歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類(lèi)匯編01集合

1/2歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類(lèi)匯編專(zhuān)題01集合第一緝1．【2021年江西預(yù)賽】集合M是集合A={1，2，…，100}的子集，且M中至少含有一個(gè)平方數(shù)或者立方數(shù)，則這種子集M的個(gè)數(shù)是 .【答案】288【解析】集合A={1,2,?,100}中的平方或者立方數(shù)構(gòu)成集合B={1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81,100},其中有12個(gè)元素,從A中挖去集合B后剩下的元索構(gòu)成集合C,則C中有88個(gè)元索,由于C的子集有288個(gè),B的非空子集有212集M可表示為M=B0∪C0形式,其中B0是B的任一非空子集,C0是C2．【2021年浙江預(yù)賽】給定實(shí)數(shù)集合A,B,定義運(yùn)算A?B={x∣x=ab+a+b,a∈A,b∈B}.設(shè)A={0,2,4,?,18},B={98,99,100},則A?B中的所有元素之和為 .【答案】29970【解析】由x=(a+1)(b+1)?1,則可知所有元素之和為(1+3+?+19)×300?3×10=29970.3．【2021年廣西預(yù)賽】集合M={1,2,3,4,5,6}的所有子集的元素的和等于 .【答案】672【解析】所有子集的元素的和為25(1+2+3+4+5+6)=6724．【2021年新疆預(yù)賽】若實(shí)數(shù)集合{3,6,9,x}的最大元素與最小元素之積等于該集合的所有元素之和，則x的值為 .【答案】94【解析】若x是最大元素，則3x=18+x,解得x=9,不合題意；若x是最小元素，則9x=18+x,解得x=94若x既不是最大元素也不是最小元素，則27=18+x,解得x=9,不合題意；所以x=945．【2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試】設(shè)集合A={1,2,m},其中m為實(shí)數(shù).令B=a【答案】?8【解析】由條件知1,2,注意到,當(dāng)m為實(shí)數(shù)時(shí),1+2+4+m+m2>66．【2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】設(shè)集合X={1,2,?,20},A是X的子集,A的元素個(gè)數(shù)至少是2,且A的所有元素可排成連續(xù)的正整數(shù),則這樣的集合A的個(gè)數(shù)為 .【答案】190【解析】每個(gè)滿足條件的集合A可由其最小元素a與最大元素b唯一確定,其中a,b∈X,a<b,這樣的(a,b)的取法共有C202=1907．【2020年福建預(yù)賽】已知[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),集合A=x∣x2?x?6<0,B=x∣2x2?3[x]?5=0【答案】?1,22【解析】易知,A=(?2,3).若x∈A,則[x]=?2,?1,0,1,2.當(dāng)[x]=?2時(shí),若x∈B,則2x2x不存在.當(dāng)[x]=?1時(shí),若x∈B,則2x經(jīng)檢驗(yàn),x=1不符合要求,x=?1符合要求.當(dāng)[x]=0時(shí),若x∈B,則2x2均不符合要求.當(dāng)[x]=1時(shí),若x∈B,則2x2均不符合要求.當(dāng)[x]=2時(shí),若x∈B,則2x2經(jīng)檢驗(yàn),x=222符合要求,x=?2228．【2020年甘肅預(yù)賽】設(shè)集合:A=(x,y)∣logax+logay>0,B=|(x,y)|x+y<a}.若A∩B=?,則【答案】(1,2]【解析】若a>1,則A={(x,y)∣xy>1}.而當(dāng)x+y=a與xy=1相切時(shí)，x+1x于是,當(dāng)a∈(1,2]時(shí),A∩B=?.若a<1,則A={(x,y)∣xy<1},此時(shí)，A∩B≠?.綜上,a∈(1,2].9．【2020年廣西預(yù)賽】已知集合M={1,2,?,2020},對(duì)M的任意非空子集A,λA為集合A中最大數(shù)與最小數(shù)的和.則所有這樣的λA的算術(shù)平均數(shù)為 【答案】2021【解析】考慮M的子集A'={2021?x∣x∈A}.若A'=A,則λA'=λA=2021.若A'≠A,設(shè)A中最大數(shù)為a,最小數(shù)為b故所求算術(shù)平均數(shù)為2021.10．【2020年廣西預(yù)賽】設(shè)集合M={1,2,?,2020},A?M,且對(duì)集合A中的任意元素x,4x?A.則集合A的元索個(gè)數(shù)的最大值為 .【答案】1616【解析】首先,構(gòu)造404個(gè)集合{k,4k},其中，k=1;8,9,?,31;127,128,?,505.其次,集合M中的數(shù)除前述已提到的808個(gè)外,剩下的每個(gè)數(shù)x單獨(dú)構(gòu)成一個(gè)集合{x},有1212個(gè).