第43講 巧解圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題(原卷版)_第1頁(yè)
第43講 巧解圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題(原卷版)_第2頁(yè)
第43講 巧解圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題(原卷版)_第3頁(yè)
第43講 巧解圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題(原卷版)_第4頁(yè)
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8/8第43講巧解圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題【高考地位】圓錐曲線(xiàn)是解析幾何的重要內(nèi)容之一,也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容和熱點(diǎn),知識(shí)綜合性較強(qiáng),對(duì)學(xué)生邏輯思維能力計(jì)算能力等要求很高,這些問(wèn)題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.定值問(wèn)題與定點(diǎn)問(wèn)題是這類(lèi)題目的典型代表,為了提高同學(xué)們解題效率,特別是高考備考效率,本文列舉了一些典型的定點(diǎn)和定值問(wèn)題,以起到拋磚引乇的作用.類(lèi)型一定點(diǎn)問(wèn)題萬(wàn)能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景求解直線(xiàn)和曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題解題模板第一步把直線(xiàn)或曲線(xiàn)方程中的變量x,y當(dāng)作常數(shù)看待,把方程一端化為零;第二步參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零,這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組;第三步方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線(xiàn)或曲線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn),或者可以通過(guò)特例探求;第四步用一般化方法證明.【例1】(2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)(理))已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓:,短軸長(zhǎng)為,橢圓左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖,已知點(diǎn),點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn),直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn),兩點(diǎn)都在軸上方,且.證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【變式演練1】【河南省鄭州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)】已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).(1)求的方程;(2)點(diǎn)在上,且,證明:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).類(lèi)型二定值問(wèn)題萬(wàn)能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景解析幾何中的定值問(wèn)題解題模板求定值問(wèn)題常見(jiàn)的解題模板有兩種:①?gòu)奶厥馊胧郑蟪龆ㄖ?,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān);②直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值.【例2】(2021·天津市靜海區(qū)第六中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓的方程為,離心率,,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn),且.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn),為原點(diǎn),且.試探究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式演練2】【T8聯(lián)考八校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】已知橢圓()與拋物線(xiàn)有公共的焦點(diǎn),且拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為的直線(xiàn)交橢圓于,兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),為弦的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交于點(diǎn),問(wèn)是否存在一定點(diǎn),使得的長(zhǎng)度為定值?若存在,則求出點(diǎn),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【高考再現(xiàn)】13.(2021·全國(guó)高考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)、,點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程;(2)設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)上,過(guò)的兩條直線(xiàn)分別交于、兩點(diǎn)和,兩點(diǎn),且,求直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之和.2.【2020年高考山東卷】已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).(1)求的方程;(2)點(diǎn),在上,且,,為垂足.證明:存在定點(diǎn),使得為定值.3.【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)20】已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),為的上頂點(diǎn),,為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),與的另一交點(diǎn)為與的另一交點(diǎn)為.(1)求的方程;(2)證明:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).4.【2017課標(biāo)1,理20】已知橢圓C:(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為–1,證明:l過(guò)定點(diǎn).5.【2017課標(biāo)3,文20】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時(shí),解答下列問(wèn)題:(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況?說(shuō)明理由;(2)證明過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.6.【2016高考北京文數(shù)】(本小題14分)已知橢圓C:過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn).(=1\*ROMANI)求橢圓C的方程及離心率;(Ⅱ)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線(xiàn)PA與y軸交于點(diǎn)M,直線(xiàn)PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.【反饋練習(xí)】1.【2020年普通高等學(xué)校招生伯樂(lè)馬押題考試(三)】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為,第一象限的點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,延長(zhǎng),交拋物線(xiàn)于點(diǎn),點(diǎn)在上,且.若,則()A. B. C. D.2.(多選)【廣東省興寧市第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期末】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在左、右焦點(diǎn)分別為、的雙曲線(xiàn)C上,下列結(jié)論正確的是()A.