歷年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編29數(shù)列

1/3歷年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編專題29數(shù)列第五緝1．【2021年江西預賽】正整數(shù)數(shù)列an滿足a1=a2=a3=1,叱的任何連續(xù)四個項an,an+1,【答案】證明見解析【解析】證明:據(jù)條件易得,數(shù)列an開始的一此項為:1,1,1,2,3,7,11,26,41,97,??據(jù)此猜想:a2n?1+對n歸納,奠基是顯然的,設(1)，(2)兩式對于n成立,考慮n+1的情形:據(jù)所給條件式,對所有的正整數(shù)k,都有ak+3=則a2n+3=a=2a2n+2+?即a2n+1而a2n+4=即a2n+2+a2n+4=3a2n+3.從而,(1)2．【2021年福建預賽】已知數(shù)列an,bn(1)求數(shù)列bn(2)設cn=(?1)nbn,Tn是數(shù)列【答案】(1)bn【解析】(1)由bn=an?12n得2n+1b所以，bn+1?bn=1又b1=a1?1(2)由（1）知,cn=T2n=?1+=?1+=?1由柯西不等式知：1n+1≤1<n?1=n?1所以,1n+1所以,T2n3．【2021年福建預賽】設數(shù)列an是正整數(shù)數(shù)列，滿足:a（1）證明:當a=3時，存在唯一一個正整數(shù)k,使得ak=2k(2)若a>3,試探究滿足ak=2k的正整數(shù)k注:這里(x,y)表示正整數(shù)x,y的最大公約數(shù).【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.【解析】證明：(1)當a=3時，由a1=3知a2=a1+若ak=k+2(k≥3),則a所以，當k=2,3,4,?,時總有ak=k+2又當k≥3時,?2k>k+2=a所以，只有k=2,滿足ak=2k所以，當a=3時，存在唯一一個正整數(shù)k=2，使得ak=2k(2)當a>3時,a1≥4若a1=4,則a若a1≥5,則a所以，若存在正整數(shù)k,使得ak=2k,則我們斷言當a>3時，不存在正整數(shù)k,使得ak=2k反證法:假設存在正整數(shù)k,使得ak=2k,記m=mink∣以下先證明一個引理：當1≤n≤m?1時，總有an由前面討論可知,a1>2,若an?1>2(n?1)?(2≤n<m?1)因此，an≥2n.結(jié)合m的最小性，可知an≠2n下面推出矛盾:易見an為盧格單調(diào)遞增的正整數(shù)數(shù)列，因為am=2m,所以，又由引理知am?1>2(m?1),故注意到m≥3,則可類似地由單調(diào)性和引理可得am?2=2m?3或若am?2=2m?3am?1=與am?1=2m?1若am?2=2m?2am?1(因為m≥3),與am?1=2m?1因此，當a>3時，不存在正整數(shù)k,使得ak=2k4．【2021年重慶預賽】數(shù)列an的相鄰兩項an和an+1為二次方程x2?3nx+cn=0(n=1,2,3,?)【答案】c【解析】由韋達定理，知:an+由a1=1,知a再多寫一項，有an+1+an+2=3n+3所以a2n?1于是，所求cn的通項為c2n?15．【2021年四川預賽】給定正整數(shù)a,b,其中a<b.數(shù)列Fn滿足:F1=a,F2=b,Fn+2=Fn+1+Fnn∈【答案】證明見解析【解析】證明:先證兩個引理:引理1:設T=a2+ab?b2,則對任意的正整數(shù)n引理1的證明:下面用數(shù)學歸納法證明.由條件知F3=a+b,從而F故結(jié)論對n=1成立.結(jié)論成立;假設n=k(k≥1)時，結(jié)論成立，即FkF當n=k+1時,Fk+1F故當n=k+1時，結(jié)論也成立.由歸納原理知，對任意的正整數(shù)n,都有FnF引理2:對任意給定的整數(shù)D,關(guān)于x,y的方程x2?y2引理2的證明:由x2?y2=D人而x+y=dx?y=D對每一個d,方程組至多有一組整數(shù)(x,y).由于D是給定的整數(shù)，從而d的個數(shù)是有限的.所以，方程x2?y2=D回到原題:取m=t2t∈N?