2022-2023學年度高中數(shù)學期中考試卷

2022-2023學年度高中數(shù)學期中考試卷

試卷副標題

學校:姓名：班級：考號：

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

請點擊修改第I卷的文字說明

一、單選題

1.設集合A={x卜2<x<4},B={2,3,4.5},則AnB=（）

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.天氣預報說，今后三天中，每一天下雨的概率均為40%,現(xiàn)采用隨機模擬方法估計

這三天中恰有兩天下雨的概率:先由計算器算出。到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,

2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：

907966195925271932812458569683431257393027556488730113537989

據(jù)此估計今后三天中恰有兩天下雨的概率為（）

A.040B.030C.0.25D.0.20

3.雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現(xiàn)“碳達峰”,

2060年實現(xiàn)“碳中和”.為了實現(xiàn)這一目標，中國加大了電動汽車的研窕與推廣，到2060

年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動力電池隨之也迎來了蓬勃

發(fā)展的機遇.尸于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時間r（單位：

h）與放電電流/（單位：A）之間關系的經(jīng)驗公式C=,其中“=l°gj為尸&他"

常數(shù).在電池容量不變的條件下，當放電電流/=1OA時，放電時間∕=57h,則當放電

電流∕=15A,放電時間為（）

A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h

4.若Z=-I+2i，則二^-=()

Z?Z-4

A.-l+3iB.—1—31C.l÷3iD.1-31

5.已知函數(shù)/（X）滿足了（x-Λ?）=-∕（τ）,Jl函數(shù)/（X）與g（x）=cosκ卜的圖象

的交點為（外,幻，（叼幻，（工3,為），（對以），則Z（X,+y）=（）

A.—4兀B.-2πC.2兀D.4兀

試卷第1頁，共5頁

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6.已知圓O：xz+yz=5.A,5為圓。上的兩個動點，且[lδ∣=2,M為弦.15的中點，

C(2√2,α),D(2√2,α+2).?^,8在圓。上運動時，始終有ZZCAZD為銳角，則實數(shù)α

的取值范圍為()

A.(→>,-2)B.(-oo,-2)kj(θ,-h=o)C.(-2,+≡o)

D.(-°o,0)U(2,+∞)

7.過點P(L2)作直線/,使/與雙曲線三-/=1有且僅有一個公共點，這樣的直線/

4

共有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

8.在如今這個5G時代，6G研究己方興未艾.2021年8月30口第九屆未來信息通信

技術國際研討會在北京舉辦.會上傳出消息，未來6G速率有望達到ITbPs,并啟用亳

米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡，預計6G數(shù)據(jù)

傳輸速率有望比5G快100倍，時延達到亞亳秒級水平.香農(nóng)公式C=WlogJ1+9卜是

被廣泛公認的通信理論基礎和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳

遞率。取決于信道帶寬印、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大

小，其中三叫做信噪比.若不改變帶寬憶而將信噪比多從9提升至161,則最大信

NN

息傳遞率C會提升到原來的()參考數(shù)據(jù)：10氏3=1.58,10&5=2.32.

A.2.4倍B.2.3倍C.2.2倍D,2.1倍

二、多選題

9.已知a>0,h>Q9a+b=2,則()

A.0<a≤lB.0<ab≤lC.a2+fe2≥2D.0<6<2

10.已知函數(shù)/(x)=2。Slnωxcosωx-2coszΛ>Λ+1(ω>0,Λ>0),若/⑸的最小正周期

為尸，且對任意的xwR，/@)之〃與)恒成立，下列說法正確的有()

A.G)=2

B.若XO=-，則。=JT

O

c.若∕[x<>-f=2,則α=?7J

D.若g(x)=∕(x)-2∣∕(x)∣在卜-乎%甸上單調(diào)遞減，則(”嚀

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11.己知向量函=(1,3),<9B=(-2,4),OC=λOA+(l-λ)OB,其中;IeR,則下列命

題正確的是()

A.西在而上的投影向量為(T,2)B.pq的最小值是√Γd

C.若礪.覺>0，則4Q—4)>0D.^OBOC<Of則4(1-4)<0

12.已知函數(shù)/(x)=2sιπ"x-gj,則下列說法中正確的有()

A.函數(shù)"x)的圖象關于點I對稱

B.函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸是X=三

C.若Xey,y,則函數(shù)/(x)的最小值為副

D.若/(占)/(W)=4,x1≠x,,則阮一再I的最小值為B

第∏卷(非選擇題)

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三、填空題

13.1的周期性：當”是整數(shù)時，i*z=,jz=,嚴3=.14"=

14.已知ΔABC的三個內(nèi)角工B、C所對的邊分別是a、b、c,且a:6:c=2:3:4,則“SC

的最小角的余弦值為.

