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文檔簡介
8.4直線、圓的地點關(guān)系一、教課目的1.能依據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的地點關(guān)系;能依據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的地點關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步認識用代數(shù)方法辦理幾何問題的思想.二、教課要點:直線與圓的地點關(guān)系、圓的切線方程、圓與圓的地點關(guān)系教課難點:圓的切線方程、圓的性質(zhì)運用三基礎(chǔ)自測1.直線x+y=5和圓O:x2+y2-4y=0的地點關(guān)系是AA.相離B.相切C.訂交可是圓心D.訂交過圓心2.>直線ax-y+2a+1=0與圓x2+y2=9的地點關(guān)系是BA.相離B.訂交C.相切D.不確立3.>已知直線x-y+a=0與圓O:x2+y2=4交于不一樣兩點→A、B,O為坐標原點,若向量OA、→→→→→OB知足|OA+OB|=|OA-OB|,則a等于BA.±1B.±21C.±D.±32l4.兩圓訂交于點A(1,3)和B(m,1),兩圓圓心在直線l:x-y+2=0上,則m+c的值是DA.-1B.0C.2D.35.>已知圓C過點(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線l:y=x-1被該圓所截得的弦長為22,則圓C的標準方程為________.(x-3)2+y2=4四、教課過程(繪圖解說)1.直線與圓的地點關(guān)系有三種:判斷直線與圓的地點關(guān)系常有的有兩種方法:①代數(shù)法:利用鑒別式(講清原理)②幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系d<r?d=r?d>r?圓心x0,y0直線l:AxAx0By0CByC0d=B2A22.圓的切線方程(點在圓上、園外,切線條數(shù))點到直線距離等于半徑切線長公式若圓的方程為x2+y2=r2,點P(x0,y0)在圓上,則過P點且與圓x2+y2=r2相切的切線方程為3.直線與圓訂交2(1)幾何法:若l為弦長,d為弦心距,r為半徑,則有r2=d2l2即l=2r2d2(2)代數(shù)方法:運用韋達定理及弦長公式:|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2[x1+x22-4x1x2].求弦長或已知弦長求解問題,一般用此公式.4.兩圓地點關(guān)系的判斷兩圓(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0)的圓心距為d,則(1)d>r1+r2?兩圓;(2)d=r1+r2?兩圓;(3)|r1-r2|<d<r1+r2(r1≠r2)?兩圓;(4)d=|r1-r2|(r1≠r2)?兩圓;(5)0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)?兩圓5.兩圓公共弦所在直線方程(兩圓訂交)兩圓作差所得結(jié)果就是所求;兩圓公切線條數(shù)圓外點到圓上點距離最值剖析五、例題剖析考點向來線與圓的地點關(guān)系【例1】m為什么值時,直線2x-y+m=0與圓x2+y2=5(1)無公共點;(2)截得的弦長為2;(3)交點處兩條半徑相互垂直1.(13·陜西)已知點M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的地點關(guān)系是(
B
)A.相切C.相離2.直線
x-y+m=0
與圓
B.訂交D.不確立22x+y-2x-1=0有兩個不一樣交點的一個充分不用要條件是(
C)A.-3<m<1
B.-4<m<2C.0<m<1
D.m<1分析:∵圓
x2+y2-2x-1=0可化為(x-1)2+y2=2,即圓心是
(1,0),半徑是
