第一章集合與邏輯（7大知識(shí)歸納9大題型突破）（原卷版）

第一章集合與邏輯（知識(shí)歸納+題型突破）1.了解集合的定義，理解元素與集合的關(guān)系．熟練掌握數(shù)集的符號(hào)，了解集合的表示方法及元素的相關(guān)性質(zhì)．2.理解集合間的基本關(guān)系．3.理解并掌握集合的基本運(yùn)算．4.理解并掌握充分條件與必要條件.5.理解一些簡(jiǎn)單的命題的否定和反證法的推理邏輯.1、集合的意義與表示（1）集合及其表示①定義：概括地說(shuō)，把一些確定的對(duì)象的全體叫做集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集；②記法：集合通常用大寫(xiě)字母A、B、C、…來(lái)表示；③常用數(shù)集及表示符號(hào)：數(shù)學(xué)上，常常需要用到數(shù)的集合；數(shù)的集合簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)集；數(shù)集自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NZQR注意：集合含義中的“研究對(duì)象”指的是集合的元素，研究集合問(wèn)題的核心即研究集合中的元素，因此解決集合問(wèn)題時(shí)，首先要明確集合中的元素是什么．集合中的元素可以是數(shù)、點(diǎn)，也可以是一些人或一些物；（2）元素①定義：集合所含的各個(gè)對(duì)象叫做該集合的元素；②記法：通常用小寫(xiě)字母a、b、c、…來(lái)表示；③性質(zhì)：確定性、互異性、無(wú)序性.注意：一個(gè)給定集合中的各個(gè)元素是互不相同的，即一個(gè)元素在同一個(gè)集合中是不能重復(fù)出現(xiàn)的；（3）元素與集合的關(guān)系關(guān)系定義記法讀法屬于a是集合A的元素a∈Aa屬于A不屬于a不是集合A的元素a?Aa不屬于A（4）集合相等如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，則稱(chēng)這兩個(gè)集合相等；記作A=B；（5）集合的分類(lèi)有限集含有有限個(gè)元素的集合無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合空集不含有任何元素的集合，記作；2、集合的表示方法（1）列舉法：把集合中的元素不重復(fù)地一一列舉出來(lái)，并用一對(duì)大括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法；【注意】應(yīng)用列舉法表示集合時(shí)應(yīng)關(guān)注以下四點(diǎn)：①元素與元素之間必須用“，”隔開(kāi)；②集合中的元素必須是明確的；③集合中的元素不能重復(fù)；④集合中的元素可以是任何事物；（2）描述法：一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為A={x|x滿足性質(zhì)p}，這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法；【注意】應(yīng)用描述法表示集合時(shí)應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn)：①寫(xiě)清楚集合中元素的符號(hào)，如：數(shù)或點(diǎn)等；②說(shuō)明該集合中元素的共同特征，如：方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等；③不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母；【注意】區(qū)分以下四個(gè)集合：①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函數(shù)y＝x2＋1有意義的自變量x的取值范圍，且x的取值范圍是R，因此A＝R；②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函數(shù)y＝x2＋1有意義的函數(shù)值y的取值范圍，而y的取值范圍是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示滿足y＝x2＋1的點(diǎn)(x，y)組成的集合，因此C表示函數(shù)y＝x2＋1的圖像上的點(diǎn)組成的集合；④P＝{y＝x2＋1}是用列舉法表示的集合，該集合中只有一個(gè)元素，且此元素是一個(gè)式子y＝x2＋1.（3）區(qū)間的概念及表示①區(qū)間的定義及表示：設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b.定義名稱(chēng)符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開(kāi)區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開(kāi)半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開(kāi)半閉區(qū)間(a，b]②無(wú)窮的概念及無(wú)窮區(qū)間的表示定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符號(hào)(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)【注意】關(guān)于無(wú)窮大的兩點(diǎn)說(shuō)明：（1）“∞”是一個(gè)符號(hào)，而不是一個(gè)數(shù)；（2）以“－∞”或“＋∞”為端點(diǎn)時(shí)，區(qū)間這一端必須是小括號(hào)；3、集合間的運(yùn)算（1）交集①文字語(yǔ)言：由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合，稱(chēng)為A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)；②符號(hào)語(yǔ)言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；③圖形語(yǔ)言：（2）并集①文字語(yǔ)言：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱(chēng)為A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)；②符號(hào)語(yǔ)言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；③圖形語(yǔ)言：（3）并集與交集的運(yùn)算性質(zhì)并集的運(yùn)算性質(zhì)交集的運(yùn)算性質(zhì)A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪?