數(shù)學(xué)人教A版（2023）選擇性必修第三冊(cè)8.2.1一元線性回歸模型（共18張ppt）

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8.2.1一元線性回歸模型

一、線性相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)

引

01

復(fù)習(xí)鞏固

散點(diǎn)集中于一條直線上

(1)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．

樣本相關(guān)系數(shù)r可以反映兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度

線性相關(guān)程度越強(qiáng)

0

1

線性相關(guān)程度越弱

(2)

（3）當(dāng)|r|=1時(shí)，樣本點(diǎn)（散點(diǎn)）集中于某條直線（都在直線上）；

（4）當(dāng)r=0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系。

評(píng)

01

復(fù)習(xí)鞏固

A．r2<r4<0<r3<r1

B．r4<r2<0<r1<r3

C．r4<r2<0<r3<r1

D．r2<r4<0<r1<r3

A

引

01

問(wèn)題情境

散點(diǎn)圖成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性；

樣本線性相關(guān)系數(shù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性和線性相關(guān)程度.

定量

分析

統(tǒng)計(jì)分析預(yù)測(cè)

服務(wù)

能否像建立函數(shù)模型刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型刻畫(huà)兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系。

進(jìn)而利用這個(gè)模型研究?jī)蓚€(gè)變量之間的隨機(jī)關(guān)系，并通過(guò)模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

評(píng)

02

建構(gòu)新知

引

01

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解一元線性回歸模型的表達(dá)式及模型中參數(shù)的意義；

2.通過(guò)用數(shù)學(xué)方法刻畫(huà)散點(diǎn)與直線接近的程度，體會(huì)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)原理，能推導(dǎo)參數(shù)估計(jì)公式，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

4.通過(guò)對(duì)殘差和殘差圖的分析，能用殘差判斷一元線性回歸模型的有效性，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力.

核心素養(yǎng)：直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)建模.

重點(diǎn)：能根據(jù)實(shí)例，通過(guò)分析變量間的關(guān)系建立一元線性回歸模型．

難點(diǎn)：參數(shù)估計(jì)值公式的推導(dǎo)，利用殘差分析回歸模型

評(píng)

02

研讀課本P105-P112,并思考下面的問(wèn)題

1.根據(jù)表8.2-1中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用什么樣的函數(shù)模型刻畫(huà)？

2.為什么要假設(shè)E(e)=0,而不假設(shè)其為某個(gè)不為0的常數(shù)？

3.在一元線性回歸模型（1）中，參數(shù)b的含義是什么？

4.當(dāng)x=176時(shí)，,如果一位父親身高為176cm,他兒子長(zhǎng)大后身高一定能長(zhǎng)到177cm嗎？為什么？

評(píng)

02

建構(gòu)新知

生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們,兒子的身高與父親的身高相關(guān).一般來(lái)說(shuō),父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究?jī)烧咧g的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表1所示.

根據(jù)上節(jié)課的方法:樣本線性相關(guān)系數(shù)r=0.886．

父親身高/cm

180

175

170

165

160

160

165

170

175

180

185

190

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兒子身高/cm

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185

可知：兒子的身高與父親的身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)．

追問(wèn)1:是否可以用函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)？

評(píng)

02

建構(gòu)新知

追問(wèn)2:影響兒子身高的其他因素是什么？

父親身高/cm

180

175

170

165

160

160

165

170

175

180

185

190

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兒子身高/cm

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185

由于兒子身高與父親身高線性相關(guān)，用表示父親身高，Y表示兒子的身高

（e表示各種其它隨機(jī)因素影響之和，稱e為隨機(jī)誤差）

由于隨機(jī)誤差表示大量已知和未知的各種影響之和，它們會(huì)相互抵消，為使問(wèn)題簡(jiǎn)潔，可以假設(shè)隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無(wú)關(guān)的定值.

①

稱①式為一元線性回歸模型

解釋變量x(身高)

隨機(jī)誤差e(其它所有變量)

響應(yīng)變量Y(體重)

評(píng)

02

建構(gòu)新知

①

對(duì)于一名男大學(xué)生的父親身高為,

而男大學(xué)生的實(shí)際身高（觀測(cè)值）不一定就等于模型得到的均值,

評(píng)

02

建構(gòu)新知

(1)除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素,比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時(shí)間等.

(2)在測(cè)量?jī)鹤由砀邥r(shí)，由于測(cè)量工具、測(cè)量精度所產(chǎn)生的測(cè)量誤差.

(3)實(shí)際問(wèn)題中,我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來(lái)近似這種關(guān)系,這種近似關(guān)系也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.

產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因有：

8.2.2一元線性回歸模型的參數(shù)的最小二乘估計(jì)

評(píng)

02

建構(gòu)新知

在一元線性回歸模型中，表達(dá)式Y(jié)=bx+a+e，刻畫(huà)的是變量Y與變量x之間的線性關(guān)系，但其中參數(shù)a和b未知。

評(píng)

02

建構(gòu)新知

1.最小二乘法

我們將稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線，這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫最小二乘法．

“二乘”意為乘方

評(píng)

02

建構(gòu)新知

依據(jù)用最小二乘估計(jì)一元線性回歸模型參數(shù)的公式,求出兒子身高Y關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：

評(píng)

02

建構(gòu)新知

1)當(dāng)x=176時(shí)，,如果一位父親身高為176cm,他兒子長(zhǎng)大后身高一定能長(zhǎng)到177cm嗎？為什么？

不一定,

因?yàn)檫€有其他影響兒子身高的因素，回歸模型中的隨機(jī)誤差清楚地表達(dá)了這種影響.

我們可以作出推測(cè):當(dāng)父親的身高為176cm時(shí)，兒子身高一般在177cm左右.

2)斜率0.839有什么含義？

0.839可以解釋為父親身高每增加1cm，其兒子的身高平均增加0.839cm.

但由模型可以發(fā)現(xiàn)，高個(gè)子父親x=185（cm），則

評(píng)

02

建構(gòu)新知

父親身高/cm

180

175

170

165

160

160

165

170

175

180

185

190

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兒子身高/cm

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