滬教版培優(yōu)七年級(jí)數(shù)學(xué)暑假同步講義第1講字母表示數(shù)、代數(shù)式及代數(shù)式的值(解析版)

字母表示數(shù)、代數(shù)式及代數(shù)式的值內(nèi)容分析字母表示數(shù)、代數(shù)式及代數(shù)式的值是七年級(jí)第一學(xué)期第九章第一節(jié)內(nèi)容．在人類發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，先有量，再有數(shù)，從量到數(shù)是人類認(rèn)識(shí)上的第一次飛躍，并由此產(chǎn)生了算數(shù)的理論．隨著生產(chǎn)的發(fā)展，用數(shù)來(lái)表達(dá)數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律就顯得無(wú)能為力于是必然引起數(shù)學(xué)史上的第二次抽象，即用字母表示數(shù)．有了字母表示數(shù)，代數(shù)式、方程出現(xiàn)了，數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì)、定律、法則、運(yùn)算定律等也能用字母公式簡(jiǎn)潔表達(dá)出來(lái)．“代數(shù)式的值“是字母表示數(shù)之后的后續(xù)內(nèi)容，又可貫穿于初中代數(shù)學(xué)習(xí)的始終．所以，通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生更好的理解代數(shù)的核心問(wèn)題——字母表示數(shù)、代數(shù)式的概，念也能讓學(xué)生為將來(lái)的函數(shù)學(xué)習(xí)作一個(gè)鋪墊．知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊一：字母表示數(shù)知識(shí)精講1、字母表示數(shù)要注意的幾點(diǎn)：數(shù)字與字母及字母與字母的乘號(hào)要省略；除法運(yùn)算要用分?jǐn)?shù)線來(lái)表示；數(shù)學(xué)應(yīng)寫(xiě)在字母的前面，當(dāng)字母前的數(shù)字是1的時(shí)候應(yīng)省略不寫(xiě)（當(dāng)字母前的數(shù)字是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，一定要帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)；主體為和的形式，后面有單位需加括號(hào)；注意：字母可以表示任意的數(shù)，也可以表示特定意義的公式，還可以表示符合條件的某一個(gè)數(shù)，甚至可以表示具有某些規(guī)律的數(shù)，總之字母可以簡(jiǎn)明地將數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)．2、代數(shù)式：用運(yùn)算符合和括號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式．注意：?jiǎn)为?dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式．用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值．若結(jié)果中有多個(gè)字母，習(xí)慣上按26個(gè)字母的先后順序．例題解析【例1】x表示一個(gè)兩位數(shù)，y表示一個(gè)兩位數(shù)，把x放在y的左面，末位再添上1得到一個(gè)五位數(shù)，求這個(gè)五位數(shù)等于多少？【答案】1000x+10y+1．【解析】考查代數(shù)式的表示．【例2】如下圖是小明用火柴搭的1條、2條、3條“金魚(yú)“……，則搭n條“金魚(yú)“需要火柴多少根？1條2條3條【答案】6n+2．【解析】由題意得：當(dāng)n=1時(shí)，8條；當(dāng)n=2時(shí)，8+6條；當(dāng)n=3時(shí)，8+6+6條；……n，8+6(n-1)=6n+2．【總結(jié)】本題主要考查找規(guī)律的運(yùn)用．【例3】如圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)xyyx4xy（n是正整數(shù)）個(gè)圖案中由_________個(gè)基礎(chǔ)圖基礎(chǔ)圖形組成，……，第形組成．