雙曲線(xiàn)C的離心率為2 B.當(dāng)P在雙曲線(xiàn)左支時(shí),的最大值為C.點(diǎn)P到兩漸近線(xiàn)距離之積為定值 D.雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為3.【金科大聯(lián)考2020屆高三5月質(zhì)量檢測(cè)】已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于、兩點(diǎn),若以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn),則______.4.【湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考(四)】已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)間的距離與兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離的差為,且橢圓的離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l交C于P?Q兩點(diǎn),試問(wèn):在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使為定值?若存在,求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.5.【河北省張家口市2021屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】橢圓過(guò)點(diǎn),其上?下頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,且直線(xiàn),的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)作兩條直線(xiàn),分別交橢圓C于另一點(diǎn)S,T.若,求證:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).6.【河北省衡水中學(xué)2021屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合測(cè)評(píng)】已知橢圓:()的焦距為,過(guò)左頂點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)和以橢圓的右頂點(diǎn)為圓心,短半軸為半徑的圓相切.(1)求橢圓的方程;(2)若過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)和,分別交橢圓于,兩點(diǎn),問(wèn)軸上是否存在一定點(diǎn),使得成立,若存在,則求出該定點(diǎn),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.7.【云南省昆明市官渡區(qū)2021屆高三上學(xué)期兩校聯(lián)考】已知橢圓的離心率為,其左?右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且,(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線(xiàn)l交橢圓于A,B兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)M,使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)?若存在,求出M的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.8.【江西省部分省級(jí)示范性重點(diǎn)中學(xué)教科研協(xié)作體2021屆高三統(tǒng)一聯(lián)合考試】已知拋物線(xiàn):上有互異三點(diǎn),,.過(guò),,三點(diǎn)做拋物線(xiàn)的切線(xiàn)分別交軸與,,三點(diǎn),記拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為.(1)證明:;(2)若直線(xiàn),,兩兩交于點(diǎn),,.證明:三角形的外接圓過(guò)定點(diǎn),并求出這個(gè)定點(diǎn).9.【江西省南昌市第十中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)若直線(xiàn)l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),直線(xiàn)BM與直線(xiàn)BN的斜率之積為,證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).10.【2021屆上海市崇明區(qū)高三上學(xué)期第一次高考模擬】已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為、,為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)與橢圓的另一交點(diǎn)為,直線(xiàn)與橢圓的另一交點(diǎn)為.(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求以為直徑的圓的方程;(3)求證:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).11.(2021·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高三(理))已知橢圓:(,),離心率為,且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)若橢圓上的任意一點(diǎn)(除短軸的端點(diǎn)外)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn),的連線(xiàn)分別與軸交于,兩點(diǎn),求證為定值.12.(2021·河北滄州市·高三月考)已知橢圓:()的離心率為,且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)直線(xiàn):與橢圓交于,兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)),記直線(xiàn),的斜率分別為,,試判斷是否存在定值,使當(dāng)變化時(shí)總成立?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.13.(2021·貴州貴陽(yáng)市·貴陽(yáng)一中高三月考(理))已知橢圓:的離心率為,且過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)與圓:相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)圓與軸的正半軸交于點(diǎn).已知直線(xiàn)斜率存在且不為0,與橢圓交于,兩點(diǎn),滿(mǎn)足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),證明:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).14.(2021·北京新農(nóng)村中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)(不與坐標(biāo)軸垂直)與橢圓交于、兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.15.(2020·江西省靖安中學(xué)高三月考(文))已知橢圓C:()的左、右頂點(diǎn)分別為、,上、下頂點(diǎn)分別為、,四邊形的面積為,且該四邊形內(nèi)切圓的方程為.(1)求橢圓C的方程;(2)直線(xiàn)l:(k,m均為常數(shù))與橢圓C相交于M,N兩個(gè)不同的點(diǎn)(M,N異于,),若以為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn),試判斷直線(xiàn)l能否過(guò)定點(diǎn)?若能,求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不能,也請(qǐng)說(shuō)明理由.16.(2021·云南昆明市·高三(理))已知拋物線(xiàn):,是坐標(biāo)原點(diǎn),是的焦點(diǎn),是上一點(diǎn),,.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)在上,過(guò)作兩條互相垂直的直線(xiàn),,分別交于,兩點(diǎn)(異于點(diǎn)).證明:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).17.(2021·樂(lè)清市知臨中學(xué)高三月考)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn),直線(xiàn)、分別與直線(xiàn)交于點(diǎn)、(為原點(diǎn)).(1)

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