由引理1知，Sk=1+m若Sk為完全平方數(shù)，記Sk從而有x2?y2=D由引理2知，方程x2?y2因此，當m=t2t∈N?,t≥2時，正整數(shù)綜上所述，結(jié)論成立.6．【2021年四川預賽】求最大的正整數(shù)n，使得對滿足i=1nai=1的任意正實數(shù)a1,a2,?,【答案】4【解析】解:一方面，先證:n≤4.事實上，若n=5,取a1=則i=1nai=1na而i=1nai>130故n=5不滿足條件.若n≥6,取a1=i=1na及i=1na而i=1nai>127+n故n≥6均不滿足條件.所以,n≤4.另一方面，再證:n=4滿足條件：將a1,a2,a3注意到由均值不等式：2ba+2bc+上兩式相加得:3?b對(*)輪換求和即得:3cycb注意到：cycbc所以,cycba綜上所述，所求正整數(shù)n的最大值為4.7．【2021年浙江預賽】設n為給定的正整數(shù)，a1,a2,?,an為滿足對每個m≤n【答案】答案見解析【解析】由k=1n=k=1=nk=1所以k=1na8．【2021年浙江預賽】設數(shù)集P=a1,a2,?,am,它的平均數(shù)Cp=a【答案】2n?2.【解析】不妨設CA>CB所以CA=T1又有T≤(n?p+1)+(n?p+2)+?+n=p(2n?p+1)2所以CA當且僅當T=p(2n?p+1)2此時A={n?p+1,?,n},由A,B非空,可知Ω1,2,?,n?1,有n?1種情況，考慮對稱性，則可知有序數(shù)對A,B的數(shù)目為2n?2.9．【2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽A卷二試】給定正整數(shù)k(k≥2)與k個非零實數(shù)a1,a2,?,ak，證明：至多有有限個k【答案】證明見解析【解析】取定正整數(shù)N≥|a1我們證明,當正整數(shù)n1,n假設不然,不妨設max1≤i≤k對i=2,?,k,由于正整數(shù)從而a但a2所以，滿足條件的正整數(shù)組n1,n10．【2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽B卷一試】數(shù)列an滿足:a1=a2=a【答案】3【解析】由條件知bn因此，an于是a10011．【2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽B卷二試】設a為正整數(shù).數(shù)列an滿足:a(1)證明:存在一個非立方數(shù)的正整數(shù)a,使得數(shù)列an(2)證明：數(shù)列an【答案】證明見解析【解析】(1)注意到142+20=216=6(2)不妨設an中存在立方數(shù),a因為對任意整數(shù)m,有m≡0,±1,±于是ak+1=ak2+20≡2因此，數(shù)列an12．【2020高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第02試）】給定整數(shù)n≥3.設a1,aa1且對任意i=1,2,?,2n,有aiai+2求a1【答案】16【解析】記S=不失一般性,設T=a當n=3時,因為T故結(jié)合條件可知S2又S>0,所以S≥12.當ai=b當n≥4時,一方面有k=1n另一方面,若n為偶數(shù),則k=1n其中第一個不等式是因為(a1+若n為奇數(shù),不妨設a1k=1?(a從而總有S?k=1na2k?1a當a1=a2=綜上,當n=3時,S的最小值為12;當n≥4時,S的最小值為16.13．【2020高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第02試）】設a1=1,a【答案】證明見解析【解析】記α=1+2,β=1?2記bn=αn+β因b1=1,b2=3由(αn+β當n>1為奇數(shù)時,由于a1為奇數(shù),故由{an所以an有奇素因子p由②得bn2≡?1(又上式表明(p,bn)=1從而(?1)p?12≡1(modp),因p>2另一方面,對正整數(shù)m,n,若m|n,設n=km,則a{a因αs+βs=2bs為整數(shù)(對正整數(shù)s),因此,若n有大于1的奇因子m,則由前面已證得的結(jié)論知am有素因子p≡1(mod4),而am|an最后,若n沒有大于1的奇因子,則n是2的方冪.設n=2l(1≥3)對于l≥4,由8|2l知a814．