15.已知是兩個單位向量，c=2d+b,且必加則日僅+5)=.

四、解答題

16.某中學在2021年高考分數(shù)公布后對高三年級各班的成績進行分析.經(jīng)統(tǒng)計，某班

有50名同學，總分都在區(qū)間［600,700］內(nèi)，將得分區(qū)間平均分成5組，統(tǒng)計頻數(shù)、頻率

后，得到了如圖所示的“頻率分布”折線圖.

試卷第3頁，共5頁

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(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計該班級的平均分?

17.在二。C中，b=2a,CosB=-A再從條件口、條件匚中選擇一個作為已知，條件

4

□：CIC=6：條件二：(3+c)smA=∕>sinC

注：如果選擇條件二和條件二分別解答，按第一個解答計分.求：

⑴。：

(2MC邊上的高.

18.為落實黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市5000名鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進行了一期“三農(nóng)”政

策專題培訓，并在培訓結(jié)束時進行了結(jié)業(yè)考試.從該次考試成績中隨機抽取樣本，以

[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95]分組繪制的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，估計該次考試成績的平均數(shù)T:(同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值作代表)

(2)若要使13%的鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部的考試成績不低于m,求m的值；

(3)在(1)(2)的條件下，估計本次考試成績在(；,，")內(nèi)的人數(shù).

19.若橢圓C的對稱軸為坐標軸，長軸長是短軸長的2倍，一個焦點是月(-3,0),直線

/：x=12,尸是/上的一點，射線。尸交橢圓C于點R其中。為坐標原點，又點。在

試卷第4頁，共5頁

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OQOR

射線OP上，且滿足親=,.

UKUr

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)當P點在直線/上移動時，求點Q的軌跡方程.

20.如圖，已知四棱錐P-ABcD的底面為矩形，AB=2,4O=2√∑,頂點尸在底面ABCO

的正投影為AD的中點0.

(1)求證：平面PACj?平面POB：

(2)若平面2$與平面PC。的交線為/,且P￡>=2,求/與平面PAC所成角的正弦值.

21.如圖，在平行六面體A8CO-A4G0中，AB=AD=AA1,且AB.42AA的兩兩夾

(2)求直線BD1與AC所成角的余弦值.

五、雙空題

22.在銳角ΔABC中，43=3,NB=W,點。在線段Be上，且￡)C=2叨，AD=G，

則sinZADC=，AC=

試卷第5頁，共5頁

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2022-2023學年度高中數(shù)學期中考試卷一第6頁

參考答案:

1.B

【分析】利用交集的定義可求AcB.

【詳解】由題設有ACB={2,3},

故選：B.

2.D

【分析】由題意知：在20組隨機數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨通過列舉得到共4組隨機數(shù)，

根據(jù)概率公式得到結(jié)果.

【詳解】由題意知：在20組隨機數(shù)中恰有兩天下雨的有可以通過列舉得到:271932812393

共4組隨機數(shù)

4

所求概率為一=0.20

20

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)題意求出蓄電池的容量C，再把/=15A代入，結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)即

可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意可得C=5740",

則當/=15A時，

57ισ,=15,l√,

即當放電電流/=15A,放電時間為28.5h.

故選：B.

4.A

【分析】由共規(guī)發(fā)數(shù)的概念與發(fā)數(shù)的四則運算法則求解即可

【詳解】因為Z=—1+21，

所以Z?Z—4=(-l+2ι)(—l-2ι)-4=l+4-4=l,

所以F?=Z+I=-1+3I,

ZZ-4

故選：A

5.B

答案第1頁，共13頁

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【分析】由題意可得出函數(shù)/(χ)與g(χ)的圖像的交點關于點(q.o)對稱，從而可得出答案.

【詳解】函數(shù)/(x)滿足/(χ-Λ?)=?√(-χ),則“X)的圖像關于點［go］成中心對稱.

又g(x)=cosX1一9的圖像關于點(-g.0)成中心對稱

所以函數(shù)/(力與g(x)的圖像的交點關于點卜會。卜寸稱.

則x1+x2÷x3+x4=-2π,y1÷j2+y3+j4=O

所以W(8+y)=-2Λ?

i-?

故選：B

6.B

【分析】作出輔助線，得到點M的軌跡為以O為圓心，半徑為2的圓，根據(jù)二CMD為銳角,

得到以。為圓心，半徑為2的圓與以N(2jΞ,α+l)為圓心，半徑為1的圓外離，

列出不等式，求出實數(shù)。的取值范I粒

【詳解】連接。4,OM,由題意得：OA=2,AM=1,

口點”在以。為圓心，半徑為2的圓上.

