2022-2023學年河北保定市部分學校高二年級上冊學期第一次月考數(shù)學試題（附答案）

高二年級上學期第一次考試

數(shù)學

注意事項：

L答題前,考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。如需改動?用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時,將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容:人教?版必修第二冊占20%,選擇性必修第一冊第一章

至第二章第2節(jié)占80%。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

,4+2i_

?T+T=

Λ.-3—iB.—3+iC.3—iD.3+i

2.無論實數(shù)k取何值,直線kx+y+2=0都過定點,則該定點的坐標為

A.(0,-2)B.(0,2)C.(2,0)D.(-2,0)

3.若｛α,b.c｝構(gòu)成空間的一個基底,則下列向量共面的是

Λ.a~b,2a-c.b—cB.b-?~2c,a~b,a—2b-2c

C.α+2b,2α—c,2b-?^c',D.α+2b+3c,α+b,α+c

4.如圖?在正方體ABCD-ABlGDl中EF分別為AB,BC的中點,則^

口，平面

A.BB1EF,

，平面,,

B.BDB1EF∣?T?^~7Γ

c.AG〃平面8EF??y|\

〃平面

D.AQB1EF#C

A

5.如圖.在四面體QABC中,B=α,m=6比=c,且∕=4說,躋=E'B

《比.則評=

4

?13,.1

A.丁。--75十-7^c

344

P1i3..1

∣

fl-3z-ατ4b-↑--4τc

fl

C.--374—4

n】fli3i.1

∏.—37'^^T4力+τ4c

【高二數(shù)學第1頁(共4頁)】?23-29B1.

6.甲、乙兩名同學進行投籃訓練,已知甲同學每次投籃命中的概率為4?,乙同學每次投籃命中的

?

概率為g?兩名同學每次投籃是否命中相互獨立.若甲、乙分別進行2次投籃,則他們命中的

次數(shù)之和不少于2的概率為

?-1β?^9C??D?7

7.如圖,在正三棱柱ABC-ABC中,AA∣=2∕?B=4,E是BBl的中點,F是

AlG的中點,若點G在直線Cc上,且/3G〃平而八!濘,則IAel=

Λ?2√2

B,√5

C?2√Tδ

D.√TΓ

8.如圖，已知兩點A（11,0）,B（0,券），從點尸（1,0）射出的光線經(jīng)支線

AB上的點M反射后再射到宜線OB上,最后經(jīng)宜線OH上的點N反

射后又回到點P,則直線MN的方程為

A.4工一3_y—3=0B.4?r+3y+4=0

C.3x—4y+3=0D.4]-3y+4=0

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.

9.已知直線八：，“H+2）+1=0,/2：工+（?"+1"+1=0,則下列結(jié)論正確的是

A.若Z1//I2,則m=-2B.若∕∣〃/?,則1或m=—2

C.若，則=-?D.若人J√2，則m=?

eO

10.已知正方體ABCD-AIBlGn的棱長為α,AcnAc=O.則

A.磯.其=/B.研.園=。2

C.AX?B7Λ=√D.Λ4ζ?H6≈a2

11.已知Z?ABC的內(nèi)角Λ,13,C的對邊分別為a,b,c,b=l,a2+c2—=αc,sin2B=3sinASinC,則

Λ,B=-?-Bw=J

?O

CIABC的面積娉

□△ABC的周長為笈+1

12.很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美,其中半正多面體是由兩種或

兩種以上的正多邊形圍成的多而體,半正多面體因其最早由阿基米

德研究發(fā)現(xiàn),故也被稱作阿基米例體.如圖,這是一個棱數(shù)為24,棱長

為&的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,可以

看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得,則

A.該半正多面體的體積為第

O

B?A,C,D,F四點共面

【高二數(shù)學第2頁（共4頁）]?23-29B1?

C.該半正多面體外接球的表面積為l2π

D.若點E為線段比上的動點,則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取飾如為以尊

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分?把答案填在答題卡的相應位置?

13,已知向址。=(2,l,6),6=(3,6,山，若?！◤膭tH+》=---▲一

14.某環(huán)境監(jiān)測部門收集了當?shù)匾恢軆?nèi)的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQl)，分別為65,71,

67.89,78,91,102,則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為一,,_、

15.若等邊三角形的一條中線所在宜線的斜率為1，則該等邊三角形的二邊所

在直線的斜率之和為▲.

16.如圖,在長方體ABCD-AIBCD中,點E,F分別在ADDI,B場上,且

EF±AlE.若AB=2,AD=1,AA=3,則BlF的上小值為▲——?2

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟?

17.(10分)

已知坐標平面內(nèi)三點A(—2,-2),3(2,-1),C(-1,D.