【2020高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】設數(shù)列{an}的通項公式為an=15【答案】證明見解析【解析】記q1=1+于是an所以a1=1,a有a=1=1an+2由此易知,數(shù)列{a由計算易得q4故a2n+3=====[所以,對任意正整數(shù)n,a2n+3a2n?1?115．【2020高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第02試）】給定整數(shù)n≥2.設a1,a2,?an,b1,b2,?,bn>0【答案】2n【解析】記S=a由條件知1≤i<j≤na又1≤i<j≤na于是S2注意S>0,故S≥2n.另一方面,當ai=bi=2(i=1,2,?,n)綜上,S=a116．【2020年福建預賽】已知數(shù)列an滿足:a1=1,a(1)求數(shù)列an(2)設bn=3nanan+1,Tn【答案】(1)an【解析】(1)由an+2=4an+2又a2?a1=4≠0于是,an+1?進而,n?2時，ana2=4×3=4=2×3n?1又n=1時,2×3n?1從而,對于一切正整數(shù)n,均有an=2×(2)由(1)知bn=3=34則Tn=33434=3417．【2020年甘肅預賽】已知數(shù)列an:a1=a證明:(1)an?3an?1(2)1a1【答案】(1)證明見解析；an【解析】(1)由an+1?a?=?2則an?3an?1故an=a?a?a?a?a=??a=3(2)當n=2k時,1a=3=6=8×<8×則1a<4=49當n=2k+1時，1a1+1綜上,結(jié)論成立.18．【2020年吉林預賽】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn(1)求數(shù)列{an(2)設bn=an+2anan+12n,數(shù)列bn【答案】(1)an【解析】(1)由an+1=2當n=1時，a1當n?2時,an?(?Sn于是,{Sn從而,Sn=n,(2)由(1),知an=2n?1則bn=(2=1故Tn=1?16+=1?1由12n(2n+1)>0又Tn=1?12n綜上,56?19．【2020年浙江預賽】已知數(shù)列{ana1=an?令bn=1an,記數(shù)列{bn}(1)求數(shù)列{an(2)若對于任意的n∈Z+,有n+2?λ(Sn【答案】(1)an=n+1【解析】(1)由數(shù)學歸納法證得an=(2)由bn?S由n+2?λ(?n+2而上式對任意的正整數(shù)均成立,則62=(n+2即62?λ?2020．【2020年浙江預賽】設正整數(shù)n?3,n個數(shù)a1,a2,?,an,記兩兩之和為若在表格中任意取定k個數(shù),可以唯一確定出n個數(shù)a1,a2,?,【答案】答案見解析【解析】(1)當n=3時,顯然由b21才能唯一確定出a1,a2(2)當n=4時,顯然有k?C3當k=4時,若取b21,b31,當k=5時,若知b21,b31,b32,b41,b42,(3)當n?5時,顯然有k?Cn?1(i)當n=5時,k=C42+1=7,即若知道七個bij,則一定存在一個下標s,bis(或bjs)最多出現(xiàn)兩次,至少出現(xiàn)一飲.事實上,七個bij共有14個下標,而1、2、3、4、5每個下標出現(xiàn)三次及以上，至少共出現(xiàn)15個下標，這是不可能的.故據(jù)(2)，知由至少五個bij(i,j∈{1,2,3,4,5}\{s})的值可唯一確定出ai(ii)當n?6時,用數(shù)學歸納法證明k=Cn?12+1.當取k個bij時,一定存在一個下標s,bis(或bjs)最多出現(xiàn)n?2次(因為2k<由歸納,知這些bij可唯一確定出ai(i∈{1,2,?,n}\{s}),然后再由bis(或21．【2020年重慶預賽】已知數(shù)列{ana1=1,(1)證明:1+an(2)記bn=[an+12an]{an+1【答案】證明見解析【解析】(1)易知a3=8,且a用歸納法證明:1+an當n=1時，1+a1假設當n=k時,1+a則當n=k+1時，1+a=1+3a=3a=ak+2于是,n=k+1時,結(jié)論也成立.由歸納原理,知1+an故1+an(2)由(1),知an+12則bk于是,k=22020由an+2=3an+2≡?故3∣a2022又a1=1,記bn為an除以8的余數(shù),則b由數(shù)學歸納法,易知bn則8?a2022故a2021a22．