……（3）（1）（2）2/15【答案】3n+1當(dāng)n=2時(shí)，3+3+1個(gè)基本圖形；當(dāng)n=3時(shí)，3+3+3+1個(gè)基本圖形；……n,【例4】下列圖案是晉商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗紙上所貼的剪紙，則第n個(gè)【答案】3n+2n=1時(shí)，【例5】某城市固定電話的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：三分鐘以內(nèi)（不足三分鐘按三分鐘計(jì)算）收0.22元，以后每分鐘收0.11元，請(qǐng)寫(xiě)出通話時(shí)間t分鐘應(yīng)交的電話費(fèi)？0.22（0t3)．【解析】三分鐘以內(nèi)收費(fèi)都是0.22元；大于三分鐘的部分為0.11（t-3)+0.22=0.11t-0.11．模塊二：代數(shù)式知識(shí)精講1、代數(shù)式的概念：代數(shù)式是用運(yùn)算符號(hào)把表示數(shù)的字母連接而成的式子．注：①單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式；②“=”不是運(yùn)算符號(hào)，不能將等式與代數(shù)式混淆）2、列代數(shù)式①抓住關(guān)鍵性詞語(yǔ)，如“大“、“小“、“多“、“少“、“和“、“差“、“積“、“商“、“倍“、“分“等．②理清運(yùn)算順序．對(duì)于一些數(shù)量關(guān)系的運(yùn)算順序，一般是先說(shuō)的運(yùn)算在前，后說(shuō)的運(yùn)算在后．③正確使用括號(hào)．一般地，列代數(shù)式時(shí)，若先說(shuō)低級(jí)運(yùn)算，再說(shuō)高級(jí)運(yùn)算，則必須使用括號(hào)；若相反則不需使用括號(hào)．④正確利用“的”、“與”劃分句子層次．“的”字一般表示從屬關(guān)系，“與”字一般表示并列關(guān)系．例題解析【例6】下列各式（1）x6；（4）0；，哪些是代數(shù)式？（2）a2bba2；（3）4x17；（5）2x；（6）4a30；3（7）26；（8）8m2n0；（9）a22ab4b2；312（10）4m2m；（11）ab2a2b1；（12）168xxcm2．24【答案】(1)、(4)、(5)、(7)、(9)、(10)、(11)．【解析】代數(shù)式是指用運(yùn)算符號(hào)把表示數(shù)的字母連接而成的式子．【總結(jié)】本題主要考查代數(shù)式的概念，注對(duì)意（12）的準(zhǔn)確理解，代數(shù)式是不帶單位的．師生總結(jié)1、等式、不等式、代數(shù)式有何區(qū)別？2、初中的代數(shù)式分成哪幾種？【例7】說(shuō)出下列各小題中兩個(gè)代數(shù)式的意義，并說(shuō)明兩個(gè)代數(shù)式的意義有何不同？（1）2x3與2x3；（2）1m與1m；55aba111（3）7與；（4）與．a(chǎn)babb7【答案】(1)第一個(gè)表示x的2倍與3的差，第二個(gè)表示：x與3的差的2倍；115（2）第一個(gè)表示：m的，第二個(gè)表示：與m的和；54/15a（3）第一個(gè)表示：與7的差，第二個(gè)表示a與b-7的商；b（4）第一個(gè)表示：a與b的和的倒數(shù)，第二個(gè)表示：a的倒數(shù)和b的倒數(shù)的和.【總結(jié)】本題主要考查的是代數(shù)式的意義，屬于基礎(chǔ)題型．【例8】填空題：（1）2000元人民幣存入銀行，定期2年，年利率k，扣除20%的利息稅后，到期取得本利和元．（2）一種商品進(jìn)價(jià)為每件a元，按進(jìn)價(jià)增加25%出售，則售價(jià)是元；后因庫(kù)元．存積壓降價(jià)，按售價(jià)的九折出售，則此時(shí)的售價(jià)為元，每件還盈利（3）某市去年GDP為180億，今年比去年增加x%，今年該市的GDP是___________．【答案】（1）20003200k；（2）54a，9a，；（3）180（1+x%)．a(chǎn)88【解析】（1）本利和為：200020002k(120%)20003200k；55a90%a，盈利：9aa1a．9（2）售價(jià)為：a(125%)a，此時(shí)的售價(jià)為：44888（3）180(1x%)．【總結(jié)】本題主要考查代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)．【例9】某商品的原價(jià)為100元，連續(xù)經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)一次提價(jià)，且每次降價(jià)、提價(jià)的百分比都是m，那么該商品現(xiàn)在的價(jià)格是多少元？