＝AA∩?＝?A?B?A∪B＝BA?B?A∩B＝A（4）全集①定義：在研究集合與集合之間的關(guān)系時(shí)，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱(chēng)這個(gè)給定的集合為全集；②記法：全集通常記作U；【注意】全集并不是一個(gè)含有任何元素的集合，僅包含所研究問(wèn)題中涉及的所有元素.（5）補(bǔ)集①文字語(yǔ)言：設(shè)U為全集，A是全集U的一個(gè)子集，則由U中不屬于A的所有元素組成的集合，稱(chēng)為A在U中的補(bǔ)集（complementaryset），記作：；②符號(hào)語(yǔ)言：＝{x|x∈U，且x?A}；③圖形語(yǔ)言：（6）補(bǔ)集的性質(zhì)（1）A∪()＝U；（2）A∩()＝?；（3）＝?，＝U，?U(?UA)＝A；（4）∩＝；（5）＝；【注意】1、的三層含義：（1）表示一個(gè)集合；（2）A是U的子集，即A?U；（3）)是U中不屬于A的所有元素組成的集合；2、【以前與有些書(shū)上，記作：?UA是U中不屬于A的所有元素組成的集合】4、命題（1）命題的概念：把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)，且可以判斷其真假的語(yǔ)句叫做命題（proposition）；【注意】在數(shù)學(xué)中，我們將可以判斷真假的陳述句叫作命題；特別提醒：（1）判斷一個(gè)語(yǔ)句是否為命題的兩個(gè)要素：（2）是陳述句，表達(dá)形式可以是符號(hào)、表達(dá)式或語(yǔ)言；（2）命題的分類(lèi)：其含義判斷為真的命題叫做真命題：判斷為假的命題叫做假命題；【注意】真命題可以給出證明，假命題只需舉出一個(gè)反例即可；命題真假“若p則q”為真“若p則q”為假表示方法p?qpq讀法p推出qp不能推出q（3）命題的表示方法：命題通常寫(xiě)成“若α，則β”的形式；其中陳述句α稱(chēng)為命題的條件，β稱(chēng)為命題的結(jié)論；用集合的語(yǔ)言描述：滿足α滿足β；【注意】命題的表示形式，在其他參考書(shū)上也有表示為：“若p，則q”，其中p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論；（4）子集與推出關(guān)系：如果命題“若α，則β”是真命題，那么我們就稱(chēng)α推出β，記作αβ（或βα）.5、充分條件與必要條件（1）充分條件、必要條件的概念對(duì)于兩個(gè)陳述句α是β，如果α?β，則稱(chēng)α是β的充分條件，或稱(chēng)β是α的必要條件；【注意】①充分條件與必要條件的理解命題真假“若α則β”是真命題“若α則β”是假命題推出關(guān)系α?βαeq\o(?,\s\up0(/))β條件關(guān)系α是β的充分條件β是α的必要條件α不是β的充分條件β不是α的必要條件②p?q的含義：①“若p，則q”形式的命題為真命題；②由條件p可以得到結(jié)論q；③p是q的充分條件或q的充分條件是p；q是p的必要條件或p的必要條件是q；④只要有條件p，就一定有結(jié)論q，即p對(duì)于q是充分的，q對(duì)于p的成立是必要的；⑤為得到結(jié)論q，具備條件p就可以推出；顯然，p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個(gè)邏輯關(guān)系，即p?q，只是說(shuō)法不同而已；（2）充要條件的概念對(duì)于兩個(gè)陳述句α是β，如果既有α?β，又有β?α，我們就稱(chēng)α是β的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件；記作：α?β；讀作“α與β等價(jià)”或“α成立當(dāng)且僅當(dāng)β成立”；（3）定義法判斷充分條件、必要條件① 確定誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論；② 嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件；③ 嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件.（4）充要條件的證明策略① 要證明一個(gè)條件α是否是β的充要條件，需要從充分性和必要性?xún)蓚€(gè)方向進(jìn)行，即證明兩個(gè)命題“若α，則β”為真且“若β，則α”為真；② 在證明的過(guò)程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來(lái)證明，證明α與β的解集是相同的，證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論；（5）充分條件、必要條件、充要條件與集合的交匯① 記集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要條件，則AB，i. 若p是q的必要不充分條件，則BA；② 記集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，則p是q的充分條件，i. 若N?M，則p是q的必要條件，ii. 若M＝N，則p是q的充要條件；7、反證法（1）反證法的定義反證法是指“證明某個(gè)命題時(shí)，首先假設(shè)結(jié)論β不成立（β為假），然后經(jīng)過(guò)正確的邏輯推理得出已知條件或（已學(xué)）定理相矛盾的結(jié)論，從而說(shuō)明“β為假”是不可能發(fā)生的，即結(jié)論β是正確的；這樣的證明方法叫反證法；（2）反證法證題的基本步驟：（1）假設(shè)原命題的結(jié)論不成立；（假設(shè)）（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理，推出矛盾；（歸繆）（3）因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立.（結(jié)論）【注意】用反證法證明結(jié)論是B的命題；其思路是：假定B不成立，則B的反面成立，然后從B的反面成立的假定出發(fā)，利用已知事實(shí)、公理、定義、定理、法則、公式等作出一系列正確的推理，最后推出矛盾的結(jié)果，若同時(shí)承認(rèn)這個(gè)結(jié)果與題設(shè)條件，則與學(xué)過(guò)的公理、定理或定義矛盾，這矛盾只能來(lái)自“B的反面成立”這個(gè)假設(shè)，因此B必定成立；可見(jiàn)反證法的步驟是：否定結(jié)論→推出矛盾→否定假設(shè)→肯定結(jié)論，其中推出矛盾是證明的關(guān)鍵.