2,d=|1-0+m|<2,∴|m+1|<2,2∴-3<m<1,由題意知m的取值范圍應(yīng)是(-3,1)的一個真子集,應(yīng)選C.[類題通法]判斷直線與圓的地點關(guān)系常有的方法(1)幾何法:利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程隨以后利用判斷.(3)點與圓的地點關(guān)系法:若直線恒過定點且定點在圓內(nèi),可判斷直線與圓訂交.考點二切線、弦長問題[典例](1)(2013山東·高考)過點M(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB的方程為(A)A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0[分析]依據(jù)平面幾何知識,直線AB必定與點(3,1),(1,0)的連線垂直,這兩點連線的斜率為1,故直線AB的斜率必定是-2,只有選項A中直線的斜率為-2.2另:寫出以M為圓心MA為半徑的圓,兩圓作差(2)過點(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,此中最短弦的長為___22_____.[分析]最短弦為過點(3,1),且垂直于點(3,1)與圓心的連線的弦,易知弦心距d=3-22+1-22=2,所以最短弦長為2r2-d2=222-22=22.[類題通法]1.辦理直線與圓的弦長問題時多用幾何法,即弦長一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形.2.圓的切線問題的辦理要抓住圓心到直線的距離等于半徑成立關(guān)系解決問題.[針對訓練]1.(14·綱領(lǐng)全)直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線,若l1與l2的交點為(1,3),則l1與l2的夾角的正切值等于________.432.(14·重慶)已知直線x-y+a=0與圓心為C的圓x2+y2+2x-4y-4=0訂交于A,B兩點,且AC⊥BC,則實數(shù)a的值為________0或63.(14·重慶)已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4訂交于A,B兩點,且△ABC為等邊三角形,則實數(shù)a=________.4±15考點三圓與圓的地點關(guān)系[典例](2014鄭·州一檢)若⊙O1:x2+y2=5與⊙O2:(x+m)2+y2=20(m∈R)訂交于A,B兩點,且兩圓在點A處的切線相互垂直,則線段AB的長度是________.[分析]由兩圓在點A處的切線相互垂直,可知兩切線分別過另一圓的圓心,即AO1⊥AO2,在直角三角形AO1O2中,(25)2+(5)2=m2,∴m=±5,|AB|=2×25×5=4.5在本例條件下求AB所在的直線方程.解:由本例可知m=±5.當m=5時,⊙O1:x2+y2=5,①22當m=-5時,⊙O1:x2+y2=5,①⊙O2:x2+y2-10x+5=0.②
x=-1.②-①得,
x=1,即
AB所在直線方程為
x=1.∴AB所在的直線方程為
x=1或
x=-1.[類題通法
]1.兩圓地點關(guān)系的判斷常用幾何法,即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系,一般不采納代數(shù)法.2.若兩圓訂交,則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差獲得.[針對訓練]與圓x2+y2+4x-4y+7=0和x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直線共有()A.1條B.2條C.3條D.4條分析:選C由題意知,兩圓圓心分別為(-2,2)與(2,5),半徑分別為1和4,圓心距為-2-22+2-52=5,明顯兩圓外切,故公切線的條數(shù)為3.【例3】(11·全國)設(shè)兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|=(C)A.4B.42C.8D.823.兩個圓C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)與C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三條公切線,則a+b的最小值為CA.-6B.-3C.-32D.3題型四直線與圓的綜合應(yīng)用【例4】(11·新課標)在平面直角坐標系C上.
xOy中,曲線
y=x2-6x+1與坐標軸的交點都在圓求圓C的方程;若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點,且OA⊥OB,求a的值.重申數(shù)形聯(lián)合思想【經(jīng)典考題】(12分)已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0.問在圓C上能否存在兩點A、B對于直線y=kx-1對稱,且以在,說明原因.
