廣東省梅州市泗水中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

廣東省梅州市泗水中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)的最大值為2，則a的值為（

）A．±1

B．－1

C．1

D．不存在參考答案：A2.在區(qū)間(0,2)上隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)x，y，滿足的概率為，則實(shí)數(shù)k＝(

)A.2 B.4 C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)題意作出平面區(qū)域，結(jié)合與面積有關(guān)的幾何概型，即可求出結(jié)果.【詳解】在區(qū)間上隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則對應(yīng)的區(qū)域?yàn)檫呴L為2的正方形區(qū)域，其面積為；在正方形區(qū)域內(nèi)作出所表示的圖像如下：陰影部分所表示區(qū)域，即為所表示區(qū)域；由得，因此陰影部分面積為，因?yàn)樵趨^(qū)間上隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，滿足概率為，所以，解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查與面積有關(guān)的幾何概型，熟記概率計(jì)算公式即可，屬于?？碱}型.3.若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y=x對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合半徑可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為圓心與點(diǎn)關(guān)于對稱，解得：，即圓心坐標(biāo)為圓方程為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，關(guān)鍵是能夠利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的求法求得圓心坐標(biāo).4.下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A.

B.C.

D.參考答案：B略5.函數(shù)y=的值域是

（

）A.［－1，1］

B.（－1，1］

C.［－1，1）

D.（－1，1）參考答案：B略6.當(dāng)時(shí)，的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A7.三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為（

）

A.

B.C．

D.參考答案：A略8.一船沿北偏西45°方向航行，看見正東方向有兩個(gè)燈塔A，B，AB=10海里，航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏東60°，另一燈塔在船的南偏東75°，則這艘船的速度是每小時(shí)（）A．5海里 B．5海里 C．10海里 D．10海里參考答案：D【考點(diǎn)】HU：解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意作出對應(yīng)的三角形，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖所示，∠COA=135°，∠AOC=∠ACB=∠ABC=15°，∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10．△AOC中，由正弦定理可得，∴OC=5，∴v==10，∴這艘船的速度是每小時(shí)10海里，故選：D．9.已知函數(shù)，記，則大小關(guān)系是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A所以函數(shù)R上單調(diào)遞減；10.直線的位置關(guān)系是(

)

（A）平行

（B）垂直

（C）相交但不垂直（D）不能確定參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y=在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：﹣5＜a≤﹣1【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)題意，將題中的函數(shù)分離常數(shù)，變形為，進(jìn)而研究反比例函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是一個(gè)單調(diào)減的函數(shù)，從而得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)y==函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象先向右平移a個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位而得∵函數(shù)在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞減，∴，可得﹣5＜a≤﹣1故答案為：﹣5＜a≤﹣1【點(diǎn)評】本題以分式函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，屬于基礎(chǔ)題．題中的分式函數(shù)與反比例函數(shù)有關(guān)，因此用反比例函數(shù)的圖象研究比較恰當(dāng)．12.函數(shù)f（x）=ax﹣1+4（其中a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)是

．參考答案：（1，5）【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象恒過定點(diǎn)（0，1），即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：函數(shù)f（x）=ax﹣1+4（其中a＞0且a≠1），令x﹣1=0，解得x=1；當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=a0+4=5，所以函數(shù)f（x）的圖象恒過定點(diǎn)P（1，5）．即P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，5）．故答案為：（1，5）．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象恒過定點(diǎn)（0，1）的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．13.已知函數(shù)，則的值等于______________.參考答案：略14.給出下列命題：①存在實(shí)數(shù)，使；②若是第一象限角，且，則；③函數(shù)是偶函數(shù)；④函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．其中正確命題的序號是____________．（把正確命題的序號都填上）參考答案：③

15.關(guān)于下列命題，正確的序號是

。①函數(shù)最小正周期是；

②函數(shù)是偶函數(shù)；③函數(shù)的一個(gè)對稱中心是（，0）；④函數(shù)在閉區(qū)間上是增函數(shù)。參考答案：①③16.已知，．則=______

__.參考答案：略17.已知直線與圓，則上各點(diǎn)到的距離的最小值為___________.參考答案：圓心到直線的距離為，又圓的半徑為，所以上各點(diǎn)到的距離的最小值為。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）某制造商某月內(nèi)生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽樣100個(gè)進(jìn)行檢查，測得每個(gè)球的直徑（單位：mm），將數(shù)據(jù)分組如下表：分組頻數(shù)頻率[39.95，39.97）10

