基于響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)模型修正

基于響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)模型修正

模型的修正問題自引入以來，我們在新的有限單元、有效的數(shù)值解算方法、模型網(wǎng)格的排序和預(yù)處理方面做了大量研究工作。然而,建立結(jié)構(gòu)有限元分析模型時需要對結(jié)構(gòu)幾何、材料和邊界條件等進(jìn)行一定的假定和近似處理。直接建立的結(jié)構(gòu)有限元模型分析預(yù)測的結(jié)果通常和實際結(jié)構(gòu)或試驗結(jié)果存在差別,有時這種誤差會很大。有限元模型修正就是一個試圖通過識別或修正有限元分析模型中的參數(shù),使有限元計算結(jié)果與實際結(jié)構(gòu)盡可能接近的過程,通常屬于優(yōu)化問題范疇。有限元模型修正一般直接對所建立的有限元模型進(jìn)行修正,方法有基于矩陣型的修正方法和基于設(shè)計參數(shù)型的修正方法。參數(shù)型方法修正對象是結(jié)構(gòu)的物理或者幾何參數(shù),修正后的模型物理意義明確,逐漸成為研究的主流。當(dāng)前普遍采用的基于參數(shù)局部靈敏度的有限元模型修正分析法,最后都?xì)w結(jié)為一個逐步迭代的優(yōu)化問題,由于只反映了參數(shù)在某設(shè)計點處的靈敏度,在迭代過程中需要求解高維、非線性的優(yōu)化問題,計算效率低且精度難以保證。每一個參數(shù)的每一次改變,都需要調(diào)用有限元程序重新進(jìn)行計算,不易于工程實際應(yīng)用。特別是當(dāng)有限元模型單元數(shù)目增加,計算量巨大,修正參數(shù)選擇和迭代收斂是一個大問題?；陧憫?yīng)面(Responsesurface)模型的有限元模型修正方法,首先在參數(shù)的整個設(shè)計空間范圍內(nèi)利用實驗設(shè)計和回歸分析技術(shù),以顯式的響應(yīng)面模型逼近特征量與設(shè)計參數(shù)間復(fù)雜的隱式函數(shù)關(guān)系,得到簡化的結(jié)構(gòu)模型(Meta-model),代替原有的有限元模型,然后在其基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代修正,避開了每次迭代都進(jìn)行有限元計算,大大提高計算效率,成為近年有限元模型修正的一個主要方向。1基于響應(yīng)面的有限元模型修正理論響應(yīng)面方法是實驗設(shè)計與數(shù)理統(tǒng)計相結(jié)合的方法,基于響應(yīng)面的有限元模型修正理論,主要包括樣本選取、方差分析的參數(shù)選取、響應(yīng)面的擬合以及利用響應(yīng)面進(jìn)行有限元模型修正。1.1結(jié)構(gòu)有限元模型的實驗設(shè)計方法樣本的選取關(guān)系到所回歸響應(yīng)面的精度以及成本。樣本選取太少不能完全反應(yīng)出系統(tǒng)的特征,而取的樣本數(shù)過多,在一定程度上能得到較好的精度效果,但是又客觀上提高了成本。實際應(yīng)用中主要視所分析的對象,所感興趣的特征量以及所選取的實驗設(shè)計方法來確定樣本。實驗設(shè)計方法有析因?qū)嶒炘O(shè)計、中心復(fù)合設(shè)計(CCD)、Box-Behnken設(shè)計以及D-最優(yōu)設(shè)計等。本文針對結(jié)構(gòu)有限元模型修正的特點,采取中心復(fù)合設(shè)計法和如下的二次多項式響應(yīng)面模型:根據(jù)每個因素的±1兩個水平值(分別代表該因素的最大和最小水平),利用正交表構(gòu)造一個Ln(2m)的實驗方案,進(jìn)行n次實驗。