設CZ)的中點為M則N(2√Iα+l),且Iea=2.

□當」5在圓。上運動時，始終有二。0為銳角，

口以。為圓心，半徑為2的圓與以Nb√∑,α+1)為圓心，半徑為1的圓外離,

答案第2頁，共13頁

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□^(2√2)2+(α+l)2>3.整理得(α+l)->l,解得：Λ<-2或α>0.

口實數(shù)α的取值范用為(f,-2)U(0,Q).

故選：B

7.D

【分析】作圖分析，判斷點尸在雙曲線的外部，則符合條件的直線有和漸近線平行的直線還

有切線，由此可得答案.

【詳解】如圖示，雙曲線千-}J=I的漸近線為y=±gχ,點P(L2)在雙曲線外部，

則過點尸和雙曲線行且僅有一個公共點的直線，包括兩條和漸近線平行的直線44，

還有兩條和雙曲線相切的直線44,因此過點尸和雙曲線有且僅有一個公共點的直線有4條,

故選：D

8.C

CS

【分析】按照題中所給公式分別求出當京=9時和當耳=161時的最大信息傳遞率即可求出

答案.

【詳解】當三=9時，最大信息傳遞率G=Wk)氐(1+9)=Wk)氐10=叭1+1。氏5)

5

當力=161時，最大信息傳遞率

N

4

Cy=Wlog.(1+161)=VVlog,162=IVlog,(2×3)=W(log,2÷log,34)=W(I+4log,3)

C_VV(l+41og13)_732、

C7^Hz(l+log,5)--332'"

故選：C.

9.BCD

【分析】利用不等式的性質(zhì)及其基本不等即可求解.

答案第3頁，共13頁

2022-2023學年度高中數(shù)學期中考試卷一第9頁

【詳解】對于選項A,匚。>0,>0,〃=2-〃，口匕“〃：。，解得0<。<2,同理可知Ovb<2,

則A不正確，D正確：

對于選項B,匚而=(；|=1,當且僅當"=力時，等號成立，DO<ab≤l,

則B正確:

對于選項C,□M+6≥(α+")-=2=2,當且僅當。=〃時，等號成立,

22

∏a2+b2≥2f則C正確.

故選：BCD

10.BCD

【分析】化簡函數(shù)，由最小正周期求得參數(shù)少,再結(jié)合選項一一判斷即可.

［詳解］因為/(工)=2asinωxcosωx-2cos-ωx÷1=asm2ωx-cos2ωx=yja2+1sm(2ωx-φ)?

其中cos。=、，sinφ=^=.因為f(M的最小正周期為)，所以。=1,故A錯誤.

√0-+l

因為對任意的xwR,"x)≥∕(?%)恒成立，以/(%)是/⑴的最小值.

若XO=——,則2x1——卜*=——+2kτr(k∈Z),φ=——2kτr{k∈Z).

6\6/26

所以cosφ=-j二~--=——?a=?故B11：確.

√(+12

因為/(M)是“χ)的最小值，所以/；七一、)為最大，所以√TTT=2,所以。=有，故C

正確.

因為當T%弓,χθ-∣?)時，∕W>0.所以g(χ)=-∕(χ).

因為/W在(%-)上單調(diào)遞增，所以g(x)在卜-六0T上單調(diào)遞減.

當Xe(XO-R_/)時,/(X)>0,所以g(x)=-∕(x).

因為/U)在卜。-上單調(diào)遞減，所以g(χ)在卜。-千天-3)上單調(diào)遞增，

所以Xo-=<%-e≤%-1,所以］4。<斗，故D正確.

4224

故選：BCD

答案第4頁，共13頁

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11.ABD

【分析】根據(jù)投影向量的定義求得說在畫上的投影向量判斷A,求出向量的模|。4,由

函數(shù)性質(zhì)得最小值判斷B,計算畫.反，根據(jù)其正負確定義的范圍，然后判斷以1一刃的正

負，從而判斷CD.

OAOB__2+12_立

【詳解】COSZAOB=-

∣OA∣∣OB∣√IO×√2O-T

OAcosZAOB.OB=瑞亭(-2,4)=(-1,2),

麗在質(zhì)上的投影向量為A正確:

OC=ΛOA+(l-λ)OB=(λ,3λ)+(-2+2λ,4-4λ)=(-2+3λ,4-λ),

∣OC∣=√(-2+3λ∕+(4-ΛΓ=JlOGl-I)2+10,

所以Zi=I時，］。。取得最小值M,B正確；

OBOC=4-6λ+l6-4λ=20-102>0.λ<2,無法判斷4。一久)的符號,C錯誤;

OBOC<0λ>2,則N(l-∕)<0,D正確.