【2020年新疆預賽】已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn(I)求數(shù)列{an(II)求證:k=1n1【答案】(I)an=n【解析】(I)由{i=1nai3因為an+1>0,所以an+12兩式相減，得2an=a因為an+1+an>0又由已知a1=1,a2=2,所以，對任意n∈N即{an}是等差數(shù)列，故(II)1a所以當n≥3時，k=1n=1+1當n=1時，左邊=1<1.65成立，當n=2時，左邊=1+14<1.65成立，所以23．【2019年全國】設整數(shù)a1,a記f=a求f的最小值f0.并確定使f=f0成立的數(shù)組a【答案】答案見解析【解析】2f=≥a≥2a取最小值時a2017每個an+2?a設a1,a2,…,a2018則任意n=1,2,…,49,?令yn=x由隔板法y1,y因此所求a1,a2,…,24．【2019年江蘇預賽】在數(shù)列an中，已知a(1)若p=1，求數(shù)列an(2)記bn=nan.若在數(shù)列bn【答案】(1)an=2【解析】(1)因為an+1=ann因此1an=(n?1)+(n?2)+?+1+p=因為p=1，所以an(2)bn在數(shù)列bn中，因為bn≤b8解得28≤p≤36.又bn=2n所以bn的最大值只可能在n=7,8,9又當28≤p≤36時，b7≤b所以滿足條件的實數(shù)p的取值范圍是28,36.25．【2019年江西預賽】將正整數(shù)數(shù)列1,2,3,……中凡是被4整除以及被4除余1的項全部刪去,剩下的數(shù)按自小到大的順序排成數(shù)列a1,a2,a證明:每個大于1的奇平方數(shù),都是數(shù)列{bn}中的兩個相鄰項的和.【答案】證明見解析【解析】易知a因此,?n∈N,a再將{an}中的項a4n及a4n+1去掉之后,所得到的數(shù)列{bn},其通項為:b2n+1即數(shù)列{bn}的項為:3，6,11,14,19,22,27,32,35,38,43,……,觀察易知,32若記rk=k(k+1)由于r所以brbr合并以上四式得,對于每個正整數(shù)k,brk+26．【2019年內(nèi)蒙古預賽】已知a1,a求證a1【答案】證明見解析【解析】∵a1,由柯西不等式得:a1當且僅當a127．【2019年上海預賽】設數(shù)列{an}滿足:a1=a2=a【答案】證明見解析【解析】由題設,知數(shù)列{an}的每一項均為正數(shù),且an+1于是,an+2兩式相減得a??an+2+a由a1=a2當n為奇數(shù)時,由式①得a.當n為偶數(shù)時,由式①得a?a故a從而,由a1,a28．【2019年新疆預賽】設a0,a1,試求出a0【答案】答案見解析【解析】由題意知，對0≤i≤n均有ai2>21?可得n<4.由于n是正整數(shù)，故n∈1,2,3(i)當n=1時，我們有2a0=1+1a從而2a1=a0（ii）當n=2時，我們有2a0=1a1+1a2.由于（iii）當n=3時，我們有1+2a0=1a1+1a2+1a3，則必定有a3=2，否則等式右邊至多為1綜上所述，a0,a1,29．【2019年重慶預賽】數(shù)列an滿足a1=3，a（1）證明：數(shù)列an（2）是否存在m∈Z+，使得【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.【解析】（1）已知a3=15，an相減得a∴an+2∴a∴an+2=3an+1?a又∵an>0，∴（2）∵2109=3×19×37，假設有2109∣am，則法一：由a1=3，a得a∴19?ann∈法二：∵amam+2由費馬小定理得1≡?1mod所以不存在m∈Z+，使得30．【2019年福建預賽】已知數(shù)列{an}滿足a1(1)記cn=an(2)記bn=n2n+1an，求使b【答案】(1)cn【解析】(1)由cn=a2c整理，得2cn+1c∴?1cn+1?1=3∴?(2)由(1)知，anb=2(n?1)+∵n≥2時，3n(n+1)∴n≥2時，0<2×又n=1時，2×3∴bn≥2時，bn∴n≥2時，b1由n2?n+1≤2019及n∈N*，得∴使b1+b31．