AB為直徑的圓經(jīng)過原點?若存在,寫出直線AB的方程;若不存六、小結(jié)1.直線與圓的地點關(guān)系問題議論直線與圓的地點關(guān)系問題時,要養(yǎng)成作圖的習慣,運用數(shù)形聯(lián)合的思想,綜合代數(shù)的、幾何的知識進行求解.一般說,運用幾何法解題運算較簡易,但代數(shù)法更具一般性.2.圓與圓的地點關(guān)系圓與圓的地點關(guān)系要點依照圓心距d和兩圓半徑r1,r2的關(guān)系判斷,要注意兩圓的地點關(guān)系與兩圓公切線條數(shù)的依賴關(guān)系.3.直線與圓相切時切線的求法(1)求過圓上的一點(x0,y0)的圓的切線方程先求切點與圓心連線的斜率
k,則由垂直關(guān)系,切線斜率為-
1,由點斜式方程可求得k切線方程.假如
k=0或
k不存在,則由圖形可直接得切線方程為
y=y(tǒng)0或
x=x0.(2)求過圓外一點
(x0,y0)的圓的切線方程①幾何方法:當k存在時,設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0.由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,切線方程即可求出.②代數(shù)方法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圓方程,得一個對于x的一元二次方程,由=0,求得k,切線方程即可求出.以上兩種方法只好求斜率存在的切線,斜率不存在的切線,可聯(lián)合圖形可得.七、教課反省:學生對求切線方程還不是很理解,弦長公式忘記。在本節(jié)復習時,自己多強調(diào)幾何法判斷直線與圓的地點關(guān)系、幾何法求弦長,以及波及與圓的問題時,加強繪圖思想。重心重視直線與圓相切問題的剖析。公共弦例題波及有。2015-10-22本節(jié)課兩節(jié)安排,以繪圖為知識線索,畫出直線與圓的三種關(guān)系,在各自關(guān)系中透漏出:圓上的點到直線距離最值;切線方程求解;弦長公式剖析計算。圓與圓的地點畫出圖形,展現(xiàn)判斷的依照,并剖析切線條數(shù)及兩圓訂交時公共線所在直線方程求解。八、學生錯題集1.已知圓
x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0
(1)求證:無論
m為什么值,圓心在同向來線條平行
l上;(2)與l平行的直線中,哪些與圓訂交、相切、相離?(l與且與圓訂交的直線被各圓截得弦長相等
3)求證:任何一2.圓
O1:x2+y2-2x=0和圓
O2:x2+y2-4y=0的地點關(guān)系是
(
)A.相離B.訂交C.外切D.內(nèi)切3.已知點P(1,-2),以Q為圓心的圓Q:(x-4)2+(y-2)2=9,以PQ為直徑作圓與圓Q交于A、B兩點,連結(jié)PA,PB,則∠APB的余弦值為________.已知圓C過點P(1,1),且與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)對于直線x+y+2=0對稱。(1)求圓C的方程;2)設(shè)Q為圓C上一個動點,求PQMQ的最小值;3)過點P做兩條相異直線分別與圓C交于A、B,且直線PA和直線PB的傾斜角互補,O為坐標原點,試判斷直線OP和AB能否平行,說明原因。2.圓x2+y2-4x=0在點P(1,3)處的切線方程為()A.x+3y-2=0B.x+3y-4=0C.x-3y+4=0D.x-3y+2=03.圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0與圓C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切線有且僅有()A.1條C.3條
B.2條D.4條4.(教材習題改編)直線x-y+2=0被圓x2+y2+4x-4y-8=0截得的弦長等于________.5.已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,則兩圓的公共弦所在的直線方程為________,公共弦長為________6.已知直線y=kx+3與圓(x-3)2+(y-2)2=4訂交于M,N兩點,若|MN|≥23,則k的取值范圍為()A.[-3,0]B.[-3,1]44C.[2,2]D.[-3,1]421.把直線y=322+23x-2y+3=0相切,則直線轉(zhuǎn)3x繞原點逆時針轉(zhuǎn)動,使它與圓x+y動的最小正角是ππA.3B.22π5πC.3D.6分析:由題意,設(shè)切線為y=kx,∴|1+3k|2=1,∴k=0或k=-3,∴k=-3時轉(zhuǎn)1+k動最小,∴最小正角為2πππ3-=,選B.622.