2022高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)推理證明復(fù)數(shù)算法框圖

推理證明、復(fù)數(shù)、算法框圖【考綱解讀】1.理解復(fù)數(shù)的基本概念;理解復(fù)數(shù)相等的充要條件;了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．2.會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算．②了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義．3.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．4.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理．5.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．6.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點．7.了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點．(理科)8.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．9.了解算法的含義，了解算法的思想;理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)．10.理解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的含義．【考點預(yù)測】今年高考對本部分知識的命題主要有以下兩個方面：1.復(fù)數(shù)與算法框圖是歷年高考的熱點內(nèi)容，考查方式主要在客觀題中出現(xiàn)，一般只有一個選擇或填空，考查復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識、算法框圖以循環(huán)結(jié)構(gòu)為主，難度較低。2.推理證明也是高考的一個重點內(nèi)容，考查方式多樣，在客觀題中主要考查合情推理中的歸納與類比，證明題目多以解答題的一個分支出現(xiàn)，常與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識結(jié)合，理科可能考查數(shù)學(xué)歸納法，難度較高，將繼續(xù)強調(diào)考查邏輯推理、歸納等能力?！疽c梳理】1.合情推理與演繹推理：合情推理包括歸納與類比，明確演繹推理的三個模式（大前提、小前提、結(jié)論）.2.直接證明與間接證明:直接證明包括分析法(執(zhí)果索因)與綜合法(執(zhí)因索果);常用的間接證明方法是反證法,反證法主要用于證明唯一性與否定性命題,其主要步驟是否定結(jié)論、證明、得出矛盾、肯定結(jié)論.3.(理科)數(shù)學(xué)歸納法:用來證明與自然數(shù)有關(guān)的等式、不等式、整除及幾何等問題。證明時，特別注意第二步，要弄清式子的構(gòu)成規(guī)律，充分利用題目中的條件和假設(shè)，適當(dāng)變形。4.復(fù)數(shù):掌握復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)相等、模、幾何意義、復(fù)數(shù)的四則運算?！究键c在線】考點一推理例1.(2022年高考江西卷理科7)觀察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，則的末四位數(shù)字為()A．3125B．5625C．0625【答案】D【解析】觀察發(fā)現(xiàn)冪指數(shù)是奇數(shù)的,結(jié)果后三位數(shù)字為125,故排除B、C選項;而,故A也不正確,所以選D.【名師點睛】本題考查合情推理中的歸納推理.【備考提示】：推理分為合情推理與演繹推理,都是高考的重點內(nèi)容之一,必須熟練其模式.練習(xí)1:(2022年高考山東卷理科15)設(shè)函數(shù),觀察:根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)且時，.【答案】【解析】觀察知:四個等式等號右邊的分母為,即,所以歸納出分母為的分母為,故當(dāng)且時，.考點二間接證明與直接證明例2.(2022年高考安徽卷理科19)（Ⅰ）設(shè)證明，（Ⅱ），證明.【證明】(Ⅰ)由于，所以要證明：只要證明：只要證明：只要證明：只要證明：由于，上式顯然成立，所以原命題成立。（Ⅱ）設(shè)，，由換底公式得，，，，故要證：只要證明：，其中，由(Ⅰ)知所要證明的不等式成立?！久麕燑c睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)換底公式等基本知識，考查代數(shù)式恒定變形能力和推理論證能力,用的分析法證明的。第二問的處理很有藝術(shù)性，借助第一問題的結(jié)論巧妙地解決了，這也是一題多問的問題解決常規(guī)思路，前面的問題結(jié)論對后面問題解決常常有提示作用?！緜淇继崾尽浚鹤C明不等式常規(guī)的方法有分析法，綜合法，作差法和作商法，無論哪種方法不等式性質(zhì)和代數(shù)式恒定變形是處理這類問題的關(guān)鍵。練習(xí)2:(2022年高考廣東卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式；(2)證明：對于一切正整數(shù)n,.【解析】（1）由 令， 當(dāng) ①當(dāng)時， ②當(dāng) （2）當(dāng)時，（欲證） ， 當(dāng) 綜上所述(理科)考點三數(shù)學(xué)歸納法例3.(2022年高考湖南卷理科22)已知函數(shù)求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由；設(shè)數(shù)列滿足證明：存在常數(shù)使得對于任意的都有【解析】由知，，而且，，則為的一個零點，且在內(nèi)由零點，因此至少有兩個零點.由，記則當(dāng)時，因此在上單調(diào)遞增，則在上至多有一個零點，從而在上至多有一個零點.綜上所述，有且只有兩個零點.記的正零點為，即（1）當(dāng)時，由得，而，因此.