故選：ABD.

12.BCD

【分析】根據(jù)點(0,JT)關于點G，0)對稱的點6,-√T)不在函數(shù)“X)圖象上，判斷A不正

63

確；

根據(jù)/(g-x)="x)判斷B正確：

求出函數(shù)在p?上的值域可判斷C正確；

根據(jù)函數(shù)的最大值，結(jié)合“xj∕(xj=4推出/?)=/(七)=2,再根據(jù)/U)的最小正周期

為K可得N-xj的最小值為］可得D正確.

【詳解】在/O)的圖象上取一點(0,√T),其關于點6，。)對稱的點(JLG)不在

/(x)=2sιn∣2x-g1的圖象上，所以函數(shù)/(x)的圖象不關于點G，0：對稱，故A不正確:

因為dWT=2sm∣g-2x)=∕(x),所以函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸是X吟故B正

答案第5頁，共13頁

2022-2023學年度高中數(shù)學期中考試卷一第11頁

確;

若Xe,則2x-gwjj?-.所以/(x)=2sin(2x-?∣)=e〔32]，故C正確；

因為“X)皿=2,所以/(xj=∕(xj=2,所以N-±Ln=g；=?故D正確.

故選：BCD

B.?-1-i1

【分析】由i2=T及指數(shù)幕的運算性質(zhì)依次對Fz,嚴二，產(chǎn)+3,]4,變形即可得到答案

【詳解】由F=T及指數(shù)基的運算性質(zhì)得：尸=T,廣=1

.?.i4"+*=i(i4)"=i,i4"*2=i2(i4)n=-l,i4"*j=i,(i4)"=-i,i4π=(i4)"=l.

故答案為：?；-1：-i：1.

14.?##0.875

8

【分析】由題設可得A最小，利用余弦定理可求其余弦值.

【詳解】因為a:〃:c=2:3:4,故可設。=2無,6=34,0=4左伏＞0),

女〃

因為av〃vc,故A最小，從而CoSA=252,—4,2=7J

2×3k×4k8

7

故答案為：?-

8

15.?##0.5

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合垂直關系的向量表示求出再利用數(shù)量積的運算律計算作

答.

【詳解】6是兩個單位向量，c=2d+?,且則B0=B(2Q+B)=2G=0，解

→1

得萬

所以萬伍+6)=東+萬坂=

故答案為：?

16.(D答案見解析

(2)653.6

【分析】(1)根據(jù)頻率分布折線圖，畫出頻率分布直方圖；

答案第6頁，共13頁

2022-2023學年度高中數(shù)學期中考試卷一第12頁

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，和平均數(shù)計算方法，即可求出結(jié)果.

(1)

(2)

平均分為：X=(610×0.004+630×0.007+650×0.02+670×0.014+690×0.005)×20=653.6：

所以該班級的平均分約為653.6.

17.(1)2

【分析】(1)若選二，利用余弦定理得到方程組，解得即可：

若選二，由正弦定理將角化邊，即可求出c,再由余弦定理計算可得：

(2)由(1)可得力，再由同角三角函數(shù)的基本關系求出sm8,再利用等面積法計算可得:

(1)

解：若選口：即αc=6,b=2a,cosB=-?,

4

由余弦定理Z/=/+C,-2。CCOSB.即4?'=/+/+3,

即3∕=∣+3,即/_/_12=0,解得(/-4)S+3)=0,解得α=2或α=-2(舍去),

所以c=3；

若選口：即(3+c)sιnA=fcSlnC,b=2a,cosB=--,

4

由正弦定理可得(3+c)α=bc,即(3+c)ɑ=24c,解得c=3,

答案第7頁，共13頁

2022-2023學年度高中數(shù)學期中考試卷一第13頁

再由余弦定理∕√=∕+M-20ccos8，即4∕=∕+∕+gac,即(立一2c)(2α+c)=0,即

36∕=2c,所以α=2；

(2)

解：由(1)可得〃=2,c=3,所以〃=24=4,

由cosB=——?所以sinB=Vl-cos2B=XLE,

44

而I??o1?Qv???v??

91以3=-ΛCSUID=—×2×3×-----=-------，

A4ftr2244

設AC邊上的高為力，則S=S/??=亞，即力=巫

"A*。248

18.(1)83.5

(2)89.5

(3)1950

【分析】(1)利用頻率分布直方圖求解平均數(shù)，將中點值乘以相應的頻率再相加即可；(2)

先計算出成績分別在［85,90),［90.9習內(nèi)的頻率，確定洲落在［85,90)內(nèi),列出方程，求出小

的值；

(3)在(1)(2)條件下求出本次考試成績在R,m)內(nèi)的頻率，進而求出人數(shù).