若直線將圓x2+y2-2x-4y=0均分,但不經(jīng)過第四象限,則直線l的斜率的取值范圍是A.[0,2]B.[0,1]11C.[0,]D.[,1]22分析:圓的方程可化為(x-1)2+(y-2)2=5,圓過坐標原點,直線l將圓均分,也就是直線l過圓心(1,2).當直線過圓心與x軸平行時,或許直線同時過圓心與原點時都不經(jīng)過第四象限,而且當直線l在這兩條直線之間時也不經(jīng)過第四象限.當直線過圓心與x軸平行時,k=0;當直線同時過圓心與原點時,k=2.所以當k∈[0,2]時,知足題意.應(yīng)選A.2-y23.以拋物線y2=20x的焦點為圓心,且與雙曲線x=1的兩條漸近線都相切的圓的169方程是A.x2+y2-10x+9=0B.x2+y2-10x+16=0C.x2+y2-20x+64=0D.x2+y2-20x+36=022分析:由雙曲線方程可得,雙曲線的漸近線方程為x-y=0,即3x±4y=0,拋物線y2169=20x的焦點為(5,0),由點到直線的距離公式得圓的半徑r=3.故圓的方程為(x-5)2+y2=9,即x2+y2-10x+16=0,選B.4.定義一個對應(yīng)法例f:P′(m,n)→P(m,n)(m≥0,n≥0).現(xiàn)有點A′(1,3)與B′(3,1),點M′是線段A′B′上一動點,按定義的對應(yīng)法例f:M′→M.當點M′在線段A′B′上從點A′開始運動到點B′結(jié)束時,點M′的對應(yīng)點M所經(jīng)過的路線長度為()πππD.2πA.4B.C.323分析:由題意知線段A′B′所在直線的方程為:x+y=4,設(shè)M(x,y),則M′(x2,y2),π進而有x2+y2=4,易知A′(1,3)→A(1,3),B′(3,1)→B(3,1),不難得出∠AOx=3,∠BOxππM所經(jīng)過的路線長度為ππ=,則∠AOB=,點M′的對應(yīng)點2×=,選B.66635.已知圓C:x2+y2=1,直線l過點P(1,1),且與圓C交于A、B兩點,若|AB|=3,22則直線l的方程為__________.1分析:①當直線l垂直于x軸時,直線l的方程為x=2,直線l與圓C的兩個交點坐標1313為(,2)和(,-2),|AB|=3,知足題意.22②若直線l不垂直于x軸,設(shè)直線l的方程為1111y-=k(x-),即kx-y-k+=0.22221k311|-|222設(shè)圓心到此直線的距離為d,則2=1-d,得d=2,2=k2+1,則k=0,故所求直線方程為y=1.21綜上所述,所求直線方程為y=2或x=2.6.設(shè)O為坐標原點,曲線x2+y2+2x-6y+1=0上有兩點P、Q對于直線nx-my+4=0對稱,m>0,n>0,則mn的最大值等于__________.22(-1,3),半徑為3的圓.∵點P、Q在圓上且對于直線nx-my+4=0對稱,∴圓心(-1,3)在直線上,代入得n+3m=4,又m>0,n>0,則n+3m=4≥23mn,∴0<mn≤43,當且僅當n=3m=2時取等號.7.設(shè)圓上的點A(2,3)對于直線x+2y=0的對稱點仍在圓上,且與直線x-y+1=0訂交的弦長為22,求圓的方程.解:用待定系數(shù)法求圓的方程,設(shè)圓的方程為222(x-a)+(y-b)=r.設(shè)所求圓的圓心為(a,b),半徑為r.∵點A(2,3)對于直線x+2y=0的對稱點A′仍在這個圓上,∴圓心(a,b)在直線x+2y=0上,∴a+2b=0,①(2-a)2+(3-b)2=r2.②又直線x-y+1=0截圓所得的弦長為22,r2-(a-b+1)2=(2)2.③2解由方程①、②、③構(gòu)成的方程組得:b=-3,b=-7,a=6,或a=14,r2=52,r2=244.∴所求圓的方程為(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.8.圓O1的方程為:x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心O2(2,1).(1)若圓O2與圓O1外切,求圓O2的方程,并求內(nèi)公切線方程;(2)若圓O2與圓O1交于A、B兩點,且|AB|=22,求圓O2的方程.解:(1)由兩圓外切,∴|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2(2-1),故圓O2的方程是:(x-2)2+(y-1)2=4(2-1)2,兩圓的方程相減,即得兩圓內(nèi)公切線的方程x+y+1-22=0.