【答案】1001（m)2(1m)．【解析】原價(jià)是100，第一次降價(jià)后價(jià)格為100（1-m)，第二次降價(jià)價(jià)格為1001（-m)2，第三次是提價(jià)m，價(jià)格為1001（m)2(1m)．【總結(jié)】本題主要考查降價(jià)以及提價(jià)的運(yùn)用．【例10】甲、乙兩地之間的公路全長(zhǎng)為100千米，某人從甲到地乙每地小時(shí)走m千米．（1）某人從甲到地乙地需要走多少個(gè)小時(shí)？（地需要走多少個(gè)小時(shí)？（3）速度變化后，某人從甲到地乙比地原來(lái)少用了多少個(gè)小時(shí)？1001002）如果每小時(shí)多走2千米，某人從甲到地乙100100m2【答案】（1）；（2）；（3）-．mm2m【解析】速度=路程÷時(shí)間．【總結(jié)】本題主要考查利用路程與時(shí)間的關(guān)系書(shū)寫(xiě)代數(shù)式．【例11】如圖（1）是一個(gè)三角形，分別連結(jié)這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)得到圖（2），再分別連3），按此繼續(xù)下去，請(qǐng)你根據(jù)每個(gè)圖結(jié)圖（2）中間的小三角形三邊的中點(diǎn)，得到圖（形中的三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律，完成下列問(wèn)題．（1）將下表填寫(xiě)完整圖型編號(hào)123三角形個(gè)數(shù)15945…………（2）在第n個(gè)圖形中有_____個(gè)三角形（用含n的式子表示）（1）1）13，17；（2）43．（2）（3）【答案】（n【解析】這是一道找規(guī)律的題目由題意可以依次類推出當(dāng)?shù)趎個(gè)圖形時(shí)，圖形中所含有的三角形的個(gè)數(shù)為4n3個(gè)．【例12】下列是由同型號(hào)黑白兩種顏色的正三角形瓷磚按一定規(guī)律鋪設(shè)的圖形．仔細(xì)觀察(11)1；圖②有3塊黑色的圖形可知：圖①有1塊黑色的瓷磚，可表示為1瓷磚，2(12)2；圖③有6塊黑色的123(13)3；2可表示為12瓷磚，可表示為2實(shí)踐與探索：（1）請(qǐng)?jiān)趫D④的虛線框內(nèi)畫(huà)出第4個(gè)圖形；（只須畫(huà)出草圖）（2）第10個(gè)圖形有_______塊黑色的瓷磚；（直接填寫(xiě)結(jié)果）第n個(gè)圖形有_______塊黑色的瓷磚．（用含n的代數(shù)式表示）圖①【答案】(1)如圖所示．（2）1+2+3+4+5+......+10=55；圖②圖③圖④1+2+3+....+n=1(1)(．nn為正整數(shù)）n26/15模塊三：代數(shù)式的值知識(shí)精講1.代數(shù)式的值：用數(shù)字代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的記過(guò)叫做代數(shù)式的值．第一步：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母．第二步：按照代數(shù)式指明的運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果．例題解析【例13】已知：2x1y10，求多項(xiàng)式3xy2x2y22xy3xyxy的值．22【答案】12．【解析】由題意得x1，y1，原多項(xiàng)式=4x2y2xy=12．2【總結(jié)】本題一方面考查絕對(duì)值的性質(zhì)，另一方面考查代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值．【例14】如果代數(shù)式ab的值為3，3b4的值是2，那么代數(shù)式4a7b2的值是多少？【答案】16．a(chǎn)b3【解析】由題意，可得：3b42a1，解得：b2，所以4a7b216．【總結(jié)】本題主要考查利用方程的思想求出代數(shù)式的值．a(chǎn)、b的值，從而求出，則【例15】已知：x2x10【答案】2003．x32x22002的值是多少？x1，【解析】由題意可知x2xx3x2x22002x(x2x)x22002x220022003．【總結(jié)】本題主要考查整體代入思想的運(yùn)用．【例16】已知a4，b2，abab，求的值．a(chǎn)b【答案】2或6．【解析】當(dāng)a4，b2時(shí)，ab2；當(dāng)a4，b2時(shí)，ab6．【總結(jié)】本題一方面考查代數(shù)式的求值．由題意可得：a4，b2，ab0，所以：a4，b2．