Q)求AABC中AB邊上的高所在的直線方程；

(2)若A,B,CD可以構(gòu)成平行四邊形,且點D在第一象限,求點D的坐標.

18.(12分)

如圖,在長方體八BCD-AIBeIDl中,E是AIDl的中點,且AB=2AD=2AA=2.

(D過點A,C,E的截面與棱Gn交于點F,求DF的長度；

(2)求點場到平面ACE的距離.

19.(12分)

為進一步增強疫情防控期間群眾的防控意識,使廣大群眾充分了解新冠肺炎疫情防護知識,

提高預防能力,做到科學防護、科學預防.某組織通過網(wǎng)絡進行新冠肺炎疫情防控科普知識

問答.共有100人參加了這次問答,將他們的成績(滿分100分)分成[40,50),[50,60),[60,

70),[70,80),[80,90),[90,100]這六組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(D求圖中”的值,并估計這100人問答成績的平均數(shù);(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值

代替)

[高二數(shù)學第3頁(共4頁)).23-29B1?

⑵川分U隨機抽樣的方法從問答成績在［60.80)內(nèi)的人中抽取一個容員為5的樣本，再從

樣本中任意抽取2人.求這2人的問答成績均在［70,80)內(nèi)的概率.

20.（12分）

如圖,在四棱錐P-AIiCD中，PD_L底而TwCD,四邊形AIiCD為正方形，PD=DC,E,F

分別是人D，PB的中點.

⑴證明：EF〃平面PCD.

(2)求直線PA與平面CEF所成角的正弦他眸

是

W

21.（12分）

已知直線lx+my-m-2≈Q與工~軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點,且

iAJ

AAOB的面積為4.

⑴求τn的值；

層

⑵若P(2,D,點E,F分別在線段C)A和03上,且SPE=S△卬F，求厘?可?J取值范圍.

靖

國

22.（12分）

在三棱柱ABC-DEF中，BC=BE=2AB≈2,NABE=NABC=90°,NEBC=60°,G是線

段EF上的動點.

(1)求三棱錐G-ABC的體積；

(2)求平面ACG與平面ABED夾角的余弦值的最大值.

【高二數(shù)學第4頁(共4頁)】?23-29B1?

高二年級上學期第一次考試

數(shù)學參考答案

4÷2i(4÷2i)(l-i)

1.C-=(2+i)(l-i)=3-i.

l÷i-(l÷i)(l-i)

2.A直線6?r+jy+2=0過定點（0,-2）.

3.B因為b-r2c=（a-b）—（a-2b~2c）,所以向量b^2c>a-b?a-2b~2c共面.

4.C以點D為原點.建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)八6=2,

則B1(2,2,2),E(2,l,0),F(l,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),Cι(0,2,2),D1(0,0,2).

EF=(-1,1,O),E?=(0,1,2),BD?=(-2,-2,2),DB=(2,2,0),AC?=(-2,

2,0),前=(2,0,2).

[m?EF=-Jc-Vy=O,

設(shè)平面BlEF的一個法向量為m=(x,y,N),則＜一取加=(2,

?EB1=y+2z=0.

2,-1).

因為說?與m不平行,所以3A與平面5EF不垂直,A錯誤；

因為神與切不平行,所以BD與平面bEF不垂直,B錯誤；

因為無方?機=0,所以AlC〃平面BEF?C正確；

因為加?帆=2六0,所以A1D與平面BlEF不平行?D錯誤.

5.D因為瓊或,所以討=濟+價=透+4■或=透+4（貧一濟）=巧b+4^c.又在=2萌=

44444

~∣^α,所以E&=C&-。E=—--^^b+}c.

6.B由題可知,他們命中的次數(shù)為0的概率為?∣?X等X?∣xJ=4;命中的次數(shù)為1的概率為2x[x?∣

乙乙3o?5

xJx4+2X?x["X4x￡=a.故他們命中的次數(shù)之和不少于2的概率為l-4-?=4?

乙乙乙乙5y?5y

7.A如圖，以C為原點,CB,CC所在的直線分別為y軸,U軸建立空間直角坐標系C一

HyZ,貝IJA(√I,1,O),A∣(乃,l,4),E(0,2,2),F(g,?∣?,4),B(0,2,0).由題可設(shè)G(0,0,

α),則荏=(一√J,1,2)∕=(一4.一十,4),虎=(O,—2,a).設(shè)平面AEF的法向量

f—Λ∕3J?-I-4-2^=0,

相=(1,3,2),則1而令/=χ∕5?得〃2=(禽,~l^,?∣^).由石e?機=—2

[—華L}N+4N=0,55

X?∣?+挈=0,得α=6,則砧=（-Q,—1,2）,I再方I=?TFTR77IFTF=2√Σ.