(2)設(shè)圓O2的方程為:(x-2)2+(y-1)2=r22,∵圓O1的方程為:x2+(y+1)2=4,此兩圓的方程相減,即得兩圓公共弦AB所在直線的方程:4x+4y+r22-8=0①1作O1H⊥AB,則|AH|=2|AB|=2,|O1H|=2,由圓心(0,-1)到直線①的距離得|r22-12|224=2,得r2=4或r2=20,2故圓O2的方程為:(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.1.(2012珠·海模擬)已知直線l1與圓x2+y2+2y=0相切,且與直線l2:3x+4y-6=0平行,則直線l1的方程是()A.3x+4y-1=0B.3x+4y+1=0或3x+4y-9=0C.3x+4y+9=0D.3x+4y-1=0或3x+4y+9=0分析:設(shè)直線l1的方程為3x+4y+m=0.22∵直線l1與圓x+y+2y=0相切,|-4+m|∴22=1.∴|m-4|=5.∴m=-1或m=9.3+4∴直線l1的方程為3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.2.(2012江·南十校聯(lián)考)若點P(1,1)為圓(x-3)2+y2=9的弦MN的中點,則弦MN所在直線方程為()A.2x+y-3=0B.x-2y+1=0C.x+2y-3=0D.2x-y-1=0分析:圓心C(3,0),kCP=-1,由kCP·kMN=-1,得kMN=2,所以弦MN所在直線方2程是y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.3.(2012濟·南模擬)若直線x-y=2被圓(x-a)2+y2=4所截得的弦長為22,則實數(shù)a的值為()A.-1或3B.1或3C.-2或6D.0或4分析:圓心(a,0)到直線x-y=2的距離d=|a-2|,2則(2)2+|a-2|2=22,∴a=0或4.24.過圓x2+y2=1上一點作圓的切線與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點,則|AB|的最小值為()A.2B.3C.2D.3分析:設(shè)圓上的點為(x0,y0),此中x0>0,y0>0,則切線方程為x0x+y0y=1.分別令x=0,y=0得A(1,0),B(0,1),x0y0∴|AB|=12+12=1≥212=2.x0y0x0y0x0+y025.(2012鄭·州模擬)直線ax+by+c=0與圓x2+y2=9訂交于兩點M、N,若c2=a2+b2,則OMON(O為坐標原點)等于()·A.-7B.-14C.7D.14分析:記OM、ON的夾角為2θ.依題意得,圓心(0,0)到直線ax+by+c=0的距離等于|c|=1,cosθ=1,cos2θ=2cos2θ-=×12-1=-7,·=3×3cos2θ=-a2+b2312(3)9OMON7.6.已知點P在直線3x+4y-25=0上,點Q在圓x2+y2=1上,則|PQ|的最小值為________.分析:設(shè)圓x2+y2=1的圓心為點O,則O為(0,0),O點到直線3x+4y-25=0的距離d=|25|5=5,故該直線與圓O相離,則|PQ|的最小值為d-1=5-1=4.7.(2012·博模擬淄)已知圓C過點(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線l:y=x-1被圓C截得的弦長為22,則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________.分析:由題可知,設(shè)圓心的坐標為(a,0),a>0,則圓C的半徑為|a-1|,圓心到直線l的距離為|a-1||a-1|222,依據(jù)勾股定理可得,()+(2)=|a-1|,解得a=3或a=-1(舍去),22所以圓C的圓心坐標為(3,0),則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為x+y-3=0.8.求過點P(4,-1)且與圓C:x2+y2+2x-6y+5=0切于點M(1,2)的圓的方程.解:設(shè)所求圓的圓心為A(m,n),半徑為r,則A,M,C三點共線,且有|MA|=|AP|=r,因為圓C:x2+y2+2x-6y+5=0的圓心為C(-1,3),n-2=2-3,則m-11+1m-12+n-22=m-42+n+12=r.解得m=3,n=1,r=5,所以所求圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=5.9.已知圓C的圓心與點P(-2,1)對于直線y=x+1對稱,直線3x+4y-11=0與圓C訂交于A,B兩點,且|AB|=6,求圓C的方程.