在第一批實驗結(jié)束之后,在中心點(0,0,…,0)作n0次重復(fù)實驗,對數(shù)值實驗來說,只作一次實驗即可,即n0=1。第三批實驗是在每個因素的坐標(biāo)軸上,取臂長為±a的兩個對稱點作為實驗樣本點,m個因素共有2m個點。三次實驗總共取了N=m+n0+2m個樣本點。這N個點分布在以中心點位于球心的兩個同心球上,如圖1所示(二因素)。將這N個樣本點的實驗結(jié)果代入上式,應(yīng)用回歸便可求得式中的各項未知參數(shù)。1.2f值的檢驗方差分析首先求得樣本數(shù)據(jù)中由因素引起的偏差平方和(SSA)以及由誤差引起的偏差平方和(SSe),分別除于各自自由度得均方回歸(MSR)和均方殘差(MSE),然后求出F值,應(yīng)用F值檢驗法進(jìn)行假設(shè)檢驗,找出顯著性參數(shù)。如果對有限元模型的設(shè)計參數(shù)(因素)A進(jìn)行F檢驗,統(tǒng)計量為:式中:fA和fe分別為因素和偏差的自由度。對于給定的顯著性水平α,F檢驗法則為:若F≥F1-α(fA,fe),則認(rèn)為設(shè)計參數(shù)A影響顯著,否則認(rèn)為不顯著。1.3回歸模型的建立與驗證響應(yīng)面法是數(shù)學(xué)方法和統(tǒng)計方法結(jié)合的產(chǎn)物,用于處理復(fù)雜系統(tǒng)的輸入(隨機(jī)變量)與輸出(系統(tǒng)響應(yīng))的轉(zhuǎn)換關(guān)系問題。有限元模型修正中,通常將完全二次多項式作為響應(yīng)函數(shù),如式(1)所示,其中,β0,βi,βij為待定系數(shù),得到樣本集之后,常常利用最小二乘回歸分析來確定。響應(yīng)面回歸精度的檢驗原則:用式(3)、式(4)及式(5)來檢驗響應(yīng)面模型精度,符合要求則進(jìn)行設(shè)計參數(shù)修正,不符合則重新進(jìn)行實驗設(shè)計:式中:yRS代表響應(yīng)面模型的計算值;y代表真值即有限元計算結(jié)果;y軃代表真值的平均值。若r2值越大,則得到的回歸模型就越接近實際情況;r2值越小,且小到一定的限制范圍時,應(yīng)重新進(jìn)行實驗設(shè)計。EISE值、RMSE值則與r2值情況相反。有限元模型修正可歸結(jié)為以下的優(yōu)化問題:式中:p為設(shè)計參數(shù);{fE}{fA}分別是分析與實驗特征量;VLB,VUB是設(shè)計空間范圍;R為殘差。2初始有限元模型的修正圖2所示簡支梁長6m,矩形截面尺寸為0.25m×0.2m。有限元模型采用平面梁單元,共有15個單元。材料特性:彈性模量E=3.2×104MPa,慣性矩I=1.66×10-4m4,密度為2500kg/m3。采用單元剛度降低的方法模擬損傷(實際的梁),將損傷后梁的特征頻率作為“實驗”數(shù)據(jù)。損傷假定單元10的彎曲剛度降低50%。將沒有損傷梁的有限元模型作為初始有限元模型,損傷梁為實際真實的梁。選取修正參數(shù),進(jìn)行中心復(fù)合設(shè)計(CCD)并分析其顯著性,得到擬合的二次多項式形式響應(yīng)面,利用擬合的響應(yīng)面模型進(jìn)行迭代計算從而修正初始有限元模型到真實的梁模型。模型中選第10單元的彈性模量(x1)和慣性矩(x2)作為修正參數(shù),分別用傳統(tǒng)的靈敏度方法和響應(yīng)面方法進(jìn)行修正,取前五階理論模態(tài)(無損梁)與“實測”(損傷梁)模態(tài)頻率殘差為修正目標(biāo)函數(shù)。確定單元10的彈性模量及慣性矩的取值范圍,進(jìn)行中心復(fù)合設(shè)計。