共404+1212=1616個(gè)集合.據(jù)抽臣原理,知若集合A中有多于1616個(gè)數(shù),則必有兩個(gè)數(shù)取自上述同一集合.從而,存在x,4x∈A,矛盾.故集合A中至多有1616個(gè)數(shù),滿足條件的一個(gè)集合是A={2,3,?,7,32;33,?,126,506,507,?,2020}.11．【2020年吉林預(yù)賽】已知集合A={x∣loga(ax?1)>1}.若2∈A,則a的取值范圍是 【答案】(1【解析】由題意,得loga(2a?1)>1.則{0<a<1,0<2a?1<a解得12<a<1或12．【2020年浙江預(yù)賽】一個(gè)正整數(shù)若能寫(xiě)成20a+8b+27c(a,b,c∈N)形式,就稱(chēng)其為“好數(shù)".則集合{1,2,?,200}中好數(shù)的個(gè)數(shù)為【答案】153【解析】先考慮20a+8b=4(5a+2b).5a+2b可取2,4,5,6,?,50.則20a+8b可取8,16,20,24,?,200.故當(dāng)c=0時(shí)共有48個(gè)非零好數(shù)(4k型）；c=1時(shí)共有42個(gè)好數(shù)(4k+3型),此時(shí)好數(shù)為27,35,43,47,?,199;c=2時(shí)共有35個(gè)好數(shù)(4k+2型),此時(shí)好數(shù)為54,62,70,74,?,198;c=3時(shí)共有28個(gè)好數(shù)(4k+1型),此時(shí)好數(shù)為81,89,97,101,?,197.綜上,共有48+42+35+28=153個(gè)好數(shù).13．【2020年新疆預(yù)賽】已知集合A={1,2,3,?,2020},對(duì)于集合A的每一個(gè)非空子集的所有元素，計(jì)算它們乘積的倒數(shù).則所有這些倒數(shù)的和為 .【答案】2020【解析】集合A的22020?1個(gè)非空子集中，每一個(gè)集合的所有元素之積分別為：1，2，…，2020,1×2,1×3?,2019×2020,?,1×2×?×20201+1=(1+1)(1+1214．【2019年全國(guó)】若實(shí)數(shù)集合1,2,3,x的最大元素與最小元素之差等于該集合的所有元素之和，則x的值為 .【答案】?【解析】由題意知，x為負(fù)值，∴3?x=1+2+3+x?x=?315．【2019年江蘇預(yù)賽】已知集合A=x|x2?3x+2≥0，B={x|x?a≥1}，且【答案】2【解析】A=x|x≥2或x≤1，B={x|x≥a+1}.又A∩B={x|x≥3}，故a+1=3，解得a=216．【2019年江西預(yù)賽】將集合{1,2,?,19}中每?jī)蓚€(gè)互異的數(shù)作乘積,所有這種乘積的和為 .【答案】16815【解析】所求的和為117．【2019年新疆預(yù)賽】已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,8，A=1,2,3,4,5，B=4,5,6,7,8，則是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合BB的子集的集合個(gè)數(shù)為 【答案】196【解析】解法一:因?yàn)锳∪B=U，且A∩B=4,5，所以滿足題意的集合所含的元素至少在1,2,3中取一個(gè)且至少在6,7,8中取一個(gè)，集合4,5中的元素可取或不取，于是滿足題意的集合共有2解法二:集合U的子集個(gè)數(shù)為28，其中是集合A或集合B的子集個(gè)數(shù)為25+18．【2019年浙江預(yù)賽】已知集合A=k+1,k+2,?,k+n,k,n為正整數(shù)，若集合A中所有元素之和為2019，則當(dāng)n取最大值時(shí)，集合A= 【答案】A=【解析】由已知2k+n+12當(dāng)n=2m時(shí)，得到2k+2m+1m=3×673?m=3,n=6,k=333當(dāng)n=2m+1時(shí)，得到k+m+12m+1所以n的最大值為6，此時(shí)集合A=334,335,336,337,338,33919．【2019年重慶預(yù)賽】設(shè)A為三元集合（三個(gè)不同實(shí)數(shù)組成的集合），集合B={x+y|x,y∈A,?x≠y}，若B={log【答案】{1,?【解析】設(shè)A={log2則ab=6,?bc=10,?ad=15.解得20．【2019年北京預(yù)賽】已知集合A=x|x2+x?6>0,B={x|x2?2ax+3≤0},若a>0,且A∩B【答案】2.625,2.8【解析】因?yàn)锳=x|x2+x?6>0,即又知A∩B中恰有兩個(gè)整數(shù),所以A∩B≠?,因此B有實(shí)根,Δ=4a2?12>0.解得a>3或a<?3所以B=x|a?由于0<a?a2?3由于fx=x2?2ax+3解得218≤a<1421．【2019年福建預(yù)賽】已知f(x)=x2-2x，集合A={x|f(f(x))=0}，則集合A中所有元素的和為 .【答案】4【解析】方程f(f(x))=0化為f(x2-2x)=0，即x2∴?解得，x1∴A={0,2,1?3,1+322．