解:設(shè)點P對于直線y=x+1的對稱點為C(m,n),1+n-2+m+1,=,2=2m0則由?n-1n=-1.m+2·1=-1故圓心C到直線3x+4y-11=0的距離d=|-4-11|=3,9+1622|AB|2所以圓C的半徑的平方r=d+4=18.故圓C的方程為x2+(y+1)2=18.10.(2011鹽·城一模)已知圓C過點P(1,1),且與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)對于直線xy+2=0對稱.求圓C的方程;(2)設(shè)Q為圓C上的一個動點,求PQ·MQ的最小值;過點P作兩條相異直線分別與圓C訂交于A,B,且直線PA和直線PB的傾斜角互補,O為坐標原點,試判斷直線OP和AB能否平行?請說明原因.解:(1)設(shè)圓心C(a,b),a-2+b-2+2=0,a=0,22則解得b+2=0.a+2=1b則圓C的方程為x2+y2=r2,將點P的坐標代入得r2=2,故圓C的方程為x2+y2=2.設(shè)Q(x,y),則x2+y2=2,且PQ·MQ=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y4=x+y-2,所以PQ·MQ的最小值為-
4.(3)由題意知,直線PA和直線
PB的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè)
PA:y-1=k(x-1),y-1=kx-1PB:y-1=-k(x-1),由x,2+y2=2得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0.因為點P的橫坐標x=1必定是該方程的解,2k-2k-1k2+2k-1同理,xB=1+k2,則kAB=y(tǒng)B-yA=-kxB-1-kxA-1xB-xAxB-xA
2k-kxB+xA=xB-xA=1=kOP.所以,直線AB和OP必定平行.第八章第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[課下作業(yè)][時間40分鐘,滿分80分]一、選擇題(每題6分,共30分)221.(2013·珠海模擬)已知直線l1與圓x+y+2y=0相切,且與直線l2:3x+A.3x+4y-1=0B.3x+4y+1=0或3x+4y-9=0C.3x+4y+9=0D.3x+4y-1=0或3x+4y+9=0分析設(shè)直線l1的方程為3x+4y+m=0.22∵直線l1與圓x+y+2y=0相切,|-4+m|32+42=1.|m-4|=5.∴m=-1或m=9.∴直線l1的方程為3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.答案D2.(2012·江南十校聯(lián)考)若點P(1,1)為圓(x-3)2+y2=9的弦MN的中點,則弦MN所在直線方程為DA.2x+y-3=0B.x-2y+1=0C.x+2y-3=0D.2x-y-1=01分析圓心C(3,0),kCP=-2,由kCP·kMN=-1,得kMN=2,所以弦MN所在直線方程是y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.答案D3.(2013·西安模擬)直線x+y=1與圓x2+y2-2ay=0(a>0)沒有公共點,則a的取值范圍是AA.(0,2-1)B.(2-1,2+1)C.(-2-1,2+1)D.(0,2+1)分析圓的圓心為(0,a),半徑為a,∵直線與圓沒有公共點,|a-1|>a,解得0<a<2-1.2答案A4.(2013·山一模房)直線y=kx+3與圓(x-1)2+(y+2)2=4訂交于M,N兩點,若|MN|≥23,則k的取值范圍是BA.-∞,-12B.-∞,-1255C.-∞,12D.-∞,1255分析圓心(1,2)到直線y=kx+3的距離為d=|k+5|,1+k2圓的半徑r=2,r2-d2=2k+52∴|MN|=24-1+k2≥23,12解得k≤-5.答案B5.(2013·陽模擬沈)已知圓C1:(x-1)2+y2=2和圓C2:(x-3)2+(y-2)2=r2恰巧有3條公切線,則圓C2的周長為CA.πB.2πC.22πD.4π分析依據(jù)條件可知兩圓外切,故r+2=3-12+22=22,故r=2,則圓C2的周長為22π.答案C二、填空題(每題6分,共12分)6.(2013·大連檢測)已知圓C:(x-1)2+y2=1與直線l:x-2y+1=0訂交于A,B兩點,則|AB|=________.|1+1|25,分析圓心C到直線l的距離d=5=522425所以|AB|=2r-d=21-5=5.答案255++=與圓2+y2=2交于不一樣的兩點A、7.