（3）反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解反證法可以證明的命題的范圍相當(dāng)廣泛，一般常見(jiàn)的如：惟一性問(wèn)題，無(wú)限性問(wèn)題，肯定性問(wèn)題，否定性問(wèn)題，存在性問(wèn)題，不等式問(wèn)題，等式問(wèn)題，函數(shù)問(wèn)題，整除問(wèn)題，幾何問(wèn)題等.【注意】（1）數(shù)學(xué)中的一些基礎(chǔ)命題都是數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常運(yùn)用的明顯事實(shí)，它們的判定方法極少，宜用反證法證明，正難則反這是應(yīng)用反證法的原則，即一個(gè)命題的結(jié)論如果難于直接證明時(shí)，可考慮用反證法；（2）另外，宜用反證法證明的題型還有：①一些基本命題、基本定理；②易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；③“否定性”命題；④唯一性”命題；⑤“必然性”命題；⑥至多”“至少”類(lèi)的命題；⑦涉及“無(wú)限”結(jié)論的命題等等.題型一：集合的概念例題1．（2023·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知，，若且，則（

）A． B． C． D．例題2．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合中的最大元素為，則實(shí)數(shù).例題3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？既＃┮阎瑒t.【鞏固練習(xí)】1．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，且，則．2．（2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“notebooks”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合中的元素個(gè)數(shù)是3．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，則．題型二：集合的表示方法例題1．（2022秋·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校┘现?，共有（

）個(gè)數(shù)是7的整數(shù)倍.A．21 B．22 C．23 D．24例題2．（2022秋·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合有唯一元素，用列舉法表示滿足集合的條件的的取值集合．例題3．（2022·上海·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合，，集合，則中元素的個(gè)數(shù)為.例題4．（2022·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）已知集合（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的值，并寫(xiě)出相應(yīng)的集合；（3）若中至少有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【鞏固練習(xí)】1．（2022秋·上海靜安·高一校考期中）用列舉法表示集合.2．（2022秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）若集合中只含有一個(gè)元素，則用列舉法表示.3．（2022秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）用列舉法表示集合為．4．（2022·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）設(shè)，用列舉法表示A=.5．（2022·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合.（1）將集合中的元素進(jìn)行從小到大的排列，求最小的六個(gè)元素組成的子集；（2）對(duì)任意的，判定和是否是集合中的元素？并證明你的結(jié)論.題型三：集合與集合的關(guān)系例題1．（2022秋·上海松江·高一上海市松江二中?？计谥校┮阎?，，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2022秋·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？计谀┯眉戏?hào)填空：Q．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),包含無(wú)理數(shù)，故，故答案為：例題3．（2022秋·上海浦東新·高一校考階段練習(xí)）若，則，就稱(chēng)是伙伴關(guān)系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合個(gè)數(shù)是．例題4．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）設(shè)非空集合，當(dāng)中所有元素和為偶數(shù)時(shí)（集合為單元素時(shí)和為元素本身），稱(chēng)是的偶子集，若集合，則其偶子集的個(gè)數(shù)為.鞏固練習(xí)1．（2023春·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則．2．（2023春·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù).3．（2022·上海·高一專(zhuān)題練習(xí)）滿足的集合M有個(gè)．4．（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，如果對(duì)于的任意一個(gè)含有個(gè)元素的子集P，P中必有4個(gè)元素的和等于，稱(chēng)正整數(shù)m為集合的一個(gè)“相關(guān)數(shù)”．(1)當(dāng)時(shí)，判斷5和6是否為集合的“相關(guān)數(shù)”，說(shuō)明理由；(2)若m為集合的“相關(guān)數(shù)”，證明：．