【2019年福建預(yù)賽】已知集合U={1，2，3，4，5}，I={X|X?U}，從集合I中任取兩個(gè)不同的元素A、B，則A∩B中恰有3個(gè)元素的概率為 .【答案】5【解析】當(dāng)A∩B確定后，如A∩B={3，4，5}時(shí)，設(shè)A=A，A'∩B'=?，則A',B'∴所求的概率為C523．【2019年貴州預(yù)賽】已知集合A={1,2,3,……,2019},對(duì)于集合A的每一個(gè)非空子集的所有元素,計(jì)算它們乘積的倒數(shù).則所有這些倒數(shù)的和為 .【答案】2019【解析】解法1:集合A的220191,2,…,2019,1×2,1×3,2018×2019,……，1×2×?×2019,它們的倒數(shù)和：1+=(1+1)解法2:當(dāng)A={1}時(shí),結(jié)果是1;當(dāng)A={1,2}時(shí),結(jié)果是1+1當(dāng)A={1,2,3}時(shí),結(jié)果是1+1由數(shù)學(xué)歸納法可證(省略):當(dāng)A={1,2,3,…,2019}時(shí),結(jié)果是2019.24．【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】若實(shí)數(shù)集合{1，2，3，x}的最大元素與最小元素之差等于該集合的所有元素之和，則x的值為 .【答案】?【解析】假如x≥0，則最大、最小元素之差不超過(guò)max{3，x}，而所有元素之和大于max{3，x}，不符合條件.故x<0，即x為最小元素.于是3－x=6+x，解得x=?325．【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】已知實(shí)數(shù)集合{1，2，3，x}的最大元素等于該集合的所有元素之和，則x的值為 .【答案】?3【解析】條件等價(jià)于1，2，3，x中除最大數(shù)以外的另外三個(gè)數(shù)之和為0.顯然x<0，從而1+2+x=0，得x=－3.26．【2018年福建預(yù)賽】已知集合A={1，3，5，7，9}，集合aba∈A，b∈A，且a≠b，則集合【答案】18【解析】依題意，a有5種取法；當(dāng)a取定后，b有4種取法；故，得到5×4=20種取法.由于13∴集合B中元素的個(gè)數(shù)為18.27．【2018年江蘇預(yù)賽】在1，2，3，4，…，1000中，能寫(xiě)成a2【答案】501.【解析】設(shè)S={1,2,3,4,?,1000}，若n=a2?b2+1，則n≠3(mod4).又4k=(2k)故答案為：50128．【2018年重慶預(yù)賽】設(shè)集合A=a?1,2log2b與【答案】6【解析】因?yàn)閍-1≠a，a+1≠a，所以公共元素為2log2b=log2故答案為：629．【2018年湖南預(yù)賽】已知A∪B={a1,a2,【答案】27【解析】由集合A、B都是A∪B的子集，A≠B且當(dāng)A=?時(shí)，B有1種取法；當(dāng)A為一元集時(shí)，B有2種取法；當(dāng)A為二元集時(shí)，B有4種取法；當(dāng)A為三元集時(shí)，B有8種取法.故不同的（A，B）對(duì)有1+3×2+3×4+8=27（個(gè)）.故答案為：2730．【2018年廣東預(yù)賽】設(shè)集合A=xx2?x【答案】A∩B=【解析】因?yàn)閤<2，所以，x當(dāng)x=?2時(shí)，x當(dāng)x=?1時(shí)，x當(dāng)x=0時(shí)，x當(dāng)x=1時(shí)，x因此，x=?1或331．【2018年貴州預(yù)賽】牛得亨先生、他的妹妹、他的兒子，還有他的女兒都是網(wǎng)球選手，這四人中有以下情況：①最佳選手的孿生同胞與最差選手性別不同；②最佳選手與最差選手年齡相同．則這四人中最佳選手是_______．【答案】牛得亨先生的女兒【解析】由題意知，最佳選手和最佳選手的孿生同抱年齡相同；由②，最佳選手和最差選手的年齡相同；由①，最佳選手的孿生同胞和最差選手不是間一個(gè)人．因此，四個(gè)人中有三個(gè)人的年齡相同．由于牛得亨先生的年齡肯定大于他的兒子和女兒，從而年齡相同的三個(gè)人必定是牛得亨先生的兒子、女兒和妹妹．由此，牛得亨先生的兒子和女兒必定是①中所指的孿生同胞．因此，牛得亨先生的兒子或女兒是最佳選手，而牛得亨先生的妹妹是最差選手．由①，最佳選手的孿生同胞一定是牛得亨先生的兒子，而最佳選手無(wú)疑是牛得亨先生的女兒．故答案為：牛得亨先生的女兒32．【2018年廣西預(yù)賽】某含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可以表示為b,ba,0，也可以表示為a,a+b,1【答案】2【解析】由題意可知a≠0.由集合相等可以得到a+b=0，從而得到ba因此a=?1，且b=1.所以a201833．【2018年山東預(yù)賽】集合A、B滿足A∪B=1,2,3,?,10，A∩B=?，若A中的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素，B【答案】186【解析】設(shè)A中元素個(gè)數(shù)為kk=1,2,?,9，則