??G7

8.D易得AB所在的直線方程為1+2y-ll=0,點P關(guān)于直線AB對稱的點為A,（5,8）,點P關(guān)于y軸對稱

的點為4'（一1,0）.直線此\即直線44，則直線“'的方程為5>=普（丁+1）.即4工-3?+4=0.

9.AC令，”（執(zhí)+1）—2=0,解得W=I或帆=-2.當根=1時d與重合；當加=一2時〃QA正確，B錯

【高二數(shù)學?參考答案第1頁（共5頁）】?23-29B1?

誤.若lii.lt,RlJm+2(wz+l)=0,解得m=一■∣^,C正確.D錯誤.

10.BC：如圖，因為AAl_LBC所以研?黃=0,A錯誤.

研?萬底=麗'?(麗'+百居)=麗'2=/,B正確.

磯-Bft=Blt?(兩+57?)=兩2=/,(：正確.

瓦萄.初=+研.砧=~a2,D錯誤.

11.ABDcosB=廣妄盤=^j?,B=冬

因為sin2B=3sinASinC.fifflil62=3ac.B∣Jac=^∣^.

△ABC的面積為T^αcsinB=-^-×?×5y-=y^.

因為滔+,2—護=αc,所以Z>2=l=∕+c?2—αc=(α+c)2-3αc,解得α+c=√2■.故AABC的周長為√Σ+1.

12.ABD將該半正多面體補成正方體.因為該半正多面體的棱長為√Σ,所以

正方體的棱長為2.該半正多面體的體積V=8-8×y×^-×IXlXl=

苧,A正確.該半正多面體的外接球球心即正方體的外接球球心.設(shè)正方

體的外接球球心為M.則該半正多面體的外接球半徑R=MF=堂XZ=

笈.故該半正多面體外接球的表面積為4“R：=8n,C錯誤.建立如圖所示

的空間直角座標系,則A(2,1,O),F(2,2,1),B(1,O,2),C(O,1,2),D(1,

2,2),Λ?=(0,1.1),C5=(1,1,0),F5=(-1,0,1).設(shè)祚=HE+yF5,可解得?r=y=l,則祚,仍,孫

共面.即Λ,C,D.F四點共面,B正確.

又反'=(-l,l,O),設(shè)虎=入左=(一九入，0),所以AC[0,1],則E(l-λ,λ,2),DE=(-λ.λ-2,0).

AF-DE______入一2_______J_/(入-2)2—=_J-X

cos<AF,DE>==

∣AF∣l≡l√2×√λ2÷(λ-2)22V(λ-2)2+2(λ-2)÷22

/]+工：_^?令，=占W[T，-十]，則。,礪=-^==.

cS(#τ7因為2產(chǎn)+2t+ie

Vλ-2(λ-2)z

[+」]，所以年冰,能61一烏,一4].故直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為

/0

與],D正確.

13.13因為。〃人所以(?=1?=(■,解得?r=4,y=9,則?r+y=13.

14.89將這組數(shù)據(jù)從小到大排序依次為65,67,71,78,89,91.102,因為7X70%=4.9,所以這組數(shù)據(jù)的第70

百分位數(shù)為89.

15.3因為一條中線所在直線的斜率為1,所以此中線所在直線的傾斜角為45°,可得該等邊三角形的三邊所

在直線的傾斜角分別為75°,15°,135°.即該等邊三角形的三邊所在直線的斜率分別為2+伍,2一伍,一1,所

以該等邊三角形的三邊所在直線的斜率之和為3.

【高二數(shù)學?參考答案第2頁(共5頁)】?23-29B1?

16.2以點C1為坐標原點,Gfλ,GB,C∣C所在直線分別為了,y,u軸建立如圖所示的空

間直角坐標系Cl-HyZ,則4(2,1,0).設(shè)萬(2,0加)1(0,1,"),1:0,”》0,則無工=

(0,—1.zn),Ep=(—2,l,ιι—in).

因為EFJ_八上.所以元主?或'=O,即一1+帆("一”?)=0.化簡得wιw=l+m2.當/M=O

時,顯然不符合題意.故"=，+，"32,當且僅當w=1時，等號成立.故BlF的最小值

為2.

17.解:⑴由題易知財=十，............................................1分

則所求直線的斜率為-4,..........................................................................................................................3分

故所求直線方程為y-l=-4(?r+D,即4z+y+3=0..........................................................................5分

(2)如圖，當點D在第一象限時,以B=AT),々AC=4βD?.....................................7分F

仁1+2———1

2+2^a÷Γ

設(shè)D(N,y),則J］+2_］解得彳=3,?=2,故點。的坐標為(3,2).............(/工

l→+2≡?,/0L-Λ

....................................................................................................................10分A

18.解:在長方體ABCD-AiBCR中，以點D為坐標原點，DA,DC?