由此猜測：.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時，顯然成立，②假設(shè)當(dāng)時，成立，則當(dāng)時，由知因此，當(dāng)時，成立故對任意的成立（2）當(dāng)時，由知在上單調(diào)遞增，則，即，從而，即.由此猜測：，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時，顯然成立，②假設(shè)當(dāng)時，成立，則當(dāng)時，由知因此，當(dāng)時，成立故對任意的成立綜上所述，存在常數(shù)使得對于任意的都有【名師點睛】本大題綜合考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等數(shù)學(xué)知識和方法以及數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等證明方法的靈活運用.突出考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題、解決問題的能力.【備考提示】：數(shù)學(xué)歸納法是理科考查的內(nèi)容之一，要熟練其證明模式，特別是在步驟以及容易出錯的地方加以注意。練習(xí)3：（2022年高考江蘇卷試題23）已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)。求證cosA是有理數(shù)；（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)?！窘馕觥浚ǚ椒ㄒ唬?）證明：設(shè)三邊長分別為，，∵是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。（2）①當(dāng)時，顯然cosA是有理數(shù)；當(dāng)時，∵，因為cosA是有理數(shù)，∴也是有理數(shù)；②假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。當(dāng)時，，，，解得：∵cosA，，均是有理數(shù)，∴是有理數(shù)，∴是有理數(shù)。即當(dāng)時，結(jié)論成立。綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。（方法二）證明：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知是有理數(shù)。（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)。①當(dāng)時，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。②假設(shè)當(dāng)時，和都是有理數(shù)。當(dāng)時，由，，及①和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù)。即當(dāng)時，結(jié)論成立。綜合①、②可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)?？键c四復(fù)數(shù)例4.(2022年高考安徽卷理科1)設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a為()（A）2(B)2(C)(D)【答案】A.【解析】設(shè)，則，所以.故選A.【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算，屬簡單題.【備考提示】：復(fù)數(shù)是高考的熱點內(nèi)容，年年必考，以選擇或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)相等、幾何意義以及復(fù)數(shù)的四則運算，熟練基礎(chǔ)知識是解決本類問題的關(guān)鍵.練習(xí)4：(2022年高考山東卷理科2)復(fù)數(shù)z=(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限為（）（A）第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】D【解析】因為,故復(fù)數(shù)z對應(yīng)點在第四象限,選D.考點五算法框圖例5.(2022年高考全國新課標(biāo)卷理科3)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的是（）A120B720C1440D5040【答案】B【解析】按照算法的程序化思想，有程序框圖執(zhí)行下面的計算可得：，此時，按終止條件結(jié)束，輸出?！久麕燑c睛】本題考查算法的程序化思想、算法框圖的結(jié)構(gòu)、功能、邏輯思維能力和運算能力。注意理解和把握?！緜淇继崾尽浚嚎驁D仍然是高考的一個熱點，在高考中，一個般一個選擇或填空題，難度不大，大多與數(shù)列或不等式等知識結(jié)合起來命題，故熟練其基礎(chǔ)知識是解決本類問題的關(guān)鍵.練習(xí)5：(2022年高考遼寧卷理科6)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的n是4，則輸出的P是（）(A)8(B)5(C)3(D)2【答案】C【解析】第一次執(zhí)行結(jié)果：p=1,s=1,t=1,k=2;第二次執(zhí)行結(jié)果：p=2,s=1,t=2,k=3;第三次執(zhí)行結(jié)果：p=3,s=2,t=3,k=4;結(jié)束循環(huán)，輸出p的值4.【考題回放】1.(2022年高考天津卷理科1)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因為，故選A.2.(2022年高考浙江卷理科2)把復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作，若，為虛數(shù)單位，則=（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】故選A3．(2022年高考廣東卷理科1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2，其中i為虛數(shù)單位，則Z=（）A．