[39.97，39.99）30

[39.99，40.01）50

[40.01，40.03]10

合計(jì)100

（1）請?jiān)谏媳碇醒a(bǔ)充完成頻率分布表，并在上圖中畫出頻率分布直方圖；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這批乒乓球直徑的平均值與中位數(shù)（結(jié)果保留三位小數(shù)）．參考答案：考點(diǎn)： 頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．專題： 圖表型；概率與統(tǒng)計(jì)．分析： （1）根據(jù)所給的頻數(shù)和樣本容量，用頻數(shù)除以樣本容量做出每一組數(shù)據(jù)對應(yīng)的頻率，填入表中，畫出對應(yīng)的頻率分步直方圖．（2）做出每一組數(shù)據(jù)的區(qū)間的中點(diǎn)值，用這組數(shù)據(jù)的中間值分別乘以對應(yīng)的這個(gè)區(qū)間的頻率，得到這組數(shù)據(jù)的總體平均值，中位數(shù)出現(xiàn)在概率是0.5的地方．解答： （1）根據(jù)所給的頻數(shù)和樣本容量做出每一組數(shù)據(jù)對應(yīng)的頻率，填入表中，畫出對應(yīng)的頻率分步直方圖，分組 頻數(shù) 頻率[39.95，39.97） 10 0.1[39.97，39.99） 30 0.3[39.99，40.01） 50 0.5[40.01，40.03] 10 0.1合計(jì) 100 1（2）整體數(shù)據(jù)的平均值約為39.96×0.10+39.98×0.30+40.00×0.50+40.02×0.10=39.992（mm）最左邊的兩個(gè)小矩形的面積是0.1+0.3=0.4，最高的小矩形的面積是0.5，故可設(shè)中位數(shù)是x則x=39.99+=39.994由此知，此組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是39.994，平均數(shù)是39.992（mm）點(diǎn)評： 本題考查頻率分步直方圖，考查用樣本分步估計(jì)總體分布，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題，題目的運(yùn)算量不大，一般不會出錯．19.已知函數(shù)（a＞0，a≠1）．（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）當(dāng)x∈（n，a﹣2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實(shí)數(shù)a與n的值．參考答案：【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求函數(shù)的定義域看是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后在用奇偶函數(shù)的定義判斷，要注意到代入﹣x時(shí)，真數(shù)是原來的倒數(shù)，這樣就不難并判斷奇偶性．（2）用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，首先在所給的區(qū)間上任取兩個(gè)自變量看真數(shù)的大小關(guān)系，然后在根據(jù)底的不同判斷函數(shù)單調(diào)性．（3）要根據(jù)第二問的結(jié)論，進(jìn)行分類討論，解出兩種情況下的實(shí)數(shù)a與n的值．【解答】解：（1）由得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）∪（﹣∞，﹣1），…又所以f（x）為奇函數(shù)．

…（2）由（1）及題設(shè)知：，設(shè)，∴當(dāng)x1＞x2＞1時(shí)，∴t1＜t2．…當(dāng)a＞1時(shí)，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．…（3）①當(dāng)n＜a﹣2≤﹣1時(shí)，有0＜a＜1．由（2）可知：f（x）在（n，a﹣2）為增函數(shù)，…由其值域?yàn)椋?，+∞）知，無解

…②當(dāng)1≤n＜a﹣2時(shí)，有a＞3．由（2）知：f（x）在（n，a﹣2）為減函數(shù)，由其值域?yàn)椋?，+∞）知…得，n=1．…20.已知數(shù)列{an}滿足,．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（Ⅲ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）見證明（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列定義證明，（Ⅱ）先求，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明，（Ⅲ）先化簡，再利用裂項(xiàng)相消法求和得，最后根據(jù)最大值得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）且,是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)時(shí),（2）假設(shè)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),結(jié)論成立，由（1）（2）得,（Ⅲ）因?yàn)椤军c(diǎn)睛】本題考查證等比數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法以及裂項(xiàng)相消法求和，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.21.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長．參考答案：【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案，（2）根據(jù)兩角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根據(jù)正弦定理可得bc=8，根據(jù)余弦定理即可求出b+c，問題得以解決．【解答】解：（1）由三角形的面積公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴co