第43講 巧解圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題（原卷版）

8/8第43講巧解圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題【高考地位】圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容和熱點(diǎn)，知識(shí)綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生邏輯思維能力計(jì)算能力等要求很高，這些問(wèn)題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．定值問(wèn)題與定點(diǎn)問(wèn)題是這類(lèi)題目的典型代表，為了提高同學(xué)們解題效率，特別是高考備考效率，本文列舉了一些典型的定點(diǎn)和定值問(wèn)題，以起到拋磚引乇的作用．類(lèi)型一定點(diǎn)問(wèn)題萬(wàn)能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景求解直線和曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題解題模板第一步把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零；第二步參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組；第三步方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)，或者可以通過(guò)特例探求；第四步用一般化方法證明.【例1】（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓：，短軸長(zhǎng)為，橢圓左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，兩點(diǎn)都在軸上方，且．證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【變式演練1】【河南省鄭州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)】已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）點(diǎn)在上，且，證明:直線過(guò)定點(diǎn).類(lèi)型二定值問(wèn)題萬(wàn)能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景解析幾何中的定值問(wèn)題解題模板求定值問(wèn)題常見(jiàn)的解題模板有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．【例2】（2021·天津市靜海區(qū)第六中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的方程為，離心率，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且.試探究點(diǎn)到直線的距離是否為定值?若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式演練2】【T8聯(lián)考八校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】已知橢圓（）與拋物線有公共的焦點(diǎn)，且拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，問(wèn)是否存在一定點(diǎn)，使得的長(zhǎng)度為定值？若存在，則求出點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【高考再現(xiàn)】13．（2021·全國(guó)高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.2.【2020年高考山東卷】已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程；（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．3．【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)20】已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與的另一交點(diǎn)為與的另一交點(diǎn)為．（1）求的方程；（2）證明：直線過(guò)定點(diǎn)．4.【2017課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).5.【2017課標(biāo)3，文20】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說(shuō)明理由；（2）證明過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.6.【2016高考北京文數(shù)】（本小題14分）已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)A（2,0），B（0,1）兩點(diǎn).（=1\*ROMANI）求橢圓C的方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.【反饋練習(xí)】1．【2020年普通高等學(xué)校招生伯樂(lè)馬押題考試（三）】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，第一象限的點(diǎn)在拋物線上，延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．若，則（）A． B． C． D．2．（多選）【廣東省興寧市第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期末】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在左、右焦點(diǎn)分別為、的雙曲線C上，下列結(jié)論正確的是（）A．雙曲線C的離心率為2 B．當(dāng)P在雙曲線左支時(shí)，的最大值為C．點(diǎn)P到兩漸近線距離之積為定值 D．雙曲線C的漸近線方程為3．【金科大聯(lián)考2020屆高三5月質(zhì)量檢測(cè)】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，則______．4．【湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（四）】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)間的距離與兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離的差為，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線l交C于P?Q兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．【河北省張家口市2021屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】橢圓過(guò)點(diǎn)，其上?下頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，且直線，的斜率之積為.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)作兩條直線，分別交橢圓C于另一點(diǎn)S，T.若，求證：直線過(guò)定點(diǎn).6．【河北省衡水中學(xué)2021屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合測(cè)評(píng)】已知橢圓：()的焦距為，過(guò)左頂點(diǎn)且斜率為的直線和以橢圓的右頂點(diǎn)為圓心，短半軸為半徑的圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，問(wèn)軸上是否存在一定點(diǎn)，使得成立，若存在，則求出該定點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.7．【云南省昆明市官渡區(qū)2021屆高三上學(xué)期兩校聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且，(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.8．【江西省部分省級(jí)示范性重點(diǎn)中學(xué)教科研協(xié)作體2021屆高三統(tǒng)一聯(lián)合考試】已知拋物線：上有互異三點(diǎn)，，.過(guò)，，三點(diǎn)做拋物線的切線分別交軸與，，三點(diǎn)，記拋物線焦點(diǎn)為.（1）證明：；（2）若直線，，兩兩交于點(diǎn)，，.證明：三角形的外接圓過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).9．【江西省南昌市第十中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線BM與直線BN的斜率之積為，證明直線l過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．10．【2021屆上海市崇明區(qū)高三上學(xué)期第一次高考模擬】已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為、，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為.（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求以為直徑的圓的方程；（3）求證：直線過(guò)定點(diǎn).11．（2021·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高三（理））已知橢圓：（，），離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上的任意一點(diǎn)（除短軸的端點(diǎn)外）與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，的連線分別與軸交于，兩點(diǎn)，求證為定值．12．（2021·河北滄州市·高三月考）已知橢圓：（）的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），記直線，的斜率分別為，，試判斷是否存在定值，使當(dāng)變化時(shí)總成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.13．（2021·貴州貴陽(yáng)市·貴陽(yáng)一中高三月考（理））已知橢圓：的離心率為，且過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)有且僅有一條直線與圓：相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)圓與軸的正半軸交于點(diǎn).已知直線斜率存在且不為0，與橢圓交于，兩點(diǎn)，滿(mǎn)足(為坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：直線過(guò)定點(diǎn).14．（2021·北京新農(nóng)村中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.直線與軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.15．（2020·江西省靖安中學(xué)高三月考（文））已知橢圓C：（）的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為，且該四邊形內(nèi)切圓的方程為．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：（k，m均為常數(shù)）與橢圓C相交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（M，N異于，），若以為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，試判斷直線l能否過(guò)定點(diǎn)?若能，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，也請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（2021·云南昆明市·高三（理））已知拋物線：，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，過(guò)作兩條互相垂直的直線，，分別交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．17．（2021·樂(lè)清市知臨中學(xué)高三月考）已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，直線、分別與直線交于點(diǎn)、（為原點(diǎn)）.（1）