1+iB．1-iC．2+2iD．2-2i【答案】B【解析】由題得所以選B.4.(2022年高考遼寧卷理科1)a為正實數(shù)，i為虛數(shù)單位，，則a=（）（A）2（B）(C)(D)1【答案】B【解析】,a>0,故a=.5.(2022年高考全國新課標(biāo)卷理科1)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）ABCD;【答案】C【解析】因為=，所以，共軛復(fù)數(shù)為，選C。6.(2022年高考江西卷理科1)若，則復(fù)數(shù)（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因為=，所以復(fù)數(shù),選D.7．(2022年高考湖北卷理科1)i為虛數(shù)單位，則=（）A.－i B.－1 【答案】A【解析】因為,故所以選A.8．(2022年高考陜西卷理科7)設(shè)集合，則為（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】：由即由得即故選C。9.(2022年高考重慶卷理科1)復(fù)數(shù)（）（A）(B)(C)(D)【答案】B【解析】。10．(2022年高考四川卷理科2)復(fù)數(shù)=()(A)（B）（C）0（D）【答案】A【解析】11.(2022年高考全國卷理科1)復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，-=1+1-1--1=，故選B12.(2022年高考陜西卷理科8)右圖中，為某次考試三個評閱人對同一道題的獨立評分，為該題的最終得分，當(dāng)，時等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】：,由得，故選C。13.(2022年高考江西卷理科13)下圖是某算法的程序框圖，則程序運行后輸出的結(jié)果是?！敬鸢浮?0【解析】當(dāng)n=1時,計算出的;當(dāng)n=2時,計算出的;當(dāng)n=3時,計算出的;當(dāng)n=4時,計算出的,此時輸出s=10.14．(2022年高考陜西卷理科13)觀察下列等式照此規(guī)律，第個等式為【答案】【解析】：第個等式是首項為，公差1，項數(shù)為的等差數(shù)列，即15.(2022年高考安徽卷理科15)在平面直角坐標(biāo)系中，如果與都是整數(shù)，就稱點為整點，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）.①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點②如果與都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點③直線經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過兩個不同的整點④直線經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：與都是有理數(shù)⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線【答案】①③⑤【解析】①正確，令滿足①；②錯誤，若，過整點（－1,0）；③正確，設(shè)是過原點的直線，若此直線過兩個整點，則有，，兩式相減得，則點也在直線上，通過這種方法可以得到直線經(jīng)過無窮多個整點，通過上下平移得對于也成立；④錯誤，當(dāng)與都是有理數(shù)時，令顯然不過任何整點；⑤正確.如：直線恰過一個整點16.(2022年高考湖南卷理科16)對于，將表示為，當(dāng)時，，當(dāng)時，為或.記為上述表示中為的個數(shù)（例如：，，故，），則（1）；（2）.【答案】2;1093【解析】（1）由題意知，所以2；（2）通過例舉可知：，，，，，，，，且相鄰之間的整數(shù)的個數(shù)有0，1，3，7，15，31，63.它們正好滿足“楊輝三角”中的規(guī)律：從而.17.(2022年高考全國卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足且（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設(shè)【解析】（Ⅰ）由得，前項為，（Ⅱ）18．(2022年高考北京卷理科20)若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=． （Ⅰ）寫出一個滿足，且〉0的數(shù)列； （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2022； （Ⅲ）對任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由?！窘馕觥浚á瘢?，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5）（Ⅱ）必要性：因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以.所以A5是首項為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2022.充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1……a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因為a1=12，a2000=2022, 所以a2000=a1+1999. 故是遞增數(shù)列. 綜上，結(jié)論得證。 （Ⅲ）令 因為 …… 所以因為所以為偶數(shù),所以要使為偶數(shù),即4整除.當(dāng)時，有當(dāng)?shù)捻棟M足，當(dāng)不能被4整除，此時不存在E數(shù)列An，使得【高考沖策演練】一、選擇題：1.（2022年高考山東卷理科2）已知（a,b∈R），其中i為虛數(shù)單位，則a+b=（）(A)-1(B)1(C)2(D)3【答案】B【解析】由得,所以由復(fù)數(shù)相等的意義知:,所以1,故選B.2．（2022年高考全國卷I理科1）復(fù)數(shù)（）(A)i(B)(C)12-13(D)12+13【答案】A【解析】.3．