.Z2=Z4,.\Z1=Z2,平分NZM6；

(2)解:如圖2,

三圖2

連接BC,

..絲_2

?二—，

AB3

工設力〃=2%AB=3xf

是。。的直徑，：.ZACB=ZADC=9Q°,

第32頁共37頁

ZDAC^ZCAB,，/\ABC,

eADAC.2x276

,??就=而‘‘南=寶’

，x=2(負值舍去)，

：.AD=\,

：.CD=y/AC2-AD2=2VI

16.(2020?寧波)【基礎鞏固】

(1)如圖1,在△46C中，〃為46上一點，NAg4B.求證：AC=A1AAB.

【嘗試應用】

(2)如圖2,在或中，E為BC上一點,尸為必延長線上一點,NBFE=4A.若BF=4,BE=3,求4〃

的長.

【拓展提高】

(3)如圖3,在菱形4版中，￡是49上一點，尸是△49C內(nèi)一點，EF//AC,AC=2EF,NED』g/BAD,AE

=2,DF=5,求菱形4%》的邊長.