將各實驗參數(shù)分別代入有限元中求得特征量樣本值,對樣本參數(shù)進(jìn)行顯著性分析,即應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的F檢驗法分析所選參數(shù)對特征頻率的顯著性,計算各參數(shù)的統(tǒng)計特征量的顯著水平并與5%作比較,如圖3、圖4所示,圖中分別為參數(shù)對一階、二階頻率的顯著性情況。由圖可以看出,單元10的彈性模量及慣性矩這對各階模型特征量都高度顯著。選取修正參數(shù)后,應(yīng)用回歸分析技術(shù)對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行響應(yīng)面擬合,顯著性分析表明,交叉項對該模型的顯著性較參數(shù)的主效應(yīng)要明顯的小得多,故采用完全二次多項式對該樣本值進(jìn)行響應(yīng)面回歸,結(jié)果如圖5、圖6所示。回歸的響應(yīng)面可靠與否還需要對其進(jìn)行精度檢驗,計算得各階回歸標(biāo)準(zhǔn)差值如表1所示,各階的RMSE值基本上都接近于0,表明回歸的模型的精度很高,即可以用回歸的響應(yīng)面模型代替原有的有限元模型?；陧憫?yīng)面方法有限元模型修正結(jié)果如表2所示,為了比較,同時采用基于靈敏度方法對該有限元模型進(jìn)行了參數(shù)修正。兩種修正方法的計算結(jié)果表明,修正后的有限元模型計算頻率較修正前更接近于目標(biāo)值,修正后的參數(shù)較真值十分接近,兩種方法都能很好地對初始有限元模型進(jìn)行修正。圖7和圖8是用同一目標(biāo)函數(shù)分別用靈敏度法及響應(yīng)面法得到的目標(biāo)函數(shù)收斂情況,從圖中可以看出,采用靈敏度法修正收斂速度較慢,而響應(yīng)面法進(jìn)行迭代時只需迭代8次就能達(dá)到收斂,收斂速度快,且在迭代過程中不需要在有限元分析軟件中進(jìn)行,較靈敏度方法其計算效率大大提高。3有限元模型修正洪塘大橋坐落于福州市西郊,橫跨閩江,是316國道一座大型橋梁(圖9),大橋于1990年年底竣工通車。該橋跨徑組合為(16m+27m+4×30m+60m+120m+60m+31×40m+8×25m),全長1843m,橋面凈寬9m,為雙向兩車道。結(jié)構(gòu)體系包括簡支、三角形T構(gòu)和連續(xù)梁。2004年7月對該橋六跨(6×40m)連續(xù)梁部分進(jìn)行了環(huán)境振動實驗,并用模態(tài)柔度殘差和基于靈敏度的方法進(jìn)行了有限元模型修正。本文采用響應(yīng)面方法對該橋初始有限元模型進(jìn)行修正,并與靈敏度修正方法進(jìn)行比較。有限元初始模型和自振特性計算由有限元通用軟件ANSYS完成。建立的平面有限元模型共87個節(jié)點,159個單元,其中79個平面梁單元,73個質(zhì)量單元,和7個連接梁單元。柱與梁之間的連接采用0.01m長的梁單元來模擬,通過控制梁單元的面積與慣性矩的大小來模擬支座剛度變化。通過對橋面單元節(jié)點添加質(zhì)量以考慮橋面結(jié)構(gòu)的自重,有限元模型如圖10所示。實測和初始有限元模型計算的頻率比較如表3所示。顯然,橋面梁單元的剛度對特征量(頻率)有直接的影響,此外,橋梁振動頻率值的大小與支座約束情況有很大的關(guān)系。洪塘大橋采用橡膠支座,根據(jù)《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》(JTGD62—2004)中的第8.4條,可以計算出橡膠支座的剛度,作為有限元模型修正的初始值。