（2022年高考福建卷理科9）對于復(fù)數(shù),若集合具有性質(zhì)“對任意,必有”,則當(dāng)時,等于()B.-1C.0D.【答案】B【解析】由題意，可取，所以，選B。4．（2022年高考安徽卷理科1）是虛數(shù)單位，（）A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，選B.5.(2022年高考天津卷理科1)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）（A）1+i（B）5+5i（C）-5-5i（D）-1-i【答案】A【解析】，故選A。6．（2022年高考廣東卷理科2）若復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=3-i，則z1·z2=（）A．4+2iB.2+iC.2+2i【答案】A【解析】。7．（2022年高考四川卷理科1）i是虛數(shù)單位，計算i＋i2＋i3＝（）（A）－1（B）1（C）（D）【答案】A【解析】由復(fù)數(shù)性質(zhì)知：i2＝－1，故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1。8.(2022年全國高考寧夏卷2）已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則=（）A.B.【答案】A【解析】，所以．9．（2022年高考浙江卷理科第6題）某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的k的值是（）（A）4（B）5（C）6（D）7【答案】A【解析】對于，而對于，則，后面是，不符合條件時輸出的．10.（2022年高考福建卷理科第6題）閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（）A．2B.4C.8D.16【答案】：C【解析】由算法程序圖可知，在n=4前均執(zhí)行”否”命令，故n=2×4=8.故選C11．（2022年高考天津卷理科第5題）閱讀右圖的程序框圖，則輸出的S=（）A26B35C40D57【答案】C12．(安徽省淮南市2022屆高三第一次模擬考試文科)若將復(fù)數(shù)表示為（，是虛數(shù)單位）的形式，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，則二．填空題：13．（2022年高考北京卷理科9）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為?！敬鸢浮浚?1，1）【解析】因為=，故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（-1，1）。14．（2022年高考上海市理科2）若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則?！敬鸢浮?-2i【解析】因為,所以6-2i.15.(2022年高考重慶市理科11)已知復(fù)數(shù)，則____________．【答案】-2i【解析】.16．(2022年高考安徽卷江蘇4)根據(jù)如圖所示的偽代碼，當(dāng)輸入分別為2，3時，最后輸出的m的值是________。Reada，bIfa>bThenmaElsembEndIfPrintm【答案】3【解析】因為輸入分別為2，3,所以a<b,故m=3.三．解答題：17．(2022年高考上海卷理科19)（12分）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的虛部為，是實數(shù)，求?！窘馕觥俊?分）設(shè)，則，………………（12分）∵，∴………………（12分）18.(上海市普陀區(qū)2022年4月高三質(zhì)量調(diào)研)已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)，試確定一個以為根的實系數(shù)一元二次方程.【解析】因為，得，所以.若實系數(shù)一元二次方程有虛根，則必有共軛虛根，因為，，故所求的一個一元二次方程可以是.19.(北京市西城區(qū)2022年高三一模試題文科)將這個數(shù)隨機排成一列，得到的一列數(shù)稱為的一個排列.定義為排列的波動強度.（Ⅰ）當(dāng)時，寫出排列的所有可能情況及所對應(yīng)的波動強度；（Ⅱ）當(dāng)時，求的最大值，并指出所對應(yīng)的一個排列；（Ⅲ）當(dāng)時，在一個排列中交換相鄰兩數(shù)的位置稱為一次調(diào)整，若要求每次調(diào)整時波動強度不增加，問對任意排列，是否一定可以經(jīng)過有限次調(diào)整使其波動強度降為9；若可以，給出調(diào)整方案，若不可以，請給出反例并加以說明.【解析】（Ⅰ）時，排列的所有可能為；；；；；.……………2分；；；；；.……………4分（Ⅱ）上式轉(zhuǎn)化為，在上述個中，有個選正號，個選負號，其中出現(xiàn)一次，各出現(xiàn)兩次.………………6分所以可以表示為個數(shù)的和減去個數(shù)的和的形式，若使最大，應(yīng)使第一個和最大，第二個和最小.所以最大為：.………8分所對應(yīng)的一個排列為：.（其他正確的排列同等給分）…9分（Ⅲ）不可以.例如排列，除調(diào)整外，其它調(diào)整都將使波動強度增加，調(diào)整波動強度不變.……………11分所以只能將排列調(diào)整為排列.對于排列，仍然是除調(diào)整外，其它調(diào)整都將使波動強度增加，所以仍只能調(diào)整兩個數(shù)字.如此不斷循環(huán)下去，不可能經(jīng)過有限次調(diào)整使其波動強度降為.………13分20．(北京市懷柔區(qū)2022年3月高三第二學(xué)期適應(yīng)性練習(xí)理科)已知集合，其中，表示和中所有不同值的個數(shù)．（Ⅰ）設(shè)集合，，分別求和；（Ⅱ）若集合，求證：；（Ⅲ）是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由？【解析】（Ⅰ）由得.由得.---------------------------------------------------5分（Ⅱ）證明：因為最多有個值，所以又集合，任取當(dāng)時,不妨設(shè)，則，即.當(dāng)時，.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時