(2012·耒陽模擬)已知直線xym0x,是坐標原點,→→→,那么實數(shù)O|OA+OB≥m的取值范圍是________.B||AB|分析→→→即圓心到直線的距離大于或等于圓半徑的2據(jù)題意:|OA+OB≥||AB|2而小于半徑.即有2×2≤|m|<2?2≤|m|<2,∴m∈(-2,-2]∪[2,2).22答案(-2,-2]∪[2,2)三、解答題(共38分)8.(12分)求過點P(4,-1)且與圓C:x2+y2+2x-6y+5=0切于點M(1,2)的圓的方程.分析設(shè)所求圓的圓心為A(m,n),半徑為r,則A,M,C三點共線,且有|MA|=|AP|=r,因為圓C:x2+y2+2x-6y+5=0的圓心為C(-1,3),n-22-3則m-1=1+1,-12+n-22=m-42+n+12=r.m解得m=3,n=1,r=5,所以所求圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=5.9.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線y=x2-6x+1與坐標軸的交點都在圓上.(1)求圓C的方程;(2)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點,且OA⊥OB,求a的值.2與x軸的交點為(3+22,0),(3-22,0).故可設(shè)圓C的圓心為(3,t),則有32+(t-1)2=(22)2+t2,解得t=1.則圓C的半徑為32+t-12=3.所以圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x-y+a=0,其坐標知足方程組2=9.x-32+y-1消去y,獲得方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,鑒別式=56-16a-4a2>0.a2-2a+1所以x1+x2=4-a,x1x2=.①2因為OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②由①②得a=-1,知足>0,故a=-1.210.(14分)已知以點Ct,t(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A,與y軸交于點O、B,此中O為原點.(1)求證:△OAB的面積為定值;(2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程.分析
(1)證明
設(shè)圓的方程為
x2+y2+Dx+Ey=0,因為圓心
2Ct,t
4,∴D=-2t,E=-t,令y=0得x=0或x=-D=2t,∴A(2t,0),令x=0得y=0或y=-E=4,∴B0,4,tt∴S△OAB=1142|OA||OB|2|2t|t(2)∵|OM|=|ON|,∴O在MN的垂直均分線上,2而MN的垂直均分線過圓心C,∴kOC=1,∴t=1,解得t=2或t=-2,2t2而當t=-2時,直線與圓C不訂交,∴t=2,∴D=-4,E=-2,∴圓的方程為x2+y2-4x-2y=0.[講堂練通考點]2231.(2013青·島一模)圓(x-1)+y=1與直線y=x的地點關(guān)系是()3A.直線過圓心B.訂交C.相切D.相離分析:選B∵圓(x-1)2+y2=1的圓心為(1,0),半徑r=1,∴圓心到直線y=3|3|=1<1=r,應(yīng)選B.3x的距離為3+92(2013西·安質(zhì)檢)若a2+b2=2c2(c≠0),則直線ax+by+c=0被圓x2+y2=1所截得的弦長為()1A.2B.12C.2D.2分析:選D因為圓心(0,0)到直線ax+by+c=0的距離d=|c|=|c|=2,因a2+b22|c|2此依據(jù)直角三角形的關(guān)系,弦長的一半就等于1-22=2,所以弦長為2.223.(2014吉·林模擬)已知直線22=4交于不一樣的兩點A,B,Ox+y-k=0(k>0)與圓x+y是坐標原點,且有|OA+OB|≥3|AB|,那么k的取值范圍是()3A.(3,+∞)B.[2,+∞)C.[2,22)D.[3,22)分析:選C當|OA+OB|=33|AB|時,O,A,B三點為等腰三角形的三個極點,此中OA=OB,∠AOB=120°,進而圓心O到直線x+y-k=0(k>0)的距離為1,此時k=2;當k>2時|OA+OB|>33|AB|,又直線與圓x2+y2=4存在兩交點,故k<22,綜上,k的取值范圍為[2,22),應(yīng)選C.4.(2014陜·西模擬)已知點P是圓C:x2+y2+4x-6y-3=0上的一點,直線l:3x-4y-5=0.若點P到直線l的距離為2,則切合題意的點P有________個.