題型四：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)例題1．（2022秋·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)．例題2．（2022秋·上海普陀·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為.例題3．（2022·上海·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知.(1)若是的子集，求實(shí)數(shù)的值；(2)若是的子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題4．（2022·上海·高一專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式與的解集依次記為和，求使的實(shí)數(shù)的取值范圍．鞏固練習(xí)1．（2022秋·上海徐匯·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，，且，則．2．（2022秋·上海浦東新·高一?？计谥校┮阎?，若，則實(shí)數(shù)=3．（2022秋·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，若，求滿足條件的的取值范圍．4．（2022秋·上海崇明·高一上海市崇明中學(xué)?？计谀┰O(shè)集合，．(1)用列舉法表示集合；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．題型五：集合的運(yùn)算例題1．（2023春·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)集合、、均為非空集合，下列命題中為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例題2．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）集合，，則．例題3．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，則．鞏固練習(xí)1．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）若集合，則（

）A． B． C． D．2．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知集合，集合，則.3．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┰O(shè)集合，，則.題型六：根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)例題1．（2022秋·四川成都·高一校聯(lián)考期中）已知正整數(shù)集合，，其中．若，且，則中所有元素之和為（

）A．52 B．56 C．63 D．64例題2．（2023春·四川雅安·高一雅安中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知集合，．(1)若，求；(2)在①，②中任選一個(gè)，補(bǔ)充到橫線上，并求解問(wèn)題．若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例題3．（2022秋·遼寧大連·高一大連市第十五中學(xué)?？计谥校┮阎希?(1)若時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題4．（2022秋·河南·高一統(tǒng)考期中）已知全集，集合．(1)若且，求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)集合，若的真子集共有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的值．鞏固練習(xí)1．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合，或．(1)若，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍．2．（2023春·四川宜賓·高一宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）已知集合（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2022秋·廣西梧州·高一?？计谥校┮阎?，B＝{x|≤x≤a+5}．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求，；(2)若＝R，求a的取值范圍．4．（2022·高一單元測(cè)試）已知全集，集合，求實(shí)數(shù)的值.題型七：命題例題1．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列命題：①矩形既是平行四邊形又是圓的內(nèi)接四邊形;②菱形是圓的內(nèi)接四邊形且是圓的外切四邊形;③方程的判別式大于0;④周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等或面積相等的兩個(gè)三角形全等;⑤集合是集合的子集，且是的子集．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題2．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）判斷下列語(yǔ)句是否是命題，并說(shuō)明理由．(1)是有理數(shù)；(2)；(3)梯形是不是平面圖形呢？(4)一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)．鞏固練習(xí)1．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）①“若，則a，b中至少有一個(gè)不小于1”的逆命題；②存在正實(shí)數(shù)a，b，使得；③“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”的否定是“至少有一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)”.A．0 B．1C．2 D．32．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）菱形的對(duì)角線互相垂直的真假性為（用“真”“假”填