絕對(duì)值的性質(zhì)，另一方面考查【例17】小明同學(xué)在課外碰到了這樣一道題，計(jì)算6x43y5的值，其中x2，y3．小明一時(shí)粗心，把x2錯(cuò)寫(xiě)成x2，但他發(fā)現(xiàn)自己的，你知道這是為什么嗎？小明計(jì)算的結(jié)果是多少？【答案】因?yàn)閤的指數(shù)是偶數(shù)，互為相反數(shù)的值是相同的，計(jì)算的結(jié)果是-100．【解析】-6（-2）4-335-100．偶次冪的性質(zhì)．計(jì)算結(jié)果也是正確的偶數(shù)次冪的【總結(jié)】本題主要考查負(fù)數(shù)的2【例18】已知：關(guān)于x的二次多項(xiàng)式ax3x23xb2xxx35，當(dāng)x2時(shí)的值為17，求【答案】-1．原多項(xiàng)式可以化簡(jiǎn)為：（a1)x3(2ba)x2(3ab)x5，因?yàn)樵摱囗?xiàng)式為二次多當(dāng)x2時(shí)，該多項(xiàng)式的值．【解析】項(xiàng)式，則a+1=0，即a1．當(dāng)x=2時(shí)，多項(xiàng)式的值為-17，即4(2b1)2(3b)517，所以b1，所以當(dāng)x2時(shí)，原式(21)(2)2(31)(2)51．8/15【總結(jié)】本題主要考查求多項(xiàng)式的值的方法．xyaxbx5cx3dxe，其中，，，，為常數(shù)，當(dāng)2時(shí)，；abcde7xe3527a25b23c2de，x將兩式相加，可得：20】已知：2x1ax5ax4ax3ax2axa，求：553210（1）aaaaaa；01234；0234021351）1；（2）3；（3）．52【解析】（x（2）將x1代入原代數(shù)式即可；（3）將（1）、（2）兩式相加除以2即可得出結(jié)果．1）將1代入原代數(shù)式即可；【總結(jié)】本題主要考查代數(shù)式的求值，注意系數(shù)的變化．隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】說(shuō)出下列代數(shù)式的意義：（1）a2b2；（2）(ab)2；（3）ab2；（4）a(bc)．【答案】（1）、兩數(shù)的平方和；（2）a、b兩數(shù)和的平方；ab（）a與b的平方的差；3（4）a與b、c兩個(gè)數(shù)的和的差．【解析】考查的是代數(shù)式的意義．【習(xí)題2】當(dāng)a4，b12時(shí)，求代數(shù)式a2b的值．4【答案】13．b1216313．【解析】a42244【總結(jié)】本題主要考查代數(shù)式的求值．【習(xí)題3】已知a為3的倒數(shù)，b為最大的負(fù)整數(shù)，求代數(shù)式ab22ab3的值．37【答案】．91，b1，（ab)22ab3a2b2337【解析】由題意，可得：．a(chǎn)39【總結(jié)】本題一方面考查倒數(shù)的概念，另一方面考查代數(shù)式的求值．1【習(xí)題4】若x2x20，求x2xx的值．2x3【答案】．21x2x213．22x【解析】由題意，得：x2x2，則x2【總結(jié)】本題主要考查整體代入思想的運(yùn)用．【習(xí)題5】如圖所示，圖中正方形部分的邊長(zhǎng)為x，長(zhǎng)方形部分的長(zhǎng)為a．（1）用關(guān)于a、b的代數(shù)式表示整個(gè)圖形的面積；（2）當(dāng)a8，x16時(shí)，求整個(gè)圖形的面積．【答案】（1）xxa；（2）384．2【解析】（（2）將a8，x16時(shí)代入x2xa，可得：x2xa=384．【總結(jié)】1）整個(gè)圖形的面積為（xa)xx2ax；本題一方面考查利用字母表示圖形的面積，另一方面考查代數(shù)式的求值．10/15ac(bc)cacbcc2．【解析】鋼條的截面面積為：【習(xí)題7】為了美化校園，學(xué)校決定修建一塊長(zhǎng)方形草坪，長(zhǎng)50米，寬30米，并在草坪（1）修建的小路面積為多少平方米；（2）草坪的面積是多少平方米．8】按圖所示的方法搭正方形，搭個(gè)正方形需要多少根火柴棒？x31．x【解析】當(dāng)x=1時(shí)，需要4+3×0=4根火柴棒；當(dāng)x=2時(shí)，需要4+3×1=7根火柴棒；當(dāng)x=3時(shí)，需要4+3×2=10根火柴棒；當(dāng)x=4時(shí)，......當(dāng)x個(gè)正方形時(shí)，需要4+3×（x-1)=3x+1根火柴棒.【總結(jié)】本題主要考查找規(guī)律問(wèn)題．