分析:由題意知圓的標準方程為(x+2)2+(y-3)2=42,∴圓心到直線l的距離d=|-6-12-5|=23>4,故直線與圓相離,則知足題意的點P55有2個.答案:25.求過點P(4,-1)且與圓C:x2+y2+2x-6y+5=0切于點M(1,2)的圓的方程.解:設(shè)所求圓的圓心為A(m,n),半徑為r,則A,M,C三點共線,且有|MA|=|AP|=r,因為圓C:x2+y2+2x-6y+5=0的圓心為C(-1,3),則n-2=2-3,m-12+n-22=m-42+n+12=r,m-11+1解得m=3,n=1,r=5,所以所求圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=5.[課下提高考能]第Ⅰ卷:夯基保分卷1.圓x2+y2-2x+4y-4=0與直線2tx-y-2-2t=0(t∈R)的地點關(guān)系為()A.相離B.相切C.訂交D.以上都有可能分析:選C∵圓的方程可化為(x-1)2+(y+2)2=9,∴圓心為(1,-2),半徑r=3.又圓心在直線2tx-y-2-2t=0上,∴圓與直線訂交.2.圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2-4y=0的地點關(guān)系是()A.相離B.訂交C.外切D.內(nèi)切分析:選B圓O1的圓心坐標為(1,0),半徑為r1=1,圓O2的圓心坐標為(0,2),半徑r2=2,故兩圓的圓心距|O1O2|=5,而r2-r1=1,r1+r2=3,則有r2-r1<|O1O2|<r1+r2,故兩圓訂交.22截得的弦長為()3.(2013安·徽高考)直線x+2y-5+5=0被圓x+y-2x-4y=0A.1B.2C.4D.46分析:選C依題意,圓的圓心為(1,2),半徑r=5,圓心到直線的距離d=|1+4-5+5|5=1,所以聯(lián)合圖形可知弦長的一半為r2-d2=2,故弦長為4.4.過點(1,1)的直線與圓(x-2)2+(y-3)2=9訂交于A,B兩點,則|AB|的最小值為()A.23B.4C.25D.5分析:選B由圓的幾何性質(zhì)可知,當點(1,1)為弦AB的中點時,|AB|的值最小,此時|AB|2r2-d2=29-5=4.5.(2013·建模擬福)已知直線l:y=-3(x-1)與圓O:x2+y2=1在第一象限內(nèi)交于點M,且l與y軸交于點A,則△MOA的面積等于________.分析:依題意,直線l:y=-3(x-1)與y軸的交點A的坐標為(0,3).由{x2+y2=1,y=-3x-1得,點M的橫坐標xM=12,所以△MOA的面積為S=1|OA|×xM=1×3×1=3.2224答案:346.以圓C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y-25=0公共弦為直徑的圓的方程為______________.分析:法一:將兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為4x+3y-2=0.由4x+3y-2=0,解得兩交點坐標A(-1,2),B(5,-6).∵所求圓以AB為直徑,22x+y-12x-2y-13=0.∴所求圓的圓心是AB的中點M(2,-2),圓的半徑為r=1|AB|=5,∴圓的方程為(x-2)2+2(y+2)2=25.法二:易求得公共弦所在直線方程為4x+3y-2=0.設(shè)所求圓x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ≠-1),則圓心為-12λ-12,-16λ-221+λ21+λ.∵圓心在公共弦所在直線上,∴4×-12λ-1216λ-2122+3--2=0,解得λ=.故所求圓的方程為x+y-4x+4y-1721+λ21+λ20.答案:x2+y2-4x+4y-17=0已知圓C的圓心與點P(-2,1)對于直線y=x+1對稱,直線3x+4y-11=0與圓C訂交于A,B兩點,且|AB|=6,求圓C的方程.解:設(shè)點P對于直線y=x+1的對稱點為C(m,n),1+n-2+m2=2+1,m=0,則由?n=-1.n-11·1=-m+2故圓心C到直線3x+4y-11=0的距離d=|-4-11|=3,9+16所以圓C的半徑的平方r2=d2+|AB|2=18.4故圓C的方程為x2+(y+1)2=18.8.已知點M(3,1),直線ax-y+4=0及圓(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求過M點的圓的切線方程;(2)若直線ax-y+4=0
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