【2019年福建預賽】已知實數(shù)x1,x2,?,證明:存在整數(shù)i1,i【答案】證明見解析【解析】記ai=minx2i?1構(gòu)造下列51個數(shù):S0SkS50下面證明S0,S由上述符號的含義，知S0+S(1)若S0≤51100，則由S0(2)若S0假設S1,S則由S0?S1又由S0>51∴S1,S2又S0≥S1≥因此，存在j∈{1,2,?,50}，使得Sj此時，Sj?1另一方面，Sj?1∴S1,由(1)、(2)知，S0,S由Sk解法二:首先用數(shù)學歸納法證明:對于任意正整數(shù)n，若實數(shù)x1,x則存在x1,xxi證明如下:(1)當n=1時，結(jié)論顯然成立.(2)假設n=k時，結(jié)論成立，則當n=k+1時，由歸納假設知，存在x1,?x2記xi1+當d1?d當d1?d即n=k+1時，結(jié)論也成立.由(1)、(2)知，對于任意正整數(shù)n，結(jié)論都成立.回到本題，利用上述結(jié)論容易知道存在x1,x2,?,且xi又xi所以50100≤x因此結(jié)論成立.32．【2019年廣西預賽】設a1=1,an(1)an(2)(1+1【答案】證明見解析【解析】(1)由已知可得a.(2)由已知條件有a1=1,a2=4.當n=1時,1+1當n≥2時,由(1)的結(jié)論可得：(1+====2(1+<2[1+=2[1+(1?=2(2?1綜上所述,不等式成立.33．【2019年貴州預賽】已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且sn(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求證:k=1n【答案】(1)an【解析】(1)i=1?因為an+1>0,所以an+1兩式相減,得2因為an+1+a又由已知a1=1,a2=2,所以,對?n∈+1故an注:其實可以直接看出答案,an=n.這時因為有熟悉的等式：(1+2+3+?+n)(2)證明1:k=1=1+<1+=1+k=2證明2：k=1n34．【2019年吉林預賽】已知等差數(shù)列an滿足:a3=7,(1)求an及Sn;(2令bn=1an【答案】(1)an=2n+1，Sn【解析】(1)設等差數(shù)列an的公差為d,因為aa1+2d=72所以anSn(2)由(1)知an=2n+1,所以所以Tn即數(shù)列bn的前n項和T35．【2019高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第02試）】設整數(shù)a1,a記f=a求f的最小值f0.并確定使f=f0成立的數(shù)組a1【答案】答案見解析【解析】由條件知2f=a12+由于a1,a2及且ai+2a12+a由①、②得2f?a結(jié)合a2019=99及f?122a另一方面，令a1=a2=?=此時驗證，知上述所有不等式均取到等號，從而f的最小值f0以下考慮③的取等條件.此時a2017=a即a1因此1=a1?a2???a2018=49，且對每個k對每個k(1≤k≤49)，設a1,a2,?,則nk為正整數(shù)，且1+n即n1該方程的正整數(shù)解n1,n且每組解唯一對應一個使④取等的數(shù)組a1,a2,?,a201936．【2018年山西預賽】已知在正整數(shù)n的各位數(shù)字中，共含有a1個1，a2個2，?，an【答案】見解析【解析】對正整數(shù)n的位數(shù)使用數(shù)學歸納法．當n是一位數(shù)，即1≤這是因為，此時n的十進制表達式中只有一位數(shù)字n，即an=1，其余aj假設當正整數(shù)n不超過k位，即n<10現(xiàn)考慮n為k+1位數(shù)，即設n的首位數(shù)字為r．則n=r10k若n1=0，則在數(shù)n的各位數(shù)字中，ar顯然，r+1a若1≤n1≤10k?1，記n1的各位數(shù)字中含有a則n的各位數(shù)字中，含有ar+1個r、aj注意到，正整數(shù)n1由歸納法假設，對n12a≤r10k則當n為故由數(shù)學歸納法，知對一切正整數(shù)n，結(jié)論皆成立．欲使等號成立，由證明過程，知要么n為一位數(shù)；要么在n的位數(shù)大于或等于2時，由式②，必須n1+1=10k，此時，由式即n可表示為r99?9上述條件也是充分的，當n能夠表成以上形式時，有ar=1,a故237．【2018年浙江預賽】設實數(shù)x1，x2，…，x2018滿足xn+12≤xnxn+2【答案】見解析【