【習(xí)題9】如圖，由若干盆花擺成圖案，每個(gè)點(diǎn)表示一盆花，幾何圖形的每條邊上（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）都擺有nn3盆花，每個(gè)圖案中花盆總數(shù)為S，按照?qǐng)D中的規(guī)律可以推斷S與nn3的關(guān)系？n5,S20n3,S6n4,S12【答案】n(n1)．n3時(shí)，S3×2=6；【解析】當(dāng)12當(dāng)n4時(shí)，S4×3；當(dāng)n5時(shí)，S4×520；....S=n(n1)n3．【總結(jié)】這是找規(guī)律的題目，是近年來(lái)的考試熱點(diǎn)．【習(xí)題10】已知：ab2004，bc2005，cd2007，acbd則=_____________．a(chǎn)d1【答案】．1003，，【解析】∵ab2004bc2005cd2007，∴(ab)(bc)2004(2005)，(bc)(cd)20052007，(ab)(bc)(cd)2004(2005)2007，即ac1，bd2，ad2006．∴原式=121．10032006【總結(jié)】本題主要考查代數(shù)式的求值，注意各項(xiàng)之間的關(guān)系．【習(xí)題11】若為a，b，c整數(shù)，且ab99ca991，求caabbc的值．【答案】2．意義和已知條件a、b、c均為整數(shù)，且ab99ca991，【解析】根據(jù)絕對(duì)值的12/15|【總結(jié)】本題考查根據(jù)已知條件確定a、b、c的取值及關(guān)系式解決問(wèn)題的關(guān)鍵，同時(shí)注意討課后作業(yè)【作業(yè)1】若x42yx20，求代數(shù)式x22xyy2的值．【答案】4．【解析】由題意，得：2xy4x00，解得：x4，y2，所以x22xyy2(xy)2(42)24．【總結(jié)】當(dāng)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別為零．【作業(yè)2】有一塊長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形鋁片，將其四角各截去一個(gè)相同的邊長(zhǎng)為x的正方形，折起來(lái)做成一個(gè)沒(méi)有蓋子的盒子，則此盒子的容積的表達(dá)式是什么？a【答案】abx2ax22bx24x3．b【解析】如圖所示，x容積為：(a2x)(b2x)xabx2ax22bx24x3．【總結(jié)】本題主要考查利用代數(shù)式表示盒子的容積．【作業(yè)3】學(xué)校組織教師和學(xué)生到森林公園春游，每位教師的車(chē)費(fèi)為x元，每位學(xué)生的車(chē)費(fèi)為y元，學(xué)生每滿100人可優(yōu)惠2人的車(chē)費(fèi)，如果該校初一年級(jí)有教師15人，學(xué)生326人，請(qǐng)用代數(shù)式表示需要付給汽車(chē)公司的總費(fèi)用．【答案】15x320y．【解析】15個(gè)教師共需要費(fèi)用15x，326個(gè)學(xué)生可以優(yōu)惠6個(gè)人的車(chē)費(fèi)，只需要負(fù)擔(dān)320個(gè)人的車(chē)費(fèi)即320y即可，攻擊付給汽車(chē)公司的總費(fèi)用為15x320y．【總結(jié)】本題主要考查利用列代數(shù)式解決實(shí)際問(wèn)題．【作業(yè)4】用一條長(zhǎng)20的鉛絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)為a．（1）用代數(shù)式表示長(zhǎng)方形的面積；（2）用的值分別取a4、5、6，哪一種取法所圍成的長(zhǎng)方形面積最大？1）10；（2）a=5時(shí)，所圍成的面積最大為25【答案】（aa2【解析】（1）鉛絲總長(zhǎng)為20，所圍長(zhǎng)方形一條邊長(zhǎng)為a，另一條邊長(zhǎng)為10-a，長(zhǎng)方形的面aa積為102；（2）當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬相等時(shí)，即長(zhǎng)方形為正方形的時(shí)候，面積最大，此時(shí)a=5．【總結(jié)】本題一方面考查用代數(shù)式表示面積，另一方面考查求代數(shù)式的值．【作業(yè)5】已知ABCD是長(zhǎng)方形，以為直徑的圓弧與只有一個(gè)交點(diǎn)，且AD=a．DCAB（1）用含a的代數(shù)式表示陰影部分面積；（2）當(dāng)a＝10cm時(shí)，求陰影部分面積（取3.14，保留兩個(gè)有效數(shù)字）．1a2【答案】（1）；（2）79cm2．s4【解析】（1）陰影部分的面積為：2a21a2s