(1)

由圖可得：

J=(72.5X0.02+77.5X0.02+82.5×0.08+87.5×0.06+92.5×0.02)x5=83.5,

(2)

成績落在［90.95］內(nèi)的頻率為5x0.02=0.1<0.13,成績落在［85,90)內(nèi)的頻率為5x0.06=0.3,

由于0.1+0.3=0.4>0,13,

故，”落在［85,90)內(nèi)，其中(90-MXO.06=0.13-0.1,

解得：，”=895,所以小的值為89.5

(3)

(85-83.5)×0.08+(89.5-85)×0.06=0.39.

0.39x5000=1950

所以估計本次考試成績在(工，〃?)內(nèi)的人數(shù)為1950.

答案第8頁，共13頁

2022-2023學年度高中數(shù)學期中考試卷一第14頁

【分析】(I)設橢圓的標準方程為二+A=l(α>6>0),根據(jù)題意求出。力，即可得解：

Q-b`

(2)設點尸，O,R的坐標分別為(12,%),(x,y),(XS,VΛ),由點R在橢圓上及點。，Q,

及共線，可得1Y2XY,求出勺,，豆,，再根據(jù)O浣Q=存OR化簡整理即可得出答案.

產(chǎn)￡X

，?

【詳解】(1)解：設橢圓的標準方程為W?+}=l(0>6>0),

Crb"

a=2b

由題意可得c=3,解得d=2jT,b=3,

a1-b2=C2

所以橢圓的標準方程為二+E=ι；

123

(2)解：設點尸，O,我的坐標分別為(12,%),(x,y),(xs,yj,由題設知與>0,x>0,

由點尺在橢圓上及點。，0,R共線，

12χ2

得方程組,解得片=

x2+4y2<V+4y-

由點。、。、尸共線，得裊=2,即L=9口，

12XX

OQOR

因為---=----,

JOROP

所以PgpPl=*『，則C+心N+外=(Jx；+或),

將二、口、匚式代入上式，

整理得點2的軌跡方程為卜-；j+4f=，x>0).

20.(1)證明見解析

答案第9頁，共13頁

2022-2023學年度高中數(shù)學期中考試卷一第15頁

⑵立

2

【分析】(1)由長度關系可得tanZABO=tanZACB,則ZABO=ZACB,從而得到AC±OBi

由線面垂直的性質(zhì)可知AC,進而得到AC_L平面PQB,由面面垂直的判定可證得結(jié)

論：

(2)由線面平行的判定和性質(zhì)可知C?！?,可知所求角即為CD與平面PAC所成角，以。為

坐標原點建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.

(1)

???四邊形ABCC為矩形，ARCΛO2ADa，tan∠AC8=果=—==也，

3zA如商=而BC2√22

ZABO=ZACB,

ZACB+ABAC=ZABO+ABAC=-,即AC_LO8：

2

；頂點尸在底面ABCD的正投影為AO的中點0，，PO?平面ABCD,

又ACU平面ABCD,二PoI.AC,

.POryOB=O,PO,OBU平面POB,.：4。_/平面尸。8,

?.?ACu平面PAC,二平面PACj?平面PO8.

⑵

■.CD//AB,ABU平面R4B,CD(X平面...8〃平面RAB,

又C。U平面PC。，平面PC￡>n平面PAB=/，；。/〃，

.I與平面PAC所成角即為直線CD與平面PAC所成角，

以。為坐標原點，麗,前正方向為XZ軸，作X軸〃C。，可得如圖所示的空間直角坐標系，

答案第10頁，共13頁

2022-2023學年度高中數(shù)學期中考試卷一第16頁

乂PD=2?PO?AD,OD=√2?^-OP=√2，

則A(OL√Iθ),C(2,√2,θ),P(θ,θ,√2),D(0J√2,0),

.?.AC=(2,2√2,θ),ΛP=(θ,√2,√2),DC=(2,0,0),

設平面PAC的法向量G=(x,y,z),

ACi↑=2x+2>∕2y=O

令y=l,解得：X=-",Z=-1,.∏=(-?v?,l,-l),

APfi=TTv+?Jlz=O

∣cos<DC,n>1=j-y-jjj=2√2_√2

II∣DC∣.∣n∣2×√2+l+l2

即/與平面PAC所成角的正弦值為正

2

21.⑴卡

喈

【分析】（1）首先以麗