第43講 巧解圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問題（原卷版）

8/8第43講巧解圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問題【高考地位】圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容和熱點(diǎn)，知識(shí)綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生邏輯思維能力計(jì)算能力等要求很高，這些問題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．定值問題與定點(diǎn)問題是這類題目的典型代表，為了提高同學(xué)們解題效率，特別是高考備考效率，本文列舉了一些典型的定點(diǎn)和定值問題，以起到拋磚引乇的作用．類型一定點(diǎn)問題萬能模板內(nèi)容使用場景求解直線和曲線過定點(diǎn)問題解題模板第一步把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零；第二步參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組；第三步方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)，或者可以通過特例探求；第四步用一般化方法證明.【例1】（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓：，短軸長為，橢圓左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，兩點(diǎn)都在軸上方，且．證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【變式演練1】【河南省鄭州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測】已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求的方程；（2）點(diǎn)在上，且，證明:直線過定點(diǎn).類型二定值問題萬能模板內(nèi)容使用場景解析幾何中的定值問題解題模板求定值問題常見的解題模板有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．【例2】（2021·天津市靜海區(qū)第六中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的方程為，離心率，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過橢圓的左焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且.試探究點(diǎn)到直線的距離是否為定值?若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【變式演練2】【T8聯(lián)考八校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】已知橢圓（）與拋物線有公共的焦點(diǎn)，且拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長為3.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，問是否存在一定點(diǎn)，使得的長度為定值？若存在，則求出點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【高考再現(xiàn)】13．（2021·全國高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.2.【2020年高考山東卷】已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程；（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．3．【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)20】已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與的另一交點(diǎn)為與的另一交點(diǎn)為．（1）求的方程；（2）證明：直線過定點(diǎn)．4.【2017課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).5.【2017課標(biāo)3，文20】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；（2）證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.6.【2016高考北京文數(shù)】（本小題14分）已知橢圓C：過點(diǎn)A（2,0），B（0,1）兩點(diǎn).（=1\*ROMANI）求橢圓C的方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.【反饋練習(xí)】1．【2020年普通高等學(xué)校招生伯樂馬押題考試（三）】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，第一象限的點(diǎn)在拋物線上，延長，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．若，則（）A． B． C． D．2．（多選）【廣東省興寧市第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期末】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在左、右焦點(diǎn)分別為、的雙曲線C上，下列結(jié)論正確的是（）A．雙曲線C的離心率為2 B．當(dāng)P在雙曲線左支時(shí)，的最大值為C．點(diǎn)P到兩漸近線距離之積為定值 D．雙曲線C的漸近線方程為3．【金科大聯(lián)考2020屆高三5月質(zhì)量檢測】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，則______．4．【湖南省長沙市雅禮中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（四）】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓長軸兩個(gè)端點(diǎn)間的距離與兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離的差為，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)作直線l交C于P?Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.5．【河北省張家口市2021屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測】橢圓過點(diǎn)，其上?下頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，且直線，的斜率之積為.（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的左頂點(diǎn)作兩條直線，分別交橢圓C于另一點(diǎn)S，T.若，求證：直線過定點(diǎn).6．【河北省衡水中學(xué)2021屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合測評(píng)】已知橢圓：()的焦距為，過左頂點(diǎn)且斜率為的直線和以橢圓的右頂點(diǎn)為圓心，短半軸為半徑的圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）若過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，問軸上是否存在一定點(diǎn)，使得成立，若存在，則求出該定點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由.7．【云南省昆明市官渡區(qū)2021屆高三上學(xué)期兩校聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且，(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.8．【江西省部分省級(jí)示范性重點(diǎn)中學(xué)教科研協(xié)作體2021屆高三統(tǒng)一聯(lián)合考試】已知拋物線：上有互異三點(diǎn)，，.過，，三點(diǎn)做拋物線的切線分別交軸與，，三點(diǎn)，記拋物線焦點(diǎn)為.（1）證明：；（2）若直線，，兩兩交于點(diǎn)，，.證明：三角形的外接圓過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).9．【江西省南昌市第十中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線BM與直線BN的斜率之積為，證明直線l過定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．10．【2021屆上海市崇明區(qū)高三上學(xué)期第一次高考模擬】已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為、，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為.（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求以為直徑的圓的方程；（3）求證：直線過定點(diǎn).11．（2021·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高三（理））已知橢圓：（，），離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上的任意一點(diǎn)（除短軸的端點(diǎn)外）與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，的連線分別與軸交于，兩點(diǎn)，求證為定值．12．（2021·河北滄州市·高三月考）已知橢圓：（）的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），記直線，的斜率分別為，，試判斷是否存在定值，使當(dāng)變化時(shí)總成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.13．（2021·貴州貴陽市·貴陽一中高三月考（理））已知橢圓：的離心率為，且過橢圓的右焦點(diǎn)有且僅有一條直線與圓：相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)圓與軸的正半軸交于點(diǎn).已知直線斜率存在且不為0，與橢圓交于，兩點(diǎn)，滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：直線過定點(diǎn).14．（2021·北京新農(nóng)村中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為.直線與軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？請(qǐng)說明理由.15．（2020·江西省靖安中學(xué)高三月考（文））已知橢圓C：（）的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為，且該四邊形內(nèi)切圓的方程為．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：（k，m均為常數(shù)）與橢圓C相交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（M，N異于，），若以為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，試判斷直線l能否過定點(diǎn)?若能，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，也請(qǐng)說明理由．16．（2021·云南昆明市·高三（理））已知拋物線：，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，過作兩條互相垂直的直線，，分別交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．證明：直線恒過定點(diǎn)．17．（2021·樂清市知臨中學(xué)高三月考）已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，直線、分別與直線交于點(diǎn)、（為原點(diǎn)）.（1）