故DlF=L.................................................................................................................................................7分

(2)A^=(0,2,1),AE=(一-∣-,0,l),Λt,=(-l,2,0).........................................................................8分

f1.a

設(shè)平面ACE的法向量為m=Q??v,Ni),則121令M=I,得∕n=(2,l,l),...................10分

一4+2yι=0,

則點8到平面ACE的距離”=邁需Z小嚼=g.........................................................................12分

19.解：(1)由圖可知，10X(2X0.005+α+0.02+0.025+0.03)=l?解得α=0.015..............................3分

這IOO人問答成績的平均數(shù)約為4S×0.05+55X0.15+65×0.2+75X0.3+85X0.25+95X0.05=72.

...................................................................................................................................................6分

(2)用分層隨機抽樣的方法從問答成績在［60,80)內(nèi)的人中抽取一個容量為5的樣本，則問答成績在［60,

70)內(nèi)的有高jX5=2人,分別記為A,B；問答成績在［70,80)內(nèi)的有瓷*5=3人,分別記為“"…

............................................................................................................................................................8分

【高二數(shù)學?參考答案第3頁(共5頁)】?23-29B1?

從中任意抽取2人,則實驗的樣本空間0={(A,B),(A,a),(A㈤，(A,c),(B,α),(B,b),(B,c),(a,6),(α,

c),(Ac”,共有10個樣本點............................................................10分

設(shè)事件A為2人的問答成績均在［70,80)內(nèi)的概率,則A={(a,6),(a,c),(6,c)},..............................11分

所以這2人的問答成績均在［70,80)內(nèi)的概率P(A)=條...................................12分

20.(1)證明：如圖,設(shè)M為PC的中點,連接FM,MD............................................................................1分

因為RM分別為PB,PC的中點,所以FM/∕BC,FM=BC.

在正方形ABCD中,口號78(m/?=48仁所以DE//FM,DE=FM.

所以四邊形DEFM為平行四邊形,DM〃EF..................................................4分

因為DMU平面PCD.ERZ平面PCD,所以EF〃平面PCD......................5分∣

(2)解：以D為原點，以DA,DC.DP所在的直線分別為工,w=軸，建立如圖所示的:

空間直角坐標系.不妨設(shè)PD=DC=2,則A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,0),F(l,l,l),……6分

辭=(0,1,D.炭=(-1,2,0),霜=(-2,0,2)....................................................................................7分

設(shè)平面CEF的法向量為"=(ny,z),

［~Ef,?∕ι=0,/y+z=0,

則_即令1=2,則〃=(2,1,—1)......................................................................9分

?EC?w=0,\—?τ+2y=0,

設(shè)直線PA與平面CEF所成角為θ,

則Sinθ=∣cos<A?,w>∣=∣∣普；"jI=喙,

IAPlm2

故直線PA與平面CEF所成角的正弦值為號............................................12分

21.解式1)令工=0,得y=號允>0;令y=0,得z=nz+2>0.................................................................2分

所以A5+2,0),B(。,噌).............................................................3分

SΔΛ)B=-∣-(ZZJ+2)?“',二二4,解得m=2................................................................................................5分

(2)由(1)可得A(4,0),B(0,2),易得P為AB的中點,則IAPl=IBP∣..............................................6分

IOBI2√5?C)A?^

sinA=,sinB=分

∣AB∣一5IAB∣-5?...............................................................................................7

因為JE=S△*所以4IAEllAPlSinA=+IBFIlBPlSin3,則21AEl=IBFl,2∣OEl=IOF|.

............................................................................................................................................................8分

設(shè)2∣OEl=IOFl=2z"∈[0,2),則E(0,x),F(2x,0),........................................................................10分

7^=(-2,Λ~l),7^=(2.r-2,-l),7^?7^=-2(2Λ~2)-(χ-l)=-50r+5∈(-5,51

故澤?前的取值范圍為(一5,51...........................................................................................................12分

22.解：(1)因為∕ABE=NABC=90°,所以AB_LBE,AB±BC.

因為BE∩BC=B,所以八區(qū)L平面BCGE.

因為ABU平面ABC,所以平面ABci平面BCGE................................................................................2分

過點G作GMJ_RG垂足為M.因為GMU平面BcGE,所以GMJL平面ABe

【高二數(shù)學?參考答案第4頁(共5頁)】?23-29B1-

點