由于支座的腐蝕和老化,用規(guī)范方法計算所得的剛度并不能準(zhǔn)確地反應(yīng)支座實際剛度,鑒于支座實際剛度確定的不確定因素較多,故在對該參數(shù)進(jìn)行修正過程中,參數(shù)變化范圍可放的更寬些。本文采用一“短梁”模擬支座的剛度,通過“短梁”單元面積和慣性矩的變化來控制支座的約束剛度。選擇橋面梁單元材料的彈性模量(x1)、邊支座梁單元的面積(x2)與中間支座梁單元的面積(x3)作為修正參數(shù),支座梁單元慣性矩隨面積的變化而變化,因此在修正面積的同時支座梁單元的線剛度、轉(zhuǎn)動剛度也發(fā)生變化。有限元模型修正以計算頻率和實測頻率的殘差作為目標(biāo)函數(shù)。利用中心復(fù)合設(shè)計方法進(jìn)行設(shè)計各個參數(shù)的最大最小值選取如表4所示。根據(jù)該表可以得到中心復(fù)合設(shè)計的幾組不同組合的參數(shù)值,將各組參數(shù)分別用有限元軟件計算其特征值(頻率)從而得到樣本值。對各個參數(shù)進(jìn)行顯著性分析如圖11所示,可以看出,在所選的這三個修正參數(shù)中,彈性模量相對其他兩個參數(shù)對特征值的顯著性更為明顯,其值較小的變化都可能引起特征頻率值發(fā)生明顯的變化,因此對彈性模量參數(shù)變換范圍選取應(yīng)更慎重一些。對實驗設(shè)計計算得到的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行二次多項式響應(yīng)面回歸,分別考慮用完全二次多項式和只考慮主效應(yīng)的二次多項式兩種模型進(jìn)行回歸,回歸相關(guān)性r2值分別如下表5和表6所示?？梢钥闯?用完全二次多項式和只考慮主效應(yīng)的二次多項式兩種模型進(jìn)行回歸的精度相差不多,都能準(zhǔn)確反映出模型的特征,從而在進(jìn)行響應(yīng)面分析中,回歸的響應(yīng)面形式是多項式情況時,可以忽略交叉項的影響,達(dá)到簡化的目的。采用忽略交叉項的二次響應(yīng)面模型進(jìn)行回歸,以一階頻率為例,回歸后的系數(shù)如表7所示,回歸的一階響應(yīng)面模型如圖12所示。在進(jìn)行參數(shù)修正時,由于特征值的關(guān)系與橋面單元的彈性模量的關(guān)系極度顯著,即在這種情況下進(jìn)行修正時,對于參數(shù)范圍的選取至關(guān)重要,所選的范圍直接影響著修正后參數(shù)值的大小。其次是初始參數(shù)值的選取,選取的值應(yīng)盡量落在極值點附近。利用得到的響應(yīng)面方程,應(yīng)用最優(yōu)化理論在響應(yīng)面內(nèi)進(jìn)行迭代修正,本文用單目標(biāo)進(jìn)行修正,取前5階頻率,并假定各階頻率的差異性相同,即各階頻率的權(quán)值均取為1。頻率目標(biāo)函數(shù)的收斂曲線如圖13所示,修正后的頻率值如表8所示。從修正的結(jié)果來看,修正后的頻率較初始值有了較大的改善,能達(dá)到修正的效果。從修正的參數(shù)結(jié)果來看,彈性模量的變化在合理的范圍內(nèi),而支座參數(shù)出現(xiàn)了較大改變,這與支座單元剛度的不確定性有關(guān)。本例結(jié)果表明,基于響應(yīng)面的有限元模型修正方法,可以實現(xiàn)實橋的有限元模型的修正。與基于靈敏度分析的有限元模型修正相比,迭代過程中不需要在有限元分析軟件中進(jìn)行,目標(biāo)函數(shù)收斂較快,其計算效率大大提高。4結(jié)構(gòu)模型的迭代修正利用響應(yīng)面這一新的方法對數(shù)值模擬算例和六跨連續(xù)梁實橋的有限元模型進(jìn)行了修